mach Marilyn savant vos

Commentaren

Transcriptie

mach Marilyn savant vos
Op 3 juni 2003 kreeg de Franse wiskundige Jean-Pierre Serre (01926) in Oslo de eerste Abelprijs.
Voor wiskunde bestaat geen Nobelprijs. Naast de vieljaarlijkse Fieldsmedaille, voorbehouden voor
'jonge' onderzoekers onder de 40 jaar, is er voortaan een volwaardige 'H iskundige Nobelprijs',
genoemd naar de Noorse wiskundige Hendrik Abel (1802-1826). De kersverse Abelprijswinnaar
(even wennen aan dat nieuwe woord) heeft baanbrekend werk verricht op het gebied van de
homotopie- en homologiegroepen, de algebraïsche topologie, de studie van algebraïsche krommen
over eindige velden, enz. Dankzij dergelijke prijzen komt het wiskundig onderzoek eens in de pers.
Maar het valt voor de wetenschapsjournalisten niet mee om uit te leggen wat 'homotopiegroepen' en
'eindige velden' zijn aan een publiek dat hierbij bv. aan 'lobbygroepen' en 'tanvevelden' denkt.
'
Laatst las ik in een krant dat het 100 jaar oude vermoeden van Poincaré (waarschijnlijk) is
opgelost door de Rus Grisha Perelman. Het vermoeden van Poincaré wordt in het krantenartikel als
volgt uitgelegd: "We nemen in gedachten een bal en leggen er de lus van een lasso op. Nu gaan we
die lus geleidelijk aanstrakken, waarbij het touw over de bal naar opzij schuift. Hoe de lus ook ligt,
we kunnen ze altijd laten krimpen tot een punt, zonder dat ze ooit het contact met de bal verliest of
knapt. Met een hoelahoep gaat dat niet als de buis van de hoelahoep door de lassolus steekt. " Een
mooie, duidelijke uitleg. Maar veel lezers vragen zich hierbij wellicht af hoe je hier 100 jaar op kunt
zoeken: "dat zie je toch zo en anders voer je desnoods het experiment met de bal en de hoelahoep
uit". Het vermoeden van Poincaré klinkt in werkelijkheid een tikkeltje abstracter en gaat over
driedimensionale oppervlakken in plaats van tweedimensionale: "elke enkelvoudig-samenhangende
gesloten ]-variëteit is homeom01f met een 3-sfeer ". Het is weinig waarschijnlijk dat Gris ha
Perelman op zijn bureau een bal en een hoelahoep gebruikt. Het vermoeden van Poincaré is slechts
een onrechtstreeks gevolg van Perelmans veel algemenere theorie.
Een oudleerlinge die nu fysica studeert aan de universiteit, kwam mij vertellen dat ze (in een cursus
abstracte algebra) een "totaal andere soort wiskunde" kreeg. Haar verbazing sloeg niet op het feit
dat de leerstof voor haar nieuw was (het tegendeel zou raar zijn), maar op het feit dat ze het bestaan
van dergelijke abstracte wiskunde niet had vermoed tenvijl ze nochtans de richting zes uur wiskunde
had gevolgd.
Onvermijdelijk is er een grote kloof tussen het wiskundig onderzoek en de wiskunde die jullie en ik
met onze leerlingen bedrijven. De oplossing is zeker niet, zoals men dat 35 jaar geleden geprobeerd
heeft, de schoolwiskunde langs een abstractere weg aanbrengen. Neen hoor, Uitwiskeling is hier
geen bocht van 180° aan het nemen, na twintig jaar pleiten voor een aanpak vanuit problemen die
de leerlingen zich goed kunnen voorstellen. Va(lk hebben we gezegd dat het wiskundeondenvijs 'van
concreet naar abstract' moet gaan, dat 'abstractie moet groeien'. Houdt dit ook niet in dat er op het
einde van het secundair, bij de leerlingen die daar vatbaar voor zijn, een venster wordt geopend op
de wereld van de abstractere wiskunde? Kunnen wij hen exemplarisch 'iets' laten zien van de
manier waarop wiskundigen de laatste eeuwen wiskunde bedrijven? Is het bv. mogelijk om hen op
een zinvolle manier te laten kennismaken met het begrip 'groep'? In de aangekondigde 'vrije ruimte'
wordt dat wellicht één van de (vele) mogelijkheden. Een venster openen op de abstracte 11 iskunde ...
om er samen even door te kijken, niet om erdoor te springen!
Michel, namens de redactie
1
D. van Delft, Aanstrakkende lasso's, NRC Handelsblad, de datum heb ik niet opgeschreven (sorry).
ilililil lililililil lililil/l l lilililil/l'l/1 1 1/1/l/l l lilililillllil§l.llllllil l/ l ilililil l l l il l l l l l l lililili i i li ili i lililil
Meer melk in de koffie dan koffie in de melk?
Michel Roelens
Hij en zij op een terrasje. Hij bestelt een kop melk zij een kop koffie. Identieke kopjes,
tot op eenzelfde hoogte ge uld. Hij doet één lepel van zijn melk in haar koffie. Roert.
Zij doet daarna één lepel van haar koffie in zijn melk. Roert.
Zit er meer melk in haar koffie dan koffie in zijn melk? Of minder? Of juist evenveel?
Onlangs stelde ik dit probleem in een paar klassen
an de eerste en de tweede graad waar ik
toezicht hield. Het had effect: ik kon hen een half uur lang
an hun
\
erk afl1ouden (of: van het
gebruikei ijke tijd er I ies tijdens zo· n studie-uurtje?).
We waren het er snel over eens dat beschouwingen o er "de melk of de koffie die aan het
lepeltje blijft plakken' niet weerhouden werden, evenmin als ''het feit dat zowel de koffie als de
melk voor een deel uit water bestaan .
Een wiskundelepel' en 'wiskundekoffie' zo vatte Staf
het geïdealiseerde karakter van het probleem samen.
Eva wist het (te?) snel: 'Meer melk in de koffie. want de lepel melk be at zuivere melk terwijl
de lepel koffie een mengsel bevat.' Brahim: "Maar
an die volle lepel melk is een beetje
teruggekeerd. Meer koffie in de melk dus!· Tibo: "Neen ik denk juist even veel!' We kwamen
er niet uit.
Laten we het gewoon uitrekenen'', stelde Aline voor. Ik had geen bezwaar. Er volgde een
berekening zoals hieronder.
Veronderstel dat er juist 10 lepels in één kopje gaan.
Eerst:
•
in zijn kopje: I 0 lepels melk (LM)
•
in haar kopje: I 0 lepels koffie (LK)
Vervolgens (I LM uit zijn kopje in haar kopje):
2
•
in zijn kopje: 9 LM
•
in haar kopje: I LM + I 0 LK
het spinnenweb
1
Nu gaat I lepel terug. Deze lepel bevat LM + _!_Q_ LK! Dit geeft ten slotte:
11
11
•
•
.
m
l0
I
.. k . 9
LM + ( ZIJn 'Opje:
LM + - LK)
11
11
=
l 00
I0
11
11
- LM + - LK
.
I
10
.
tn haar kopJe: (1 LM + 10 LK)- (LM + - LK)
11
11
=
10
100
11
11
- LM + - LK
Tibo had dus gelijk: juist evenveel melk in de koffie als koffie in de melk!
Ik stelde voor om het eens te tekenen. Hierbij namen we aan dat er juist 4 (reuzen)lepels in een
kopje gaan.
-7
"'
.J
-----
"'-
""""'
""'
""""'
3
Ui�iskeling 19/4 (oktober2003)
������
Achteraf gezien was het niet nodig te rekenen en te tekenen. Vermits de kopjes in het begin en
op het einde even vol zijn, kan het niet anders dan dat de netto hoeveelheid melk in de koffie
gecompenseerd wordt door de hoeveelheid koffie in de melk ... Maar goed dat dit argument niet
meteen in het begin uit de bus gekomen
\
as anders hadden die leerlingen gewoon studie gehad.
(
�
\ ��fJJ� ... )
) '-oY
�
M*-T
�L"'...
�
op
4
i?
o
�.--
het spinnenweb
Raaklijnen aan twee cirkels: een machtig alternatief
Dick Klingeos
In het eerste nummer van Uitwiskeling van de lopende jaargang [1] beschreef Jos Willems een
alternatief voor de constructie van de uitwendige gemeenschappelijke raak! ijnen aan twee
cirkels. Het alternatief is in de volgende figuur in beeld gebracht. De eerste zin van het artikel
luidde: 'We hebben het allemaal wel eens meegemaakt: je geeft leerlingen twee ongeveer even
grote cirkels en vraagt hun de uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen te construeren.'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
',,
�
Willems' alternatief- een in het Nederlandse meetkundeonderwijs gebruikelijke constructie van
de gemeenschappelijke raaklijnen- kan helaas niet toegepast worden als beide cirkels een even
grote straal hebben. Het uitwendige gelijkvormigheidspunt G is dan het oneigenlijke punt van
de centraal MN van beide cirkels. En als de cirkels bijna even groot zijn, ligt het punt G ver
buiten het werkblad. In het onderstaande heb ik daarom getracht een 'echt' alternatief te geven.
Een andere kijk
Durft u het volgende probleem aan
aardig om er toch zelf naar te kijken.
U\V
leerlingen voor te leggen? Zo niet dan is het zeker
Gegeven is een driehoek ABC met een rechte hoek in A en een omgeschre1 en cirkel. Op [BC}
ligt het puntM (resp. N), het middelpunt\ an een cirkel die door B (resp. C) gaal. [AB} snijdt de
cirkel me/ middelpuntMin P, [AC} sntfdt de cirkel met middelpunt N in Q. Ris hel midden \ an
[PQJ. AR snijdt [BC} inS. Toon aan dat het puntS onqfhankelijk is \cm de positie van A op de
omgeschreven cirkel.
Met Cabri kunnen we (ze, als het om de leerlingen gaat) gemakkei ijk nagaan dat het gestekle
inderdaad juist is, maar kunnen we (ze) het ook bewijzen?
5
UH�iskeling 19/4 (oktober2003)
������
A
c
B
Teken eerst de lijnen doorPen Q en door het tweede snijpunt, B' en ' van de cirkels met het
lijnstuk [BC]. Die lijnen snijden elkaar in Ten T ligt op AS. Dat laatste is niet moeilijk aan te
tonen. ABC PBB ' QCC' zijn 'Thales-driehoeken [2]. APTQ is dus een rechthoek en AS is een
diagonaal van die rechthoek.
,
Vervolgens zijn er ook enkele gelijkvormige driehoeken. We kiezen eerst
driehoeken hebben in ieder geval twee gelijke hoeken zodat:
IST I ISC'I
_
ISAI-ISBI
We bekijken de driehoeken
STB' en SAC. Ook die zijn gelijkvormig zodat:
!STI ISB'I
_
ISAI-IS I
STi ' en SAB.
Deze
(i)
(ii)
Uit (i) en (ii) volgt dan voor het puntS:
ISB'I ISC'I
_
ISCI-ISBI
(iii)
ISBI·ISB'I=IS I·ISC'I
(iv)
of
Nu we het verband (h) kennen hebben \ e dan aangetoond dat S een vast punt is? Of zijn er
oneindig veel puntenSop [BC] die aan eigenschap (il) oldoen evenveel als er posities van het
punt A zijn? We weten inmiddels door Cabri wel beter. Bekijk, om dit laatste knelpunt te
bewijzen eens een ander punt S op lv!N dichter bij B'. Wat gebeurt er dan met het product
ISBI · ISB'I en met het product ISCI · IS 'I? ...
Menig lezer zal nu opmerken dat het punt S gelijke machten heeft ten opzichte van de cirkels
met middelpuntMen N. De meetkundige plaats van alle punten met gelijke macht ten opzichte
van twee cirkels is een rechte lijn -de nwchtlün van beide cirkels-die loodrecht staat op de
centraal MN van die cirkels. S is dus het snijpunt van die machtlijn met de centraal. Maar de
begrippen macht en machtlijn komen (ik zeg helaas) niet voor in ons (Vlaamse en Nederlandse)
leerplan. We moeten ze dus omzeilen. Dat werd door jezelf gedaan door een kot1e redenering op
het einde van de vorige alinea.
6
het spinnenweb
Naar het bedoelde alternatief
Wat gebeurt er als we die machtlijn - de lijn m in S loodrecht op MN- tekenen en we A
loodrecht boven S kiezen? Het lijkt er dan zeker op dat PQ de uitwendige gemeenschappelijke
raaklijn is aan de cirkels met middelpunten MenN. Controleer dit maar met Cabri.
A
A
c
B
Om dit aan te tonen tekenen we eerst het lijnstuk [PM]. Daarna rekenen we wat aan de hoeken,
vooral die bij P en S in driehoek ABS. We merken allereerst op dat IBM I
I PMI en dat
IARI IPRI. Verder is:
=
=
,..
S
=
1 80°
"
-
,..
A-B
"'
=
I soo-
1'\
P4 - �
"
=
11
"
+
P2
Is S een rechte hoek dan is ook MPQ recht. PQ raakt dan in P aan cirkel met middelpunt M.
Op dezelfde manier kunnen we dan aantonen dat PQ in Q raakt aan cirkel met middelpuntN.
De constructie
Voor een uitwendige raaklijn aan de cirkels met middelpunten M en N gebruiken we de
hulpcirkel met de punten B en C als eindpunten van een middellijn. We tekenen
achtereenvolgens het vaste punt S, de machtlijn m van beide cirkels het snijpunt A van de
machtlijn en de hulpcirkel en ten slotte de raakpunten P en Q. De tweede uitwendige raaklijn
aan de opgegeven cirkels is het spiegelbeeld van de eerste raaklijn in de lijn BC.
Voor een inwendige raaklijn gaan we op dezelfde manier te werk, maar we gebruiken nu
(bijvoorbeeld) als hulpcirkel de cirkel met de punten Ben C' als eindpunten van de middellijn.
De lezer kan gemakkelijk nagaan dat deze constructie ook werkt als de cirkels met
middelpuntenMenN een even grote straal hebben.
Met Cabri kan de machtlijn m van de cirkels met middelpunten M en N trouwens eenvoudiger
worden geconstrueerd dan hierboven gedaan is. Bepaal, via de Cabri-functie 'Inversie' het
inverse punt M' van M ten opzichte van de cirkel met middel puntN. Bepaal ook het inverse punt
N' van N ten opzichte van de cirkel met middelpunt M. De machtlijn is dan de middelloodlijn
van het lijnstuk [MN
' T Een bewijs hiervan is gebaseerd op gelijkvormigheid van cirkels (zie
[3]). Een op Cabri gebaseerd werkblad over machtlijnen van twee cirkels vind je in [ 4].
7
Uttwiskeling19/4(oktober2003)
�����
m
m
N'
c
B
M
M'
N
Naschrift
Als de cirkels met middelpunten Men Nelkaar ook uitwendig raken dan krijgen we een figuur
die in de meetkundige literatuur bekend staat als de w·belos het schoenmakersmes (het 'krom­
driehoekig' vlakdeel BPSQCAB). In [5] en [6] vind je een uitvoerige beschrijving en een groot
aantal eigenschappen van de arbelos, bv. de oppervlakte van het cirkeltje met als middellijn
[PQ] is gelijk aan de oppervlakte van de arbelos· de cirkel met middelpunt A door S gaat door
de snijpunten P' en Q' van PQ met de cirkel op het lijnstuk [BC1 ...
B
s
Bibliografie en noten
[I] Jos Willems Uitwendige raaklijnen, een alternatief Uitwiskeling, 19/1 (december2002) p5-6
[2] Stelling van Thales Het midden 'an de schuine ::;ijde van een rechthoekige driehoek is het
middelpunt van de omgeschre1 en cirkel 1 an die driehoek.
[3]
[4]
[5]
[6]
8
Klingens, Gelijkvormigheid bij cirkels, http://www.pandd.demon.nl/cirkels/gelijkv.htm
Klingens, Machtlijn van 111 ee cirkels http://www.pandd.demon.nl/werkbladen/machtlijn.htm
A. Goddijn: Een ode voor de arbelos, NieuweWiskrant, 18/4 Uuni 1999) p45-47
0. Klingens, Een' olgens Pappos oud probleem: de arbelos,
http://www.pandd.demon.nVarbelos.htm
0.
0.
Het simuleren van kansexperimenten
Inhoud
1.
Inleiding
2.
Variabiliteit bij het uitvoeren of simuleren van kansexperimenten
a. Een eerste vaststelling
b. Experimenteel onderzoek van de variabiliteit: een analogie
c. Wiskundig onderzoek van de variabiliteit: de
3.
Simulaties zonder computer
4.
Simulaties en kansberekening
�
-wet
a. Waar gaat het wel eens mis?
b. Kanssimulatie met een grafische zakrekenmachine
5.
Simulaties om een hypothese te toetsen
a. De schaakcomputer
b. De leerkracht foefelt
c. De schudmachine
6.
Simulaties en kansverdelingen
a. Een simulatie met sleutels
b. Een nieuwe kansverdeling
c. Het gemiddelde van de geometrische verdeling
1. Inleiding
De kansrekening is een soms moeilijk te grijpen discipline, niet alleen voor beginners, maar ook
voor beoefenaars met ervaring. Ons aanvoelen van kansfenomenen is niet altijd even sterk en
onze intuïtie stuurt ons geregeld de verkeerde richting uit. Hoe ervaren we ook zijn met onze
hedendaagse kansbomen of de traditionele axiomatische opbouw via verzamelingen, van tijd tot
tijd zullen we de kanstheorie verkeerd aanwenden, veelal zonder het zelf te beseffen.
Tversky en Kahneman onderzochten denkstrategieën i.v.m. kansrekenen
[1].
Als mogelijke
verklaring voor deze moeizame ontwikkeling van enige intuïtie geven ze de omnogelijkheid om
resulta.ten aan de praktijk te toetsen. Wanneer we een kaartspel vaak spelen, turven we niet
9
Ui�iskeling19/4(oktober2003)
��������-
systematisch onze overwinningen en we houden niet
anzelf bij hoeveel gezinnen met drie
kinderen uit onze kennissenkring precies twee dochters hebben. We moeten ook nooit I 0
lampen trekken uit een doos waarin er 50 zitten, waarvan 7 defect...
Dit suggereert meteen een potentiële leer- en oplossingsstrategie: voer de kansexperimenten
daadwerkelijk uit en turf het aantal successen en het aantal uitvoeringen. Dankzij de wet van de
grote aantallen zal de relatieve frequentie van het aantal successen dichter en dichter de
theoretische kans benaderen naarmate het aantal uitvoeringen toeneemt. Vraagt het werkelijk
uitvoeren van het experiment teveel tijd of energie (wat meestal het geval is) dan kan het
kansexperiment vertaald worden in een equivalent kansexperiment dat manueel of door een
computer kan worden uitgevoerd: een simulatie. Het gebruik van simulaties biedt een aantal
interessante voordelen zowel in als buiten de les.
Een eerste voordeel is ongetwijfeld de controlemogelijkheid: wanneer de simulatie een relatieve
frequentie van successen oplevert die dicht bij de berekende kans ligt heeft deze laatste een
grotere waarschijnlijkheid om juist te zijn. Maar simulaties hebben ook didactische voordelen.
Zo bijvoorbeeld maken ze duidelijk wat wordt bedoeld of beter wat niet wordt bedoeld met
bijvoorbeeld een kans van I op 4 : het wil zeker niet zeggen dat je op 40 uitvoeringen precies
'
10 successen zal hebben of gemiddeld om de vier uitvoeringen een succes. Het toeval laat meer
variatie toe dan we spontaan aannemen. Dankzij simulaties kunnen we die misvatting tijdig
uitroeien en een juister kansconcept ontwikkelen. Bovendien dwingt het omzetten van een
kansexperiment naar een simulatie ons om grondig na te denken over het kansvraagstuk: welk
toevalsgebeuren treedt wanneer op
waarvan
is het atl1ankelijk
wat is ondertussen de
verzameling van gunstige uitkomsten ... Verder zijn simulaties soms onze enige manier om
alsnog tot een resultaat te komen
wanneer het ons met gekende formules niet lukt om een
theoretische kans te bepalen. Tot slot bieden simulatieresultaten en -tussenresultaten ons een
andere bi ik op kansvraagstukken: ze verhouden zich tot de kansrekening zoals functiegrafieken
tot de analyse. Net zoals grafieken illustreren ze de concepten, zonder ze daarom te verklaren�
net zoals grafieken overtuigen ze zonder te bewijzen· ze bieden inzichten die een formalisme
niet gemakkelijk kan bieden.
Simulaties kampen ook met enkele nadelen. De
ertaling van het gestelde kansvraagstuk naar
een simuleerbaar equivalent kan vrij moeilijk zijn en ook hier kunnen fouten binnensluipen. Er
is dus geen garantie op succes, een zekere ervaring is nodig. Daarnaast is het bij computer­
simulaties belangrijk om toestellen te hebben die snel genoeg zijn. PC s zijn vandaag de dag
ruimschoots snel genoeg, maar helaas zijn grafische rekentoestellen nog wat beperkt om
ingewikkelde en lange simulaties uit te voeren. Geheugenbeperkingen leveren geregeld fout­
meldingen op en wachttijden kunnen oplopen tot tientallen minuten.
Desondanks geloven we dat grafische rekentoestellen nu al nuttig ingeschakeld kunnen worden
in de les of erbuiten om leerlingen te laten kennismaken met deze belangrijke aanvulling bij een
cursus kansrekening. Rekentoestellen hebben ze immers altijd bij de hand
eenvoudige
simulaties zijn zonder programma's snel op te zetten, resultaten kunnen gemakkelijk worden
samengevat of grafisch worden onderzocht. De ingebouwde programmeertaal is bovendien zeer
eenvoudig en snel aan te leren, wanneer meer inge\ ikkelde simulaties moeten worden
nagebootst. Vandaar dat je in de komende paragrafen voornamei ijk grafische rekentoestellen
aan het werk zal zien. Dit is een pragmatische keuze geen waardeoordeel.
10
onder de loep
2. Variabiliteit bij het uitvoeren of simuleren van kansexperimenten
In tegenstelling tot theoretische kansen, die exact te bepalen zijn zijn de kansen afgeleid uit
simulaties onderhevig aan toevalligheden: bij het 500 keer opwerpen van een eerlijk muntstuk
zal je zelden precies 250 keer munt gooien maar veeleer een aantal in de buurt van 250. Bij
elke nieuwe uitvoering van dat experiment kan je trouwens een andere uitkomst krijgen. Dit
fenomeen noemt men variabiliteit'. We onderzoeken het in het volgende voorbeeld.
a. Een eerste vaststelling
Er zijn nogal wat leerlingen (en Vlamingen in het algemeen) die bereid zijn te geloven dat de
kans op twee keer munt bij het opgooien van twee eerlijke muntstukken gelijk is aan I /3,
aangezien er drie mogelijke uitkomsten zijn: twee keer kop kop en munt twee keer munt.
Stel dat je via een simulatie wil nagaan\ at die kans is. We gebruiken hiertoe een Tl83.
De opdracht rand genereert een willekeurig getal tussen 0 en 1
grenzen
niet
inbegrepen.
Aangezien
alle
getallen
even
waarschijnlijk zijn, is er een kans van I op 2 dat het kleiner is dan
0,5. In dat geval levert de logische test rand< 0,5 een 1 (= 'waar )
op. Dit gebeurt dus met een kans van I op 2 zoals bij een onvervalst
1
0
0
1
1
I overeenkomt met
'munt en 0 met kop . De opdracht rand< 0,5 and rand< 0,5 zal
een I opleveren wanneer er twee keer munt werd gegooid en een 0 in alle andere gevallen.
muntstuk. Laten we hier afspreken dat een
Hiernaast werd dit experiment vijf keer uitgevoerd en werd er drie keer dubbel-munt gegooid.
11
Ui�iskeling 19/4(oktober2003)
�������
Opmerkingen
•
Er zijn op een TI83 andere manieren om het gooien van muntstukken te simuleren, zoals bv.
t
met randlnt(O, 1), dat een 0 of een I genereert beide met kans
rand < p is echter ook bruikbaar in situaties
\
.
De methode met
aar p geen eenvoudige breuk is; het gebruik
van randint is minder flexibel op dat vlak.
•
Strikt genomen is de kans dat rand< 0,5 niet gelijk aan
kunnen
worden
0,00000000000001
zijn
tot
er
een
en
aantal
aangezien 0 noch 1 gegeneerd
waarden
0, 99999999999999.
0-1.1).
met
verwaarloosbaar klein (ong. 0 5·1
•
oneven
t:
voor
De
rand
gemaakte
mogelijk
fout
is
van
echter
Bereken je (rand< 0,5) +(rand< 0,5) (haakjes nodig!) dan krijg je het aantal keer munt in
een dubbele worp. Dat kan interessant zijn voor leer! ingen
omdat ze zo zien dat de
uitkomst I ongeveer in de helft van de gevallen voorkomt, terwijl 0 en 2 minder frequent
zijn. Na deze vaststelling duurt het\ el licht niet lang voor iemand door heeft wat er aan de
hand is: één keer munt kan op twee manieren ontstaan terwij I twee keer munt of twee keer
kop maar op één manier tot stand kan komen. Dit is het verhelderende effect van simulaties.
We herhalen dit experiment 500 keer om een schatting te maken van
de kans op twee keer munt. Dit kan zonder programmeren met het
commando seq(<opdracht>, x, 1, 11) waarbij
.Y
een tellertje' is, dat
{1 0 0 1 0 0 0 ...
van 1 tot n loopt (n � 999 op de TI83). Het resultaat is een lijst met
lengten waarvan elk element het resultaat is van de <opdracht>:
seq(rand< 0.5 and rand< 0.5, x,
1, 500)
� {1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, ... }
Door nu de som te nemen van alle elementen in dergelijke lijst vind
je het aantal keer dat er twee keer munt werd gegooid. Het volstaat
dit te delen door 500 om een benadering van de kans te verkrijgen:
sum(seq(rand< 0.5 and rand< 0.5, x,
Uit de simulatie vinden we dus een kans
1, 500))
�
128
an 0,256 op het gooien
van tv.;ee keer munt (op jouw toestel zal
\
ellicht een lichtjes
verschillende waarde verschijnen).
Het herhaaldelijk uitvoeren van deze opdracht levert telkens nieuwe schattingen van de kans op
twee keer munt op zoals je hieronder kan zien.
•
.
.
.
.
.
12
238
218
262
256
b
.234
192
264
262
274
252
.
.
.
.
onder de loep
b. Experimenteel onderzoek van de variabiliteit: een analogie
De variabiliteit van de simulatieresultaten is niet gering zo blijkt uit de verschillende simulaties
hierboven. Dat roept de vraag op naar de betrouwbaarheid an één enkel resultaat. Hoe ver kan
dit afwijken van de theoretische kans?
Een analogie kan hier behulpzaam zijn. Je kan het schatten an een kans via een simulatie van n
uitvoeringen vergelijken met het boogschieten.
•
De onbekende kans p komt overeen met de roos van de schietschijf.
•
De volledige simulatie (n uitvoeringen) met één pijl die wordt afgeschoten. De bedoeling is
uiteraard om zo dicht mogelijk bij de roos te schieten.
•
De wet van de grote aantallen garandeert ons dat het een goede schutter betreft, die niet
systematisch te hoog of te laag mikt.
•
Een groot aantal uitvoeringen n komt o ereen met een kleine afstand tussen boogschutter en
schietschijf: bij toenemende n (kleinere afstand) zal de schatting dichter bij de theoretische
kans liggen; staat de boogschutter ver van de schietschijf (kleine n), dan zal hij wellicht
minder goed de roos treffen.
•
De variabiliteit van de simulatieresultaten tenslotte, wil niets anders zeggen dan dat
verschillende pijlen de schietschijf op verschillende plaatsen zullen raken.
Om nu te weten te komen hoe goed de schutter is op een bepaalde afstand m.a.w. hoe ver van
de roos die pij I en kunnen inslaan is er een voor de hand I iggende methode: laat hem vanaf
diezelfde afstand heel veel pijlen afschieten. Na een tijdje zal duidelijk worden hoe groot de
variabiliteit is, voor die afstand.
Om dus een idee te krijgen van de mogelijke variabiliteit bij onze simulatie van 500 worpen
moeten we die simulatie een groot aantal keer uitvoeren. Op die manier zal duidelijk worden
hoeveel de berekende relatieve frequentie kan afwijken van de gezochte kans p (die we in dit
geval kennen: p 0 25). Willen we gebruik maken van de basisvoorzieningen van de Tl83, dan
kunnen we de simulatie hoogstens 999 keer herhalen; we kiezen hieronder voor 900
uitvoeringen.
=
Het ware mooi geweest hadden de programmeurs van bijvoorbeeld
de TI83 of Casio35 het nesten van seq-opdrachten toegestaan. Dan
zouden we de simulatie hierboven 900 kunnen uitvoeren d.m.v. de
opdracht:
seq(sum(seq(rand< 0.5 and rand< 0.5,
x,
1, 500))/500, x, 1, 900).
Maar helaas leidt dit tot een foutmelding.
Een klein programmaatje is daarom nodig:
PROGRAM:UWVAR
900-7dim(LI)
For(I,l,900)
1
.256
2
.244
3
.268
13
u��iskeling 19/4 (oktober2003)
������
s u m( se q ( rand< . 5 and rand< . 5 , X , 1 , 5 0 0 ) ) I 5 0 0-7 L 1 ( I )
Disp
I,Ll(l)
End
Hierin worden de simulatieresultaten gestockeerd in een lijst, zodat ze nadien geanalyseerd
kunnen worden. Het programma duurt zo lang dat het in de klas niet uitvoerbaar is (namelijk
een uur of vijf!), maar het resultaat loont de moeite en volstaat om de algemene redenering
duidelijk te maken.
Uit een histogram van de simulatieresultaten kunnen we vaststellen dat de schattingen van de
kans p symmetrisch rond de waarde 0,25 liggen. Dit is in overeenstemming met de wet van de
grote aantallen (of met het gegeven dat de boogschutter niet systematisch verkeerd schiet).
f> 1:L1
n=179
1-Var St.at.s
x=.25032
Ix=225.288
Ix2=56.747384
Sx=.0198238023
ax=.019812786
.J..n=900
1-�)ar· St.at.s
tn=900
l"'linX=. 184
Q1=.238
t1ed=.25
Q3=.264
l"taxX=.322
I
.0455555556
De waarden zijn nagenoeg normaal verdeeld dus kunnen we besluiten dat ongeveer 95 % van
de waarden hooguit twee standaardafwijkingen zullen afwijken van het gemiddelde (zie ook
[2]). Uit de numerieke analyse van de gegevens lezen we af dat de standaardafwijking s
ongeveer gelijk is aan 0,020 (Sx op de schermafdruk hierbo en).
De gesimuleerde kans zal dus voor 95 o/o van alle experimenten een fout hebben van minder dan
0,04 t.o.v. de theoretische kans. Bij elk resultaat van de bovenstaande simulaties kunnen we dus
zeggen:
"Dit simulatieresultaatH ijkt met een waarschijnlijkheid 1 cm 95 %
met hoogstens 0, 0-1 af 1 an de gezochte theoretische kans. "
Indien we als gesimuleerde
[0,256- 0,040· 0 256 + 0 040]
=
kans bijvoorbeeld 0 256 krijgen dan heeft het interval
[0,216; 0 296] een kans van 95 o/o om de gezochte theoretische
kans te bevatten. Verkort noteert men dergelijk interval ook als 0,256 ± 0 040.
In de praktijk wordt natuurlijk maar één simulatie uitge oerd maar ook daarvoor geldt dus de
bovenstaande schatting van de variabiliteit. Er is een kans van 5 % dat de afwijking echter
groter is. Uit de schermafdruk blijkt dat de laagst opgemeten schatting 0,184 was en de hoogste
0 322. We kennen echter geen regel om de extremen te voorspellen, vandaar dat we ons
tevreden
stellen met 95 o/o van de resultaten
waar an
we
weten
dat ze binnen 2
standaardafwijkingen van het gemiddelde liggen. Eventueel kan je met 99 7 o/o zekerheid
14
onder de loep
beweren dat het resultaat van één enkele simulatie hoogstens
0 059 (= 3·s) afwijkt van het
gemiddelde.
Wil je de variabiliteit verminderen dan zit er niets anders op dan grotere simulaties uit te
voeren: gooi de munt I 000 of
2000 keer op i.p.v. 500 keer. Wat de variabiliteit dan is kan
opnieuw met de methode van hierboven onderzocht worden, al moet hiervoor een PC
ingeschakeld worden (n > 999). Men kan uit simulaties afleiden:
We merken dat
s
s1000 �
0,014 en
s2000 �
0,0 I 0.
niet omgekeerd evenredig is met n veeleer omgekeerd evenredig met de
vierkantswortel vann, aangezien
s2000
de helft is van
s500.
900 keer een simulatie met 11 = 500 te herhalen, dan
= 450 000 uit te voeren. Deze vraag verraadt een verkeerd
inzicht in het doel van beide somten simulaties. Het 900 keer herhalen van een simulatie is
Een klassieke vraag is of het nu beter is om
wel om één grote simulatie met n
slechts nuttig om een idee te krijgen van de
1
ariabiliteil, niet van de gezochte kans. In de
praktijk wil men enkel de kans p kennen. Men voert een simulatie dus maar één keer uit en daar
geldt: hoe groter
11 hoe beter de schatting. Dus is het interessanter om één keer n = 450 000 te
kiezen.
Een systematisch onderzoek levert de onderstaande tabel op. Ze geeft de variabiliteit van
simulatieresultaten uitgedrukt als het dubbele van de standaardafwijking zoals hierboven in
functie van de simulatiegrootten en de gezochte theoretische kans p.
Variabiliteit (in °/o)
aantal simulaties
theoretische
Verbazend
n
kansp
100
250
500
750
1000
1500
2000
0.1
6.0
3.8
2.7
2.2
1.9
1.5
1.3
0.8
0.2
8.0
5.1
3.6
2.9
2.5
2.1
1.8
1.1
0.25
8.7
5.5
3.9
3.2
2.7
2.2
1.9
1.2
0.3
9.2
5.8
4.1
3.3
2.9
2.4
2.0
1.3
0.4
9.8
6.2
4.4
3.6
3.1
2.5
2.2
1.4
0.5
10.0
6.3
4.5
3.7
3.2
2.6
2.2
1.4
0.6
9.8
6.2
4.�
3.6
'"'.I
2.5
2.2
1.4
0.7
9.2
5.8
4.1
3.3
2.9
2.4
2.0
1.3
0.8
8.0
5.1
3.6
2.9
2.5
2.1
1.8
1.1
0.9
6.0
3.8
2.7
2.2
1.9
1.5
1.3
0.8
is
dat
de
gezochte
kans
een
invloed
heeft
op
de
5000
variabiliteit
van
de
simulatieresultaten. Hoe dat komt verklaren we in de volgende paragraaf.
c.
Wiskundig onderzoek van de variabiliteit: de
),z
-wet
De onderstaande afleiding is vooral als achtergrondinformatie bedoeld voor de leerkracht en zal
niet in elke klas behandeld kunnen worden.
Beschouw een gebeurtenis die een kans p heeft om zich voor te doen en stel dat het
kansexperiment n keer wordt uitgevoerd of gesimuleerd.
Het aantal successen X is een
toevalsvariabele die de binomiale verdeling Bin(n p) heeft. De relatieve frequentie is dus
15
Ui�iskeling 19/4(oktober2003)
eveneens een toevalsvariabele
����
X
Y=
gedefinieerd als
Deze toevalsvariabele is zelf niet
11
binomiaal verdeeld, omdat de mogelijke waarden van Y geen natuurlijke getallen zijn. Maar de
verdeling is wel uit de binomiale verdeling afgeleid.
De verdeling van Y ontdekten we benaderend in de voorgaande paragraaf voor n = 500 en p
0,25. Dat de verdeling nagenoeg normaal is is in overeenstemming met het feit dat de
=
binomiale verdeling, waarvan die van Y is afgeleid, door de normale benaderd kan worden voor
n p � I 0 en n·( I -p) � I 0. Bij praktisch alle simulaties zullen we er dus kunnen van uitgaan dat
de verdeling van de mogelijke schattingen normaal i .
We zullen dus ook altijd het dubbel van de standaardafwijking kunnen gebruiken als schatting
van de variabiliteit. Er is dan een kans van 95 o/o dat het simulatieresultaat y hooguit zoveel
afwijkt van de gezochte theoretische kans p .
De standaardafwijking van Bin(n p) is �11 · p ·(I- p) . Nu is het niet moeilijk aan te tonen dat
als
(
Var(X)=E (X-!-L)2
) =cr�
X
(J2
Var(-)=�
n
17
dan
standaardafwijking van de verdeling van Y is dus
standaardafwijking evenredig is met
�
en
-J11·p·(1-p)
17
=
spreekt men soms van de
v11
Mr
�
(J
Var(-)=-.
dus
n
-(1-p)
17
�
-vn
De
n
. Doordat de
-wet. Je komt ze vaak
tegen in de statistiek.
Voor n
=
500 en p
=
o 25·0,75
0,25 vinden we zo
���- �
500
. overeenstemm .mg met
0 0 I. 936, 111
s =
0,01982 uit onze herhaling van 900 simulaties in de vorige paragraaf.
Helaas is p meestal niet gekend zodat deze formule weinig nut heeft. Als 17 voldoende groot is,
garandeert de wet van de grote aantallen ons dat de geschatte kans y ongeveer gelijk zal zijn aan
de theoretische kans p. Als beloning voor deze bijkomende benadering krijgen we een formule
waarmee we voor één enkele uitvoering of simulatie
variabiliteit kunnen inschatten:
.
vanab'l'
1 1te1. t � 2
an 17 kansexperimenten met schatting) de
�(-!-}) .
·
·
11
Er is een kans van ongeveer 95 % dat de ge onden schatting J niet meer dan die waarde afwijkt
van de gezochte kans p. Vervang de 2 door een 3 om een kans van ongeveer 99,7 % te hebben.
De formule is ook nuttig om te bepalen hoe
aak je een kansexperiment moet simuleren om een
gewenste nauwkeurigheid te verkrijgen. Als F de maximale foutenmarge is die je wil toelaten
(voor 95 o/o van de simulaties), dan moet gelden:
17
16
2::
22·p·(1-p)
,
F-
onder de loep
We spelen op veilig door p = 0,5 te nemen, zodat de teller maximaal wordt. Zo vinden we als
vuistregel:
n>
-
1
-
p2
Voor een foutenmarge van hooguit 0,02, ben je veilig met minstens 2500 simulaties, hoewel
voor kansen rond de 0,1 of 0,9 een duizendtal simulaties eigenlijk al voldoende is, zoals je in de
tabel kan aflezen. Vergeet niet dat er altijd een kans van 5 % is dat de gevonden schatting meer
van de gezochte kans p afwijkt dan F.
3. Simulaties zonder computer
Voor de vele wiskundigen is de term 'simulatie' synoniem voor 'computersimulatie': een
betekenisverenging
die
het
gebruik
van
simulaties
beperkt
tot
technologievriendelijke
omgevingen. In deze paragraaf willen we laten zien hoe simulaties ook uitgevoerd kunnen
worden met nagenoeg kosteloze rekwisieten: dobbelstenen, munten, gekleurde kauwgomballen
in een zak, speelkaarten ... Het versneld 'naspelen' van een concreet kansprobleem heeft als
voordeel dat de leerlingen er meer van overtuigd zijn dat alles eerlijk verloopt: er kan niet
clandestien gesjoemeld worden met de software, de uitvoering van het experiment is
transparant. Daarom raden we aan een eerste simulatie in de klas steeds uit te voeren zonder het
hokus-pokus van bits en bytes. Een nadeel bij simulaties zonder computer is dat het aantal
experimenten steeds beperkt blijft tot ten hoogste enkele honderdtallen, een zware beperking
voor de betrouwbaarheid. En misschien zijn de kauwgomballen na honderden trekkingen door
zweterige handen ook al lang versleten . ..
Een eenvoudig te simuleren statistisch probleem is het schatten van het aantal vissen in een
vijver of het aantal damherten in een afgesloten reservaat. Breng een ondoorzichtige zak mee
naar school en vul hem op met een (groot) aantal legoblokken. De zak stelt de vijver of het
reservaat voor, de blokken symboliseren vissen of damhet1en. De leerlingen mogen zelf een
strategie bedenken om het aantal blokken in de zak te schatten zonder de zak helemaal leeg te
schudden. Een beproefde techniek is het trekken (vangen) van
x
blokken (vissen, damherten) uit
de zak (de vijver, het reservaat) met y blokken (vissen, damhet1en). De aselect getrokken
(gevangen) blokken (vissen, damherten) worden gemerkt met een klevet1je (geknipt, geringd)
en weer teruggelegd (teruggezet, vrijgelaten). Men schudt heftig met de zak (wacht tot de
gevangen dieren zich voldoende hebben vermengd in de hele populatie) en neemt opnieuw een
steekproef. In deze steekproef telt men
z
gemarkeerde legoblokken op een totaal van t blokken.
De vraag is nu herleid tot het berekenen van het getal y uit
x, z
en t. Telkens wanneer een
leerling een aanvaardbare formule oppert, kan deze proefondervindelijk uitgetest worden. Om
het antwoord op dit probleem te vinden moeten de leerlingen er zich van bewust zijn dat een
aselecte steekproef bij benadering dezelfde parameters heeft als de populatie waaruit ze
getrokken
is.·
Zo
zal
bijvoorbeeld
de
kans
op
een
gemerkt
exemplaar
in
de
steekproefverzameling een goede benadering zijn voor de kans op een gemerkt exemplaar in de
totale verzameling, m.a.w.
f, f.
�
17
Ui�iskeling19/4(oktober2003)
������
Een ander probleem geschikt voor een klassimulatie is het Monty Hall-probleem, in 1991
beschreven door de columniste Marilyn vos Savant ([3]). De controverse draaide om de
bekende quizmaster, Monty Hall, die de ge\ oonte had op het einde van zijn show 'Let s Make
a Deal' de winnende kandidaat te verrassen met drie gesloten deuren. Achter één van de deuren
was een kostbare prijs verstopt: een dure wagen een luxereis ... De andere twee deuren
verborgen een geit. Onder tromgeroffel moest de winnende kandidaat plaatsnemen voor de deur
die overeenkwam met zijn eerste maar niet noodzakelijk definitieve keuze. Om de spanning op
te drijven opende de quizmaster daarna één van de niet gekozen deuren ... Het publiek beet op
de onderlip en spande de spieren. De cameraman zoomde in op een traag openschuivende deur
waarachter, zoals gewoonlijk een nepprijs verborgen was. Vervolgens confronteerde Monty
Hall zijn gast met het dilemma: bij de eerste keuze blijven of alsnog van deur wisselen en de
overblijvende deur kiezen. De publicatie van Marilyn vos Savant over de beste strategie bij het
Monty Hall-probleem lokte zoveel ongeloof en afkeuring uit bij het brede publiek - zelfs bij
gediplomeerde wiskundigen - dat dit thema nu nog steeds met de regelmaat van een klok
opduikt in wiskundige publicaties over kansberekening ([4] [5] en [6]).
Op de Nederlandse televisie werd ditzelfde procédé toegepast in de befaamde 'Willem Ruis
Show . Winnaars met een zwakke telepathische begaafdheid gingen na deze show naar huis met
zielige poedelprijzen: tien conservenbokalen witte bonen, een wollen slaapmuts een zak
tulpenbollen, een dwergkonijn met nestplaats ...
18
onder de loep
Waarschijnlijk ben ik niet de eerste wiskundige die, na het horen van dit verhaal, het dilemma
van de quizdeuren onmiddellijk meende te doorzien ... en zijn mening met iets te veel
enthousiasme aan anderen kenbaar heeft gemaakt. Ik sloeg de bal helemaal mis. Mijn
schaamtegevoel veranderde in medeleven toen ik kennis nam van de reactie van een driftige
lezer van Parade Magazine op het artikel van Marilyn vos Savant:
"Als professioneel
wiskundige maak ik me steeds meer zorgen over het gebrek aan wiskundig inzicht bij het grote
publiek. Zie toch in dat de kans op de hoofdprijs, met of zonder verandering van deur,
t
moet
zijn en onthoud u in de toekomst van zaken waar u geen verstand van heeft."
Uit ondervinding weet ik dat zeer velen overtuigd
zijn dat het niet uitmaakt of een
quizkandidaat van deur verandert of niet. De succeskans is en blijft voor hen
t.
Bij een
rondvraag in de klas kan je merken dat deze idee-fixe nauwelijks uit te roeien is met gewone
argumenten. Met het opstellen van kansbomen lukt het wel op voorwaarde dat de leerkracht
genoeg sturing geeft. De aangenaamste manier om de leerlingen ervan te overtuigen dat het wel
gunstig is van deur te veranderen, is via een rollenspel.
+ + +
+ +
Joker
+ + +
We stellen hiervoor drie leerlingen aan: een quizmaster, een spelkandidaat en een turver. De
quizmaster krijgt drie speelkaarten: twee met een cijfer (de poedelprijzen) en één met de joker
(de hoofdprijs). Hij schudt de kaart en legt ze met de rug naar boven op een tafel. Voor hij de
kaarten legt, gluurt hij even waar de hoofdprijs ligt. De spelkandidaat maakt een voorlopige
keuze. Eén van de andere kaarten, een nepprijskaart, wordt door de quizmaster omgedraaid. De
kandidaat wisselt al of niet van speelkaart en kijkt of hij de joker in de wacht sleept. De derde
leerling houdt op een turfkaartje bij hoe vaak het spel door de kandidaat gewonnen wordt en of
hij al dan niet verwisselde van kaart.
geWOhf\ef\
hier 9ewof\f\ef\
gewisseJJ
hier gewisselJ
19
Uitwiskeling 19/4(oktober2003)
Na
het
beëindigen
van
deze
������
simulatie
zullen
de
verschillende
experimenteergroepen
verschillende resultaten hebben. Hun turfstreepjes worden samengeteld in een samenvattende
tabel. In het geval er gewisseld wordt, zou de succeskans (relatieve frequentie) rond
liggen, in het geval er niet gewisseld wordt rond
f
t.
f
moeten
De misschien eerder voorspelde succeskans
lijkt nu volledig uitgesloten.
Het uitvoeren van de simulatie heeft vast bij een deel van de leerlingen een licht geworpen op
het mechanisme achter hun winstkans. Voor sommige leerlingen is deze verklaring eenvoudig
onder woorden te brengen, andere leerlingen hebben nog wat hulp nodig. Echte berekeningen
zijn bij dit probleem niet nodig. We doen een poging om de winstkansen bij de twee strategieën
van de Monty Hall-quiz door een redenering te verklaren:
1.
In het geval dat de speler van deur verandert, sleept hij enkel de hoofdprijs in de wacht
wanneer hij oorspronkelijk fout gokte. Stel dat de oorspronkelijk gekozen deur fout is dan
opent de quizmaster, die voor de opnames achter de schermen heeft gekeken, immers de
tweede foutieve deur en belandt de kandidaat uiteindelijk bij de derde en goede deur. De
kans op een oorspronkelijk foutieve gok (en op een juiste definitieve gok) is gelijk aan
2.
f;
In het geval de quizkandidaat onverzettelijk bij zijn eerste idee blijft, doet het er niet meer
toe welke show de quizmaster nadien nog opvoert. De winstkansen worden volledig
bepaald door de eerste en definitieve keuze van de kandidaat. De strategie niet meer van
deur te veranderen, leidt bijgevolg tot een winstkans van
t.
Uiteraard zijn er nog talrijke andere verklaringen mogelijk voor deze winstkansen. Ook kunnen
er nog nevenbeschouwingen gemaakt
worden,
bv.:
bepaal de
winstkansen
wanneer de
quizmaster op voorhand niet gekeken heeft waar de hoofdprijs verborgen is (en de speler niet
voor de door de quizmaster geopende deur mag kiezen, zelfs niet wanneer de spelleider per
toeval de hoofdprijs ontdekt).
Blijkbaar is het
voor leerlingen gemakkelijker verklaringen te bedenken naarmate het
kansexperiment meer tastbaar is uitgevoerd. Simuleren kan vindingrijkheid van de leerlingen
stimuleren.
4. Simulaties en kansberekening
Het berekenen van kansen loopt niet altijd van een leien dakje. Het uitzoeken van wat er
misloopt bij de kansberekeningen die onze leerlingen maken evenmin. Soms worden we in de
klas geconfronteerd met verschillende resultaten en kunnen we niet eens beslissen welke van de
berekende kansen met de werkelijkheid overeenstemt. Wanneer de intuïtie en het wiskundige
inzicht het laten afweten kunnen simulaties vaak een uitkomst bieden. Soms ook hebben
realistische kansproblemen een wiskundige complexiteit die exacte oplossing afraadt. We zijn
dan meer gebaat bij een simulatie die weliswaar geen exacte kans berekent, maar die ons wel
een theoretisch kluwen bespaart.
20
onderdeloep
a. Waar gaat het wel eens mis?
We inventariseren eerst enkele oorzaken van fouten en hindernissen die bij de berekening van
kansen kunnen opduiken.
1.
De analyse van het kansvraagstuk bevat soms te veel gevallen. De leerling verliest dan het
globaal overzicht en verdwaalt in een onoverzichtelijk vertakt labyrint, bv.:
Drie personen spreken af elkaar te ontmoeten tussen 12u en ]Ju in de stationshal. Alledrie
kiezen ze onafhankelijk \ an elkaar, een willekeurig tijdstip lussen 12u en ]Ju l-vaarop ze
arriveren. Bereken de kans dat het drietal toekomt in een tijdsbestek \ an minder dan een
half uur.
2.
Bij sommige vraagstukken kan de gevraagde kans alleen op een efficiënte manier berekend
worden door over te gaan op de complementaire kans. Op andere manieren blijken de
oplossingsmethoden lastig tot onvindbaar te zijn, bv.:
Bereken de kans dat in een gezelschap \cm 2J willekeurige personen tu ee of meer
personen op dezelfde dag jarig z{jn
3.
Vaak vergissen de leerlingen zich tussen trekkingen met of zonder teruglegging (herhaling)
en tussen trekkingen met of zonder volgorde. De leerlingen moeten bewust nagaan of er
een herhaling kan optreden in het vraagstuk bv.:
Bereken de kans dat je tijdens het kaarspel
kaarten) bedeeld kr{jgt.
4.
'u
iezen' drie azen in je set (1 an dertien
Bij voorwaardelijke kansen gebeurt het wel eens dat leerlingen niet beseffen dat ze de
voorwaardelijkheid hebben omgedraaid. Het ontgaat hen e entjes dat er een verschil is
tussen bv.:
De kans dat een dronkaard door het rode Iicht rijdt en de kans dat een roodrtfder dronken
is of de kans dat een jarige taart eet en de kans dat een taarteter jarig is of de kans dat een
vrouw gehtnvd is en de kans dat een gehuwd persoon vrozrn el{jk is ...
5.
Heel wat kansvraagstukken zijn onoplosbaar met de klassieke technieken van kansbomen
en combinatoriek. Af en toe kan toch een oplossing gevonden worden door het berekenen
van kansen via oppervlakten bv.:
Een muntstuk met een diameter van 2 cm wordt opgegooid op een oneindig veld met
puntjes, vierkant uitgerasterd op een ::ijdelingse qf�·tand \ an drie centimeter. Bereken de
kans dat de opgel-t orpen munt één \cm deze puntjes bedekt.
6.
Het over het hoofd zien van bepaalde afhankelijkheden kan leiden tot een foutieve
kansberekening. Zo is het duidelijk dat de kans op een even aantal ogen bij een worp met
een gewone dobbelsteen gelijk is aan
f.
Het antwoord
f
is nochtans niet te verdedigen in
de 'vergelijkbare situatie :
Bereken de kans dat, bij een H orp met t11 ee dobbelstenen, de dobbelsteen met de hoogste
score een even aantal ogen toont.
-------
21
Ui�iskeling19/4(oktober2003)
������
b. Kanssimulatie met een grafische zakrekenmachine
In wat volgt tonen we hoe een simulatie met een grafische zakrekenmachine een oplossing kan
bieden bij hardnekkige kansproblemen. Onze keuze viel hierbij op het probleem van de
'ontmoeting in de stationshal', verwant met het probleem van het duel en het triel (zie [7]). We
tonen eveneens welke inbreng de leerlingen kunnen hebben bij het ontwerpen van een
programma voor de grafische zakrekenmachine. Alles is verpakt in de volgende werktekst
Afspraak in de stationshal
Twee personen hebben afgesproken elkaar tussen 12.00u en 13 .OOu in de stationshal te
ontmoeten. Onafhankelijk van elkaar komt elk van deze personen op een volledig
willekeurig tijdstip tussen 12.00u en 13.00u in het station toe. De eerst aangekomen
persoon wacht geduldig tot de andere aankomt. Heeft hij 30 minuten tevergeefs
gewacht dan ver1rekt hij. Bereken de theoretische kans dat de twee personen elkaar
effectief ontmoeten in de stationshal.
1.
22
Doe een gok naar deze kans zonder één enkele berekening te maken.
onder de loep
Het volgende programma voor de grafische zakrekenmachine onderzoekt door een
simulatie hoe groot de kans is dat de twee personen binnen een tijdsbestek van een half
uur na elkaar toekomen.
PROGRAM:AFSPRAAK
---+
programmanaam
Input "AANT SIMULATIES?",A
---+
geef het aantal simulaties A in
e�s
---+
stel het aantal successenS in op 0
For(N,l,A)
---+
begin van het n-de afspraakje
S+(abs(rand*60-rand*60)<30)�s
---+
verhoogS met 1 bij succes
Output(5,8,N)
---+
toon het nummer n op het scherm
End
---+
einde van het n-de afspraakje
Disp "AANT SUCCESSEN:",$
---+
druk absoluut aantal successen
Disp "REL FREQUENTIE:",S/A
---+
druk relatief aantal successen
Stop
---+
einde van het programma
2.
Voer
dit
programma in
op
je
grafische
zakrekenmachine.
Tracht
via
de
verklaringen (achteraan elke regel) te doorgronden welke de betekenis is van elke
programmaregeL Laat het programma lopen en kies zelf het aantal simulaties. Hoe
groot is volgens jou de kans dat de twee personen elkaar in de inkomhal binnen de
dertig minuten na de aankomst van de eerste zullen ontmoeten?
(De volgende schermafdrukken zijn niet voor elke leerling dezelfde. Wanneer we
het programma resp. 5000, 10000 en 20000 afspraken laten simuleren vinden we
mogelijk de volgende resultaten:
AANT SIMULATIES?
5000
AANT SUCCESSEN:
3815
REL FREQUENTIE:
.763
Done
Een succeskans van
AANT SIMULATIES?
10000
AANT SUCCESSEN:
7477
REL FREQUENTIE:
.7477
Done
I
�--------------�
AANT SIMULATIES?
20000
AANT SUCCESSEN:
14980
REL FREQUE��TIE:
.749
Done
I
f lijkt aanvaardbaar.)
De kans op een ontmoeting binnen de dertig minuten kan ook theoretisch berekend
worden.
We nemen hiervoor een grafisch omweggetje.
Op de assen van het
onderstaande assenstelsel kan je aanduiden hoeveel minuten na 12.00u beide personen
in het station toekomen. De koppels aankomsttijden bepalen telkens een punt in het
vierkant [0, 60]
x
[0, 60].
-----
23
Ui�iskeling1�4(oktober2003)
������
y
60
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
60
x
3.
Duid het punt (50 I 0) aan. Komt dit punt overeen met een geslaagde ontmoeting?
4.
Duid het punt (30, 50) aan. Komt dit punt overeen met een geslaagde ontmoeting?
5.
Als de eerste persoon om 12.20 u toekomt in welk tijdsinterval moet de tweede
persoon dan aankomen om een geslaagde ontmoeting te hebben? Kleur dit interval
op de juiste plaats in het bovenstaande diagram.
6.
Kleur in het vierkant [0 60] x [0, 60] alle punten waarvan het absolute verschil
tussen beide coördinaatgetallen kleiner dan 30 is.
7.
Hoeveel procent van het vierkant [0 60] x [0 60] is nu gekleurd? Hoe groot is de
kans dat de twee personen elkaar in de stationshal ontmoeten?
Eventjes ingewikkelder wordt het wanneer drie personen met elkaar afspreken in de
stationshal en geen van de drie het geduld kan opbrengen meer dan 30 minuten op de
anderen te wachten. Om de kans op een geslaagde reünie van de drie personen op een
meetkundige manier te berekenen is heel wat JO-inzicht nodig. Eenvoudiger is het
echter lichtjes in te grijpen in de programmaregels. De inhoud van de for-lus zal moeten
gewijzigd worden in de volgende drie instructies:
•
Bewaar in de lijst L1 drie randomgetallen uit het interval [0 60].
•
Sla in de variabele V het verschil op tussen max(L1) en min(L1).
•
Verhoog de tellerS met één eenheid als V kleiner is dan 30.
Om deze drie instructies feilloos te programmeren zal je ofwel door de verschillende
menuutjes van je grafische zakrekenmachine moeten grasduinen ofwel je handleiding
moeten raadplegen.
24
onderdeloep
8.
Laat je aangepaste programma lopen en bereken de kans op een geslaagde
ontmoeting met zijn drietjes in de stationshal.
(De onderstaande afdrukjes voor resp. 1000, 5000 en 10000 simulaties suggereren
dat deze kans wel eens gelijk zou kunnen zijn aan f
AANT SIMULATIES? AANT SIMULATIES? AAt�T SIMULAT I ES?
10000
5000
1000
AANT SUCCESSEN:
AANT SUCCESSEN:
AANT SUCCESSEN:
2480
514
5010
REL FREQENTIE:
REL FREQENTIE:
REL FREQENTIE:
. 496
.514
.501
Done
Done
Done
I
I
)
Alle resultaten die verkregen worden door een simulatie wijken een beetje af van de
echte (theoretische) waarde. De door de zakrekenmachine berekende getallen liggen
echter in een cluster gegroepeerd rond de theoretisch waardep die we bij deze oefening
f. Bij
simulatieresultaat in het interval [Pwel gelijk mogen stellen aan
gemiddeld 95 % van de berekeningen zal het
F, F]
F
F=2·Jp (�
p+
aantal simulaties is en waarbij de afwijking
rond de waardep liggen, waarbij n het
kan worden ingeschat met de formule:
-p
9.
)
Behoort jouw simulatieresultaat tot deze 95 <%-cluster? Staaf je antwoord met een
berekening.
{Op deze vraag zou 5 % van de leerlingen of 'in elke klas van twintig leerlingen
ongeveer één leerling' negatief moeten antwoorden.)
5. Simulaties om een hypothese te toetsen
a. De schaakcomputer
In [8] staat de onderstaande hypothesetest die mooi de nieuwe mogelijkheden van simulaties
laat zien. Bovendien is hiervoor geen programma nodig.
Tristan schaakt tegen de computer. Hij speelt 10 s pelletjes na elkaar. Hij verliest {V) en wint
(W) in deze volgorde:
v,v,v,w,v,w,v,w,w,w
Deze opeenvolging kan de indruk wekken dat hij leerde uit zijn ervaring en naar het einde toe
beter begon te spelen: van de eerste vijf spelletjes won hij er maar één, van de vijf laatste vier.
-----
25
UHwiskeling 19/4(oktober2003)
��
��
Maar misschien kan dit door het toeval verklaard worden? We onderzoeken daarom of het vaak
voorvalt dat iemand eerst maar één en nadien vier spelletjes wint, wanneer er in ·werkelijkheid
geen evolutie is. Als er geen evolutie is, dan is het redelijk aan te nemen dat de kans van Tristan
op winnen 0, 5 is, aangezien hij de helft van de tien spelletjes wint.
Algemeen wordt bij een hypothesetoets nagegaan of het toeval de oorzaak kan zijn van een
afwijking van een steekproefresultaat t.o.v. wat men verwacht. In de kansrekening en statistiek
heeft men daarbij nood aan een kansverdeling (binomiale, normale, exponentiële, x2, . . ). Door
.
simulaties in te schakelen is die theoretische achtergrond niet nodig, wat ook een van de
verklaringen is waarom simulaties in toenemende mate gebruikt worden. Niet alleen is het niet
altijd gemakkelijk een passend kansmodel op te stellen, soms is het niet eens mogelijk.
Simulaties ontlasten de gebruiker van deze voorbereidende wiskundige fase, door het toeval aan
het werk te zetten.
Men noemt de veronderstelling dat er geen verschil is tussen de kans op winnen in de vijf eerste
en de vijf laatste spelletjes de nulhypothese (we behandelden het toetsen van hypothesen in [9]).
Het is tegen die nulhypothese dat bewijsmateriaal wordt gezocht, dat echter voldoende
overtuigend moet zijn. De alternatieve hypothese is dat zijn kans op winnen bij de laatste 5
spelletjes toegenomen is.
Om na te gaan of Tristan op het einde beter speelde, kunnen we de volgende toevalsvariabele X
beschouwen: het aantal keer dat hij won in de laatste vijf spelletjes MIN het aantal keer dat hij
won in de eerste vijf spelletjes. Voor de bovenstaande reeks van 1 0 spelletjes is
X= 4
-
1 = 3.
Hoe groter deze waarde, hoe sterker de aanwijzing dat hij op het einde beter speelde.
Het commando
rand(5)
<
0,5 genereert een rij van 5 enen en nullen, bv. {0, 1, 1, 1, 0}, waarbij
de kans op een 1 gelijk is aan 0,5 (we gaan er immers van uit dat de nulhypothese geldt). Het
sum(rand(5) < 0,5), wat voor de bovenstaande rij 3 oplevert.
0,5) - sum(rand(5) < 0,5) geeft het gevraagde resultaat voor één
aantal gewonnen spelletjes is dan
De opdracht
sum(rand(5)
<
uitvoering van het kansexperiment
Om te weten of een uitkomst
X = 3 waarschijnlijk is, wordt dergelijke simulatie 800 keer
uitgevoerd d.m.v. het volgende commando:
seq(sum(rand(5)
<
0.5)- sum(rand(5)
<
0.5), X, 1, 800)
Wil men een grafische voorstelling van de kansverdeling van
•
in L2 komen de waarden van X:
•
in L3 komen de relatieve frequenties:
Met deze twee lijsten L2 en L3 laat men
vervolgens het staafdiagram tekenen dat
hiernaast afgebeeld is.
We lezen hierop af dat
P(X= 3)
�
0,05.
De kans om, louter op basis van het
toeval, bij de vijf laatste rondjes drie
26
�
X, dan kan dat in twee stappen:
seq(X, X, -5, 5)
�
L2
seq(sum(L1=X)/800, X, -5, 5)
L1
3
i
0
•)
1
0
•i
L2:
•i
0
i
2
3
'1
5
L3(9) =.05
L1
L3
.2:i75
.2:�2:5
.2:05
�
.0075
0
3
�
P i=L2A3
L3
onderdeloep
spelletjes meer te winnen dan bij de eerste vijf is slechts 5 %. Deze vrij kleine kans vormt eerder
bewijslast
tegen de nulhypothese.
De kans
P(X�
3)
is bij benadering
0 058.
Men noemt dit ook wel de
P-waarde
of
overschrijdingskans van de waarneming. Men zegt dat de waarneming 'niet significant is op het
5
o/o-niveau': dat wil zeggen dat de kans dat, enkel en alleen als gevolg van het toeval, die
3
zich voordoet, of een nóg extremere uitkomst in de richting van de alternatieve
hypothese,
niet kleiner is dan 5 o/o. Een andere formulering is: 'we verwerpen de nulhypothese
5 %-significantieniveau'. Een P-waarde van 0,058 blijft echter een aanwijzing dat de
uitkomst
niet op het
nulhypothese wellicht niet correct is. Hadden we ons voorgenomen om met een significantie
van
10%
te werken, dan hadden we de nulhypothese wél verworpen op het
Merk op dat een andere simulatie van
opleveren en dat P(X�
3)
800
10
%-niveau.
spelletjes lichtjes verschillende waarden zou
dan wel eens kleiner dan
5
o/o zou kunnen zijn. Variabiliteit is ook hier
aanwezig! Een groter aantal simulaties zal een betrouwbaarder resultaat opleveren, volgens de
wet van de grote aantallen.
b. De leerkracht foefelt
Een leerkracht heeft een eigen bundeltje gemaakt i.v.m. kansrekenen. In de inleiding wil hij de
'wet van de grote aantallen' illustreren. Hij geeft daarvoor een tabelletje met de absolute
frequenties van de uitkomsten van het
180
keer opgooien van een eer! ijke dobbelsteen. Die
frequenties zijn:
Aantal ogen
1
2
3
4
5
6
Abs.freq.
27
31
34
29
30
29
Rel. freq.
0 15
0 17
0 19
0,16
0,17
0 16
Daarmee kan hij aantonen dat de relatie e frequenties ongeveer gelijk zijn aan de kansen op
elke uitkomst. Een leerling verdenkt er hem van die cijfers uit zijn duim te hebben gezogen: de
absolute frequenties liggen volgens haar immers verdacht dicht bij de verwachtingswaarde van
30.
Kan ze hem ontmaskeren?
Eerst moeten we een maat, een getal, vinden om ons vermoeden te kwantificeren. Aangezien het
6
gaat over de afwijking van de absolute frequenties
111
t.o.v.
30
zouden we X=
II 111-30 I
l=l
kunnen onderzoeken. Dat gebeurt in het programmaatje hieronder.
PROGRAM:UWLRKR
ClrHome
� scherm leegmaken
Clrlist L1,L2
� I ijsten L 1 en L2 leegmaken
6-?dim(Ll)
�het aantal ogen komt in L1
27
Ui�iskeling 19/4(oktober2003)
�������
Disp "AANTAL"
Input "SIMULATIES?" ,N
N-?dim(L2)
�
het resultaat van elke simulatie komt in L2
For(J,l,N)
�
begin van een
kansexperiment
Output(4,1,J)
�
geeft het nummer van de simulatie weer
op het scherm
For(I,1,180)
�
uitvoering
van
het
180 herhalingen van:
randint(1,6)-7T
een teerling opwerpen
L1 (T)+l-?Ll (T)
bij het gepaste 'aantal ogen
bijtellen
eentje
End
s um ( seq
(a bs ( L1 ( X ) -30), X ,1,
6 > )-7L2
( J)
Fi 11 ( 0. L1 )
End
�
berekening van de testvariabele X
�
L1 wordt opnieuw leeggemaakt: alle abs.
freq. opnieuw nul
�
volgende
J<N)
simulatie
uitvoeren
(zolang
De grafische weergave van de absolute frequenties van X zie je hieronder voor N
900.
(Eventueel kan je het programma meteen de relatieve frequenties laten berekenen, zoals we in
het vorige voorbeeld deden.)
=
-
f' 1:L2
�
r-
rl-t
f'l'l•J):<12
r'!=36
f'l'lil'l=6
20
20 ..... 900
.0222222222
SUM(l2::510)
38
I
r-
In de tabel van de leerkracht is de som van die afwijkingen I 0. Deze waarde komt echter zelden
voor op louter toevallige basis: P(X I 0) 0 022 en P(X :S I 0) 0,042. Het zit er dus dik in dat
de leerkracht zijn toevallige uitkomsten zelf heeft gefabriceerd: op basis van het toeval alleen
is de berekende afwijking meestal groter.
=
=
=
Er zijn echter ook andere manieren om afwijkingen in een cijfer te gieten. Zo zou men met de
gemiddelde of totale kwadratische afwijking kunnen werken. In de praktijk deelt men de
kwadratische afwijking meestal door de verwachtingswaarde zodat men een soort relatie1 e
fl
kwadratische afwijking verkrijgt: K
=I
'='
de absolute frequentie en e, de
28
(
')
n
1
-e' t
met p het aantal mogelijke uitkomsten
n,
el
erwachte absolute frequentie van elke uitkomst. In ons
onderdeloep
voorbeeld wordt dit dus: K
=
1
-30
Î (n,
-
30)2. Het enige wat veranderd moet worden, is de
t=l
derde laatste regel van het programma. Die wordt dan:
sum(seq((L1(X)-30)A2,X,l,6))/30�L2(J).
Uit een simulatie met N 900 vinden we een benaderde verdeling van K (ter informatie: de
theoretische kansverdeling van K wordt de x2 -verdeling genoemd, met 6- 1 5
vrijheidsgraden).
=
=
SUI"'t(L2S(28/30) )./
900
.0322222222
I
l'ilil'l=O
l'il�x<1
n=29
De geobserveerde totale kwadratische afwijking bedraagt in de tabel van de leerkracht 0,93· uit
de simulatie blijkt dat P(K :S 0,93) 0,032.
=
Hoewel de kans niet nul is, is het nogal onwaarschijnlijk dat de resultaten in de tabel van de
leerkracht echt door het toeval zijn ontstaan: het toeval zorgt blijkbaar voor meer variatie.
De leerkracht heeft wellicht gefoefeld.
c. Het schudmachine
Stel, je neemt deel aan de jaarlijkse uitvinderswedstrijd met een machine die, op een snelle en
volledig eerlijke manier, kaarten kan schudden. De machine werkt met een volledig spel van 52
speelkaarten maar ook met een kleinere set van bv. 10 kaarten. Je bent fier op je uitvinding want
je meent het gat in de markt gevonden te hebben en je hoopt op een miljoenenafzet bij
internationale kaartersverenigingen en casino's. Bij de voorstelling van deze uitvinding voor de
jury wordt er een kaartenschudproef gedaan met een set van de 10 kaarten {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
9, 1 0}. Het resultaat is:
{10, 1, 2, 3, 8, 4, 5, 6, 9, 7}.
Het feit dat 1, 2 en 3 nog steeds naast elkaar staan evenals 4, 5 en 6, is opmerkelijk, maar
misschien volstaat het toeval om deze regelmaat te verklaren.
Er zijn verschillende toevalsvariabelen te bedenken die de mate van 'goed geschud zijn' in een
getal uitdrukken. Zo zou men het aantal elementen kunnen tellen dat nog steeds naast zijn
vorige rechterbuur staat (1 naast 2, 4 naast 5, etc.). Hierboven zijn er 4 elementen die hieraan
voldoen: 1, 2, 4 en 5. Men zou ook het aantal elementen kunnen tellen die nog naast hun linker
of rechterbuur staan. Hierboven zijn er 6 zulke elementen: 1, 2, 3 en 4, 5, 6. Men zou kunnen
tellen hoeveel deelreeksen van 2, 3, 4, ... opeenvolgende getallen er aanwezig zijn. Via een
simulatie kan men tenslotte het resultaat voor de reeks hierboven vergelijken met het gemiddeld
resultaat (in kanstermen: de verwachtingswaarde).
-----
29
Uitwiskeling 19/4(oktober2003)
����-
��
Het programma hieronder telt hoeveel elementen er nog naast hun oorspronkelijke rechterbuur
staan.
PROGRAM:SCHUDDEN.
�
scherm leegmaken
0 utput(11 1 "sIMuLATIE : " )
�
links bovenaan 'simulatie:' schrijven
For(II11see)
�
800 simulaties
Output(1111,l)
�
het simulatienummer op het scherm schrijven
seq(X,X,1,1e)�Ll
�
een ongeschudde rij {1, 2, 3, 4, .. , 10}
rand(1e)-?L2
�
deze rij wordt gebruikt om lijst L1 te herschikken
SortA(L2
�
L2 wordt gesorteerd en alle elementen van L1 worden
ClrHome
I
I
L1)
.
op dezelfde manier mee herschikt
For(J,1,9)
If (LI(J+1)-LI(J))=1
�
initialiseer B (aantal Buren) op 0
�
doorloop nu alle elementen van de herschikte rij L1
�
indien een element 1 kleiner is dan het element rechts
ervan...
Th en
�
.
.. dan is er sprake van een 'buur'
End
End
�
s�LJ (I)
sla het aantal buren op voor deze simulatie
End
Een histogram van L3 toont dat het zeer
uitzonderlijk is dat 4 elementen nog naast
hun rechterbuur staan bij een lukrake
schudding:
slechts in 18 van de 800
simulaties kwam dit voor.
Stellen we het aantal rechterburen voor
door X, dan is P(X� 4)
=
�
p i··LJ:
IYlil'l=Lt
1Ylox<5
...._....
__
....
....__ .
l'l=1B
0,025.
De verwachtingswaarde f.-1.. van het aantal rechterburen is bij goed
schudden ongeveer 0,92. Onze waarde van 4 (of meer) ligt daar zo
ver boven, dat we de hypothese dat de schudmachine goed schudt
(H0: f.J..x � 0,92) moeten verwerpen.
30
SUM(l3=4)/800
.0225
SLWJ(l3�4)/800
.025
1-Var Stats
x=.92375
Ix=739
Ix2=1463
Sx=.9882594591
crx=.9876416038
..J..n=800
I
onder de loep
6. Simulaties en kansverdelingen
a. Een simulatie met sleutels
Op onze school lopen de leerkrachten rond met dikke sleutelbossen. Er is een aparte sleutel voor
het informaticalokaal, eentje voor fysica, oor scheikunde, voor het auditorium ... Alleen de
directeur en de schoonmaaksters hebben een loper. Zelf heb ik vier nagenoeg identieke sleutels
aan een ringetje hangen. Ik heb ze niet gemerkt. Een slordig trekje. De leerlingen weten al op
voorhand dat ik bij het openen van een klaslokaal meermaals zal moeten proberen om toegang
te krijgen. Voor mezelf heb ik nagerekend dat ik gemiddeld 2 5 keer een sleutel in het sleutelgat
moet stoppen in de optimistische veronderstelling dat ik niet uit verstrooidheid tweemaal
dezelfde sleutel op 0ezelfde plaats uittest. Het ringetje van mijn sleutelbos heeft een cruciale rol:
het zorgt ervoor dat de opeenvolgende keuzen van de sleutels afhankelijk van elkaar zijn. Ik kan
er bijvoorbeeld voor kiezen de sleutels op volgorde uit te testen wat betekent dat ik 'trek zonder
teruglegging en dat de succeskans bij elke mislukte poging groter wordt.
Wiskundig (en programmeertechnisch) gezien is het eenvoudiger te trekken met teruglegging .
Daarom haal ik de sleutels van het ringetje, stop ze alle vier in mijn zak schud ik goed bij elke
trekking en stop ik als de deur niet open gaat de getrokken sleutel weer bij de drie andere.
-------
31
Ui�iskeling19/4(oktober2003)
����
Alleen zo is de onatl1ankelijkheid van de afzonderlijke experimenten gewaarborgd. Wanneer ik
de leerlingen vraag hoe vaak ik in deze nieuwe omstandigheden gemiddeld zal moeten proberen
om de deur te kunnen openen, krijg ik uiteenlopende antwoorden. De getallen 2, 4 en 8 zijn
toppers maar ook oneven getallen worden vernoemd.
De aanzet tot een georganiseerd
onderzoek is gegeven.
Hoewel het sleutelprobleem geschikt is voor een live-simulatie, kiezen we hier voor een
simulatie met een grafische zakrekenmachine: we willen het aantal experimenten namelijk
opdrijven tot enkele honderdtallen. Met een verbindingskaheitje wordt een programma van
zakrekenmachine tot zakrekenmachine doorgegeven in de klas. Dit programma opent virtueel
een aantal keer de deur van de wiskundeklas en houdt in een lijst bij hoeveel pogingen er
telkens nodig zijn vooraleer het eerste succes optreedt. De leerlingen krijgen de opdracht het
aantal simulaties te kiezen en dit aantal op de zakrekenmachine in te voeren het programma te
laten lopen, de resultaten van de simulatie uit te zetten in een histogram en de kengetallen
(gemiddelde,
standaardafwijking,
bereik,
interkwartielafstand, ... )
van
dit
histogram
te
berekenen.
Welk type van grafische zakrekenmachine er ook gebruikt wordt, de programma s voor deze
simulatie zullen slechts op een klein aantal taalkundige details van elkaar verschillen. Dit
betekent uiteraard niet dat je met gemak verschillende types van grafische zakrekenmachine in
de klas kan mengen. Het programma dat hieronder afgedrukt wordt is geschreven voor Tl-83.
�
programmanaam
�
geef het aantal simulaties A in
seq(X,X,1,30)�Ll
�
zet de getallen van I tot 30 in L1
seq(0,X,l,30)�L2
�
zet 30 nullen in L2
�
begin van den-de simulatie
PROGRAM:DEUREN
Input
"AANT SIMULATIES?",A
For(N,l,A)
toon het
Output(5,8,N)
algnummernop het scherm
zet de teller T voor het aantal pogingen op nul
S=O betekent mislukking S = I betekent succes
zolang de opening van de deur mislukt ...
While S=0
verhoog teller T voor mislukkingen met één
succesindicatorS wordt I met kans 1/4
rand<0.25�s
einde van de zolang-lus
End
verhoog het T-de getal in L2 met één
End
�
einde van den-de simulatie
Stop
�
programma-einde
32
onderdeloep
Om te beginnen kan dit programma ingeschakeld worden oor een bescheiden simulatiegrootte,
bv. 500. Na enkele minuten is de simulatie al klaar en kunnen de leerlingen de resultaten
inkijken via het statistisch menu. In de eerste lijst (L1) staan alle aantallen pogingen die nodig
kunnen zijn om de deur te openen. Voor die aantallen wordt een (ruime?) bovengrens van 30
voorzien. In de tweede lijst (L2) staat op de T-de plaats het aantal keer dat het in de simulatie
van 500 experimenten voorviel dat er precies T pogingen nodig waren (m.a.w. de frequenties
van L1). De volgende afdrukjes geven resultaten die met een korreltje zout moeten genomen
worden. Het zijn waarden die onderhevig zijn aan een zekere variabiliteit. Bij elke nieuwe
simulatie zullen er andere toevalsgetallen gegenereerd worden die in grote lijnen dezelfde
tendens weergeven als de onderstaande.
Pr9MHOELANG
AANT SIMULATIES?
500
I
500
L1
U:
� 122
2
3
'1
77
69
-----
------
S:6
39
5
'1 1
6
22
7
L 1(1) =1
1
L1
L2
-----
1
� 1'1
9
10
11
12
13
1'1
L HB>=8
16
B
12
7
'1
1
Als je deze lijsten van boven naar onder overloopt kan je vaststellen dat deuren waarvoor een
groter aantal openingspogingen nodig is steeds zeldzamer worden. Helemaal onderaan deze
lijsten (dit hebben we niet afgedrukt) zou je kunnen atlezen dat er in een zeldzaam geval niet
minder dan 27 keer moest gesleuteld worden vooraleer de deur naar de wiskundeklas zich
opende. Zo ver is het in mijn dagelijkse lespraktijk nooit gekomen ...
Na deze of soortgelijke bedenkingen maken de leerlingen een histogram van de getallen in L1
met de frequenties uit L2. De vorm van dit histogram herinnert niet aan een gekende
verdelingsfunctie: de uniforme is geblokt, de binomiale is meestal klokvormig .. . Deze
verdeling is (voorlopig) naamloos en glijbaanachtig.
1-Var· Stat.s
x=4.27
Ix=2135
I::-::2=15813
Sx=3.663323611
ax=3.659658454
·J..n=50�3
I
1-'.}ar St.ats
tn=500
MinX=1
Q1=2
Med=3
Q3=6
MaxX=27
I
De overgang van een histogram naar de statistische berekening van de kengetallen (gemiddelde,
standaardafwijking, bereik interkwartielafstand ... ) werd in vorige jaren meermaals
ingeoefend. Het gemiddelde aantal pogingen om een deur te openen blijkt gelijk te zijn aan
4,27, een getal dat in grote mate onderhe ig is aan een speling van het lot. De voorspelling met
de grootste overtuigingskracht blijkt (nog steeds?) 4 te zijn. Maar met een standaardafwijking
van 3,65 weet je maar nooit ... Om met meer zekerheid te mogen beweren dat er gemiddeld 4
openingspogingen nodig zijn moet de simulatiegrootte ernstig opgedreven worden of moet er
een theoretisch kader uitgebouwd worden.
-------
33
Ui�iskeling 19/4(oktober2003)
������
b. Een nieuwe kansverdeling
Simulaties zijn een uitgelezen werkinstrument om nieuwe kansverdelingen in te leiden. In de
eerste plaats denken we hier aan de binomiale kansverdeling, die de kans aangeeft op k
successen in een rijtje vannonafhankelijke uitgevoerde Bernoulli-experimenten (experimenten
met slechts twee mogelijke uitkomsten: succes of mislukking). In de loep van 'verklarende
statistiek' (zie [9]) illustreerden we hoe de binomiale kansverdeling kan aangebracht worden
aan de hand van een gokspel met een dobbeltetraëder.
Hierboven hebben we een nauw verwante kansverdeling opgebouwd: de geometrische
kansverdeling. Deze verdeling onderzoekt hoe lang men moet wachten op het eerste succes bij
een reeks van onafhankelijk uitgevoerde Bernoulli-experimenten. De geometrische verdeling is
tot nu toe geen verplicht onderdeel op het leerplan. Ze past echter wel in de 'vrije ruimte', die in
de toekomst in de derde graad in het vrij onderwijs zal ingevoerd worden.
De geometrische verdeling heeft heel wat aantrekkelijke kantjes. Bij zeldzame gebeurtenissen
(bv: in de Ardennen een vos vangen die besmet is met hondsdolheid de vier azen toebedeeld
krijgen bij het kaartspel wiezen, ...) is het interessanter de wachttijd tot het eerste succes op te
meten dan het aantal successen te tellen. Wat betreft technische uitwerking is de geometrische
verdeling ook heel wat eenvoudiger dan de binomiale. De enige voorkennis die nodig is voor de
geometrische kansverdeling is de theorie van de meetkundige (geometrische) rijen. Bovendien
is het duidelijk dat de huidige behandeling van kansverdelingen, opgebouwd rond de binomiale
en de normale verdelingen de indruk wekt dat alle kansverdelingen klokvormig moeten zijn.
Tijd dus voor wat variatie.
c. Het gemiddelde van de geometrische verdeling
Na de simulatie komt het theoretische gedeelte. Willen we echt zeker zijn dat het gemiddelde
van de 'geometrische verdeling' in het hierboven beschreven experiment bij 4 ligt, moeten er
enkele berekeningen gemaakt worden. We leiden de redenering van de leerlingen in goede
banen via de volgende werktekst
Wachten op het eerste succes
In mijn zak zitten vier sleutels die visueel ononderscheidbaar zijn. Slecht één ervan past
op de deur van het wiskundelokaaL Ik neem een willekeurige sleutel uit mijn zak en
doe een poging de deur te openen.
1.
Hoe groot is de kans P(X
I), dat ik meteen succes heb? X is het aantal
pogingen dat nodig is om de deur te openen.
=
(Er zin
j vier sleutels, slechts één past dus P(X
34
=
I)
1
=
-
4
.)
onder de loep
Wanneer de sleutel niet past stop ik hem terug in mijn jaszak en schud de inhoud
duchtig door elkaar. Ik trek opnieuw een sleutel en probeer voor de tweede keer.
Wanneer de sleutel wel past is het afgelopen er wordt dan geen derde sleutel
getrokken.
2.
Hoe groot is de kans P(X
succes heb?
2) dat ik na twee trekkingen voor de eerst keer
=
(De eerste trekking moel een mislukking zijn,
p (X
=
2)
3
de 111 eede een succes dus
I
= 4. 4 .)
Mocht het ook deze keer mislukken herhaal ik de procedure van vooraf aan.
3.
Hoe groot is de kans, P(X
(Deze situatie doet zich
mislukkingen dus P(X
4.
=
1
=
( 4 :! 4.)
J
oor wanneer een succes volgt op twee onafhankelijke
3
3)
Hoe groot is de kans, P(X
3) dat ik de deur pas na drie pogingen kan openen?
=
=
k), dat ik de deur pas nakpogingen kan openen?
( 4)Á _, 4.)
(Deze situatie doet zich voor
mislukkingen dus P(X
=
k)
I
·
H
anneer een succes
3
=
1
olgt op k-1 onafhankelijke
1
·
Deze laatste formule duidt aan dat de stochastische variabele X geometrisch verdeeld'
is met slaagkans
t.
We schrijven verkort: .X
-
Geo(
+ ).
Geometrische verdelingen
geven de kans aan om een eerste succes te boeken in hetk-de experiment van een serie
onafhankelijk uitgevoerde Bernoulli-experimenten.
5.
Schrijf een formule op voor het gemiddelde
van de stochastische variabele
J.l.r
X� Geo (t ) .
Om Jlx exact te berekenen zijn er enkele tussenvraagjes nodig.
6.
Een gekende formule voor de som van de termen van een meetkundige rij is:
2
:-�
4
l+q+q +q +q +
.. .
I
=--.
1-q
Voor welke waarden van q con ergee11 de som in het linkerlid naar de waarde in
het rechter Iid?
(Eerder in de lessen werd de formule 1 oor de som van de termen 1 an een
oneindige meetkundige rij aangetoond �� aarbij het quotiënt q in het interval
]-l l [ gelegen is. Het gebruik van een 'meetkundige of geometrische rij'
1 erklaart hier de term 'geometrische 1 erdeling '.)
35
Uitwiskeling 19/4 (oktober 2003)
7.
Bereken de afgeleide van beide leden en stel ze gelijk aan elkaar.
(1 + 2x + 3x2
+
4x3 + ..
. =
1
(l-x) 2
. Strikt genomen moeten eerst de convergentie-
voorwaarden gecheckt worden, maar vermits dit te ver zou leiden belasten we de
leerlingen hier niet mee.)
8.
Vervang q door de waarde
t
en vermenigvuldig beide leden met
f. Bereken zo de
exacte waarde van Jlx.
(Jlx
=
4)
Hiermee is de aanzet gegeven voor het bestuderen van een nieuwe kansverdeling. Een
exemplarisch onderzoek heeft uitgewezen dat de gemiddelde wachttijd op het eerste succes
gelijk is aan 4 (experimenten) wanneer het gaat over een serie Bernoulli-experimenten met
t.
slaagkans
Dit resultaat is veralgemeenbaar. Wanneer we een serie onafhankelijke Bernoulli­
experimenten uitvoeren met individuele slaagkans p zal de gemiddelde wachttijd op het eerste
succes
-};
bedragen.
Een gekende toepassing op deze formule is het dobbelsteenprobleem: "Hoeveel keer moet men
gemiddeld met een gewone dobbelsteen werpen opdat alle ogen minstens één keer zouden
gegooid zijn?". Probeer nu even eerlijk te spelen en doe een gok zonder verder vooruit te lezen.
Eventueel kan je proefondervindelijk te werk gaan via een simulatie met een dobbelsteen.
Een soortgelijk vraagstuk gaat over zakken chips waarin telkens één flippo verborgen zit. Om
de chipsconsumptie te stimuleren zijn tien verschillende soorten flippo's ontworpen, ze worden
gelijkmatig over de geproduceerde zakken chips verdeeld. Het flippoprobleem luidt: "Hoeveel
zakken chips moet een flippoverzamelaar gemiddeld leegeten om de hele collectie flippo's
bijeen te sparen?". Bij deze vraag lijkt het gezonder een redenering te volgen dan een live­
simulatie uit te voeren.
Lezers die een eerlijke gok gewaagd hebben naar de oplossing van het dobbelsteen- en het
flippoprobleem krijgen in deze laatste alinea inzage in de oplossing van beide vraagstukken.
Wanneer men een aantal keer met een dobbelsteen werpt kan de tweede worp gelijk zijn aan de
eerste. De kans hierop is
Het zal dan gemiddeld
t
i.
De kans op een tweede worp die verschilt van de eerste worp is
t.
worpen duren vooraleer voor de eerste keer een worp gedaan wordt
die niet gelijk is aan de eerste worp. Op een analoge wijze kunnen we aantonen dat het
gemiddeld
f
worpen zal duren vooraleer een worp gedaan wordt die ongelijk is aan de twee
vorige worpen en dat het gemiddeld
-}
worpen zal duren vooraleer een vierde worp een
6
6
6
6
6
6
· ·
1 Ctj
··.c
1 er toont . . . I n totaa I mogen we verwach ten d at na - +- +- +- +- +- worpen
ongmee
6
5
4
3
2
1
alle vlakken van de dobbelsteen minstens een keer bovenaan gelegen hebben. We herhalen een
analoge redenering voor een dobbelsteen met tien vlakjes en besluiten hieruit dat er gemiddeld
36
onderdeloep
10
-+
10
10
-
9
+
10
-
8
+
10
-
7
+
10
-
6
+
10
-
5
10
+- +
4
10
-
3
+
10
-
2
+
10
-
1
.
zakken chips opengescheurd moeten worden
om de volledige collectie flippo's te bemachtigen. Uitgedrukt in decimale getallen gaat het over
14,7 worpen met een dobbelsteen en over 29,2 zakken chips.
Bibliografie
[1] Kahneman, Slovic en Tversky, Judgment zmder uncertainty: Reuristics and biases, Cambridge
University Press (Cambridge), 1982
[2] Johan Deprez, Hilde Eggermont en Jan Roels, De normale verdeling, Uitwiskeling 18/1 (200 I),
p.15-47
[3] Marilyn vos Savant, Ask Marilyn, Parade Magazine (17 februari 1991 ), p. 12
[4]
Henk Tijms, Spelen met Kansen, Epsilon Uitgaven (Utrecht),
1999
[5] H. Pot, De grootste kans op Honoloeloe, Pythagoras 26/6, p. 12-17, besproken in Uitwiskeling 4/4
(1988), p. 58
[6] Hilde Eggermont, Kansen in de genetica, Uitwiskeling 19/3 (2003), p. 8 - 1 I
[7] Johan Deprez, Jan Roels, Michel Roelens, Kansen van 1 tot 6, Uitwiskeling 8/2 (I 992), p. 20- 58
[8] PieiTe Gevers e.a., Delta 5/6 Kansrekenen (618u), Wolters Plantyn (Mechelen), (in druk)
[9] Regi Op de Beeck, LucVan den Broeck, Verklarende statistiek, Uitwiskeling I 8/3 (2002), p. 18-52
Een interessant hulpmiddel om simulaties uit te testen is het programma Virtual TI: het bootst
een Tl83 (of 83 Plus of 92, . . . ) na op je PC. Standaard lopen programma's in die virtuele
machine even snel als op het echte toestel, maar er is een optie om het aan computersnelheid te
laten werken, wat heel wat tijdwinst betekent.
Je vindt het programma op http://www.ticalc. org/archives/files/fileinfo/84/8442.html
--
---
37
l l l'l ,!l!'\i\l l l!l!l l!l!l l!l !l!l!l!l!l!l!l!l!l!l!l!l!l l!l!l!l!l!l!l!llll!lll�lllll!l!l!l l!l!l!l!l!l l l l!l!lil l l l lil il l !l l!l!l !l l!l l!l! l!l!l!l
Eric Weisstein 's World of Mathernaties
http://mathworld.wolfram.com
Stirling•s Approximation
i DOWIILOAD
i0
'l·:t'•�" -''"·
•.,,,,�:,,1
Stirling's appr oximation gives an approximate value for th�factonal funcbon
gamma funcbon
an
f(n)
for n
=
�t·:t1,t.e.•·l·co
I
» 1. The approximahon can most sl!nply be derived forn
integer by appr oxunatmg the sumover the tenns ofthe
Inn!
i;JF
n! or the
Int+ In 2 + ... + ln n =
factonal witl1
t Ink� l" Inxtl.x
(xlnx -x ] � = n lnn- n + 1 � n l n n
-n.
(1)
The equation can also be denved usmg the mtegral defuuhon 0fthe
In. -
100
e
mtegral, so t hat
1
k=l
-%
an
x
n
factonal,
(2)
dx.
ll
N ote that the derivabve of the loganthm of the mtegrand can be wntten
d
ln ( f!
tl.x
-
- 2x"
)
d
=
-(n lnx- x)=
dx
n
x
-1.
(3)
"Wat was nu ook alweer de benadering voor n! van Stirling? ', 'Moet ik de wet van Benford
emstig nemen?", 'Wat is een arbelos?" ... allemaal vragen waarvoor een 'encyclopedie van de
wiskunde' nuttig is.
Dergelijke informatiebron bestaat
is van uitstekende kwaliteit en is
helemaal gratis: Eric Weisstein s World of Mathematics.
Het is niet de site waar je wat gaat rondsnuffelen op zoek naar lesideeën uitgewerkte teksten of
stimulerende applets
maar wel een schitterende vindplaats voor informatie, veel informatie,
over zowat elke wiskundige term die je in de praktijk tegenkomt.
Wat mij aanspreekt is de grondigheid waarmee elk onderwerp wordt behandeld. Je krijgt er
immers niet alleen de definitie en enkele belangrijke eigenschappen
bijkomende eigenschappen
38
verwante begrippen,
...
maar soms tientallen
Bij elke formule of eiger,schap wordt
de bibwijzer
vermeld van wie of uit welke bron ze afkomstig is.
De
1s
formulas'
'Pi
over
pagina
een
daar
impressionant staaltje van.
Elke
tekst
van
voorzien
rijkelijk
ook
IS
zodat je steeds elk
kruisverwijzingen,
gebruikt
begrip kunt opzoeken als dat nodig is. Aan het eind
van de tekst staan nog enkele extra verwijzingen
naar
zodat
onderwerpen,
aanverwante
uren
de
wegtikken zonder dat je er erg in hebt. ..
Naast de puur wiskundige inhoud vind je onderaan
elke pagina een uitgebreide bibliografie. De boeken
zijn
16
_,
4 15 14
Durer's magie square 1s
beperkt.
8
7 ��
6
()
naar
verwuzmgen
ook
interessante websites, al blijft dit tot een minimum
2 u
5 10 11
staan
er
Internet-boekhandel
de
met
gelinkt
Amazon.conr
Van een aantal grote wiskundigen vind je er ook
I
een biografie. Alle biografieën zijn gegroepeerd m
Eric Weisstein s World of Scientific Biography.
a
Er zijn trouwens nog drie andere 'worlds : een over
astronomie een over fysica en een over chemie. Je kan je collega s wetenschappen morgen op
een gemakkelijke manier plezieren ...
de wet van Benford
over de arbelos
3 Tl"
ttrcles
G1 and
ca des) <ach h�n
c;; c�scnbrd on rach hili d SD .:n th< :llbdos (call<d ,....,.cL:nrd"
d:um<ttr (AB)(BC)f(AC')
Bn.Icr-ï; l.J""' .srJ hs to ·i...!a thit ;,,u r.a! è..-unn<:n!eu. so th.e r.u:-r.en:alv.llt:s c,fü-.r- rlata dtpu.d en
th� u:.r.� �- û.t; e enra 1 ·n:-:er!'a.! s;:rvt·l't ±ry imt-t...b: n F(�) �·::r f',;ch r.u:r�t ers. ti:cn J m·;n t:
(IJ
rP'(z)
hJ\.Jt.i s
.:,,-;,
11
P(.rJ
=
1/.r )jj,..,��� !};; l.
r
�
-P(r),
t a
!•t·p r rr� b.i!.l lrr; ·btr.liO:•. (r.J�:e 1: d:.verges).
(2
..
..
t\th ti".: bw; fi-h·;!l:i .!rd turru.."l i:.:rN!rl'::•. nc:r.ç· H c1..tdfs F.:r tK..!..7 ._J:I:, é!treei Jd±eues ue
.!at:I:.··.I�J Uf.l! nrJ( .:,.er the r.r.gt- • f 11:• s�·rr.� rnl.....-JT.u:n cutoff · a..Ue . &.en th:y1J obty som:û.r..g
c!- H' !:'r- J•:I•i's�.l·N
..
..
n
�
�r(l- r)
�··1PI
I
!.._____._
�'.;;
,�
\ ��t-rlt."
�-..
..1...!
� 1-r C:
-
Th� po !tb-. m ,_.f the codes C3:l t: ft·UL i u!u.g tht tna..�t !' �h�.··,o�.n ab.;..ve TI,! !�l.s f û.:­
honro>n.all�g; ar.d t. '!'Ot<nusrs ar< l:no,.'!l as !ll±:at,d, s<o thr ,·.mcall<il can toe f<·unj u:u�
!l-.e c:rcks a;
thr f'>'tha6or<an th<ör<m Th.s thrn g.ves tl:r crrJ<rs
r- R = jr(l + r)
�
Jo
;::
IJtgl
Po �
J:" P\;),Jr
/,'" P(r)dr
=
[J
.(
1
�.�, . 1- D
)
(J,
Pedro
39
Uitwiskeling 19/4(oktober2003)
��
��
Martine de Terwangne, Belgische breukenpuzzels
willem bartjens, 19/5 (2000),
p
19- 21
Wanneer je in de meeste wiskundeboeken op zoek gaat naar de hoofdstukken over breuken
worden die geïllustreerd met taarten die netjes in acht gelijke spieën verdeeld zijn, vierkanten
die keurig verdeeld worden in gelijkvormige rechthoeken, stroken die opgedeeld worden in 14
gelijke stukken, ... Toen mijn blik echter op dit (Nederlands) artikel viel, was ik aangenaam
verrast over de originaliteit van de veràelingen van de gehelen.
Terwangne,
is
een
(Franstalige)
Belgische,
een
medewerkster
De auteur, Martine de
van
de
GEM
(Groupe
d'Enseignement Mathématique, Louvain-la-Neuve). Het is de GEM die deze puzzels voor het
breukenonderwijs bedacht heeft.
Het artikel gaat uit van het standpunt dat je bij de aanbreng van breuken niet enkel mag starten
met voorbeelden als
+
of
t.
Een eenvoudig en goedkoop hulpmiddel daarvoor is het gebruik
van breukenpuzzels. Om die te maken vertrek je van een A4-blad als geheel. Dit verdeel je in
verschillende stukken (zie figuur). Je krijgt dan niet alleen voorbeelden van breuken met andere
(grotere)
noemers maar je kan ook allerlei meetkundige figuren gebruiken (vierkanten,
rechthoeken, ruiten, driehoeken, parallellogrammen, ... ) binnen één geheel. Je knipt de stukken
los en geeft elke leerling een puzzel. De leerlingen maken eerst de puzzel (een A4-blad eronder
geeft de juiste vorm weer), benoemen daarna de stukken met een breuk en controleren tenslotte
hun oplossing (de som van de breuken=
1).
�/
Het eerste wat me opviel bij deze puzzels was, dat binnen één figuur soms verschillende
voorsteilingen van dezelfde breuk voorkomen. Zo vind je bijvoorbeeld in de eerste figuur
tr
terug als een vierkant en als een driehoek binnen eenzelfde geheel. De leerlingen ervaren op
deze manier dat de vorm van een stuk de waarde van de breuk niet bepaalt.
40
de bibwijzer
Daarnaast merkte ik op dat bij het opl ssen van deze puzzels heel wat kennis (onbewust)
gebruikt wordt:
•
Het verhoudingsaspeet van breuken kan je bij deze oefeningen op een eenvoudige manier
duidelijk naar voor laten komen: ·Dit deel is
' Dit deel is
t
want het is de hel ft van
+
.
+
want het past vier keer in het geheel.' of
Dit breukaspect wordt in de meeste lessen
minder benadrukt en is voor de leerlingen minder bekend. Bij breuken wordt gewoonlijk het
verdelen van het geheel sterk benadrukt.
•
Na het benoemen van de breuken wordt er ter controle gecheckt of alle breuken samen het
geheel vormen. Hierbij wordt het gelijknamig maken van breuken en het optellen van
breuken gebruikt.
•
Twee verschillende leerlingen die eenzelfde puzzel oplossen kunnen een oplossing krijgen
die niet helemaal dezelfde is. Sommige stukken kunnen gespiegeld zijn of op een andere
plaats liggen.
•
Bij het klassikaal bespreken van de oplossingen leren de leerlingen hun zelf ontdekte
strategieën verwoorden.
In het artikel vind je alvast mooie voorbeelden van hoe leerlingen reageren op deze opgaven,
hoe ze hun bevindingen verwoorden en welke mooie strategieën ze zelf ontdekken. Je kan met
andere woorden al eens proeven van wat het resultaat zal zijn als je deze puzzels zelf gebruikt in
een les.
Els
0L-o '63.
-------
41
Uitwiskeling19/4(oktober2003)
����-
��
T. Gowers, De kortste introductie wiskunde,
Winkler Prins, Utrecht, 2003, ISBN 90-274-7994-1
(vertaling van Mathematics: a very short introduction, Oxford University
Press, 2002)
Een klein, onopvallend boekje dat in je broekzak past. De titel zegt niet veel, maar dat komt
doordat het boekje thuishoort in de reeks "x: a very short introduction", waarbij x een vakgebied
is (wiskunde, kosmologie, architectuur, postmodernisme, ...). Telkens worden enkele essentiële
ideeën van vakgebied x door een vooraanstaande expert uitgelegd.
De auteur van dit boekje, Timothy Gowers (01963), is inderdaad niet de eerste de beste. Hij
doceert wiskunde aan de universiteit van Cambridge, won in 1998 de Fieldsmedaille en was één
van de drie hoofdsprekers op het historische millenniumcongres te Parijs in 2000. (Een video­
opname van zijn millenniumrede "the importance of mathematics" vind je op het web: [ 1 ].)
Deze 'kortste introductie' is geen soort 'brugcursus' voor wie op school niet goed heeft opgelet
en later wat elementaire wiskunde nodig heeft. Evenmin is het één van de vele populariserende
werken waarin vooral de meer spectaculaire wiskundethema's met een humoristisch sausje
worden opgediend. In de inleiding is de auteur daar duidelijk over: "Ik veronderstel dat de lezer
belangstelling heeft zonder dat ik die hoef op te kloppen. Daarom heb ik dit boek geschreven
zonder
anekdotes,
grappige
tekeningetjes,
uitroeptekens,
hoofdstuktitels
met
grappige
woordspelingen of plaatjes van de Mandelbrotverzameling." Waar gaat het boek dan wel over?
De rode draad is abstractie: wat is abstractie in de wiskunde en waar dient het voor?
Een eerste vorm van abstractie is de vereenvoudiging van de werkelijkheid tot een wiskundig
model. Neem bv. het gekende probleem "onder welke hoek moet je een steen gooien opdat die
zo ver mogelijk zou geraken?" Om een dergelijk probleem met wiskunde te kunnen oplossen,
moet je abstractie maken van de luchtweerstand, de afmetingen van de steen, het variëren van
de beginsnelheid, enz. Soms kan een zelfde model gebruikt worden om totaal verschillende
problemen voor te stellen. Het kleuren van een kaart (geen buurlanden mogen dezelfde kleur
hebben) en het maken van een lessenrooster voor onderwijs in 'modules' (door een zelfde
student gekozen modules mogen niet gelijktijdig worden geroosterd) blijken één en hetzelfde
probleem te worden als je die modelleert met grafen. Met dit voorbeeld maakt Gowers de
overgang naar een andere vorm van abstraheren: "het kan ons eigenlijk niet schelen wat de
objecten zijn (landen, modulen) en wat we er precies aan toekennen (kleuren, lestijden)".
Abstractie kan er dus ook in bestaan dat je geen belang hecht aan de aard van de objecten "Een
wiskundig object is niet wat het is maar wat het doet". Aan de hand van elementaire getallenleer
legt Gowers het verschil uit tussen abstract werken en steunen op de betekenis van de objecten.
Als je d' bekijkt als het product van n factoren a, dan steun je op de betekenis van een macht.
Maar op grond van die betekenis kun je niet zomaar bepalen wat 21'5 is. Je kunt a echter ook op
"
een abstracte manier aanbrengen door twee regels aan te nemen:
1
a =a
en
a
m+n
=
a
111 11
a •
Steunend op deze twee regels (uitgebreid tot rationale exponenten) en op enkele rekenregels van
42
de bibwijzer
de optelling en de vermenigvuldiging die vooraf als axioma's werden aangenomen, kun je dan
afleiden dat
i·5
gelijk moet zijn aan
.J8.
Het volgende hoofdstuk gaat over bewijzen. Aan de hand van een klassiek bewijs van de
irrationaliteit van
f2
wordt ingegaan op de principiële mogelijkheid om de stappen van een
bewijs te verfijnen tot op het niveau van de axioma's en logische regels: twijfelt iemand aan de
stap "als r2 even is, dan is r ook even" uit dat bewijs, dan kan deze stap gepreciseerd worden
door het kwadraat van een willekeurig oneven getal 2s + 1 uit te rekenen; twijfelt iemand aan
het feit dat elk oneven getal van die vorm is (de definitie van oneven zegt enkel 'niet even ... ),
dan kan dit desnoods met volledige inductie worden bewezen· en het principe van volledige
inductie hoort bij de axioma's over de natuurlijke getallen. Gowers legt ook uit waarom vanuit
een
abstracte
visie
soms
eigenschappen
moeten
worden
bewezen
die
voor
de
leek
vanzelfsprekend lijken. Een voorbeeld hiervan is de eenduidigheid van de ontbinding van een
natuurlijk getal in priemfactoren. Een ander voorbeeld is de stelling van Jordan: elke vlakke
gesloten (continue) kromme die zichzelf niet snijdt, verdeelt het vlak in twee gebieden.
Er
volgen
hoofdstukken
over
limieten en
oneindig,
over
het
begrip dimensie
(en de
mogelijkheid om via abstractie te komen tot dimensies groter dan 3 en tot gebroken dimensies),
over meetkunde (met niet-Euclidische meetkunde) en over schatten en benaderen. In het laatste
(en volgens mij minder geslaagde) hoofdstuk gaat de auteur in op enkele vaak gestelde vragen
over wiskunde en wiskundigen. Gaan wiskunde en muziek samen? Waarom hebben zoveel
mensen een afschuw aan wiskunde? Gebruiken wiskundigen computers bij hun werk? Waarom
vinden wiskundigen sommige bewijzen mooi?
Op één punt ben ik het met de auteur oneens. Hij suggereert om in het onderwijs sommige
begrippen van bij het begin op een abstracte manier aan te brengen, om die begrippen m.a.w. te
leren gebruiken zonder te zeggen wat ze betekenen (bv. machten aanbrengen via de twee hoger
vermelde regels in plaats van als gedurig product). Volgens mij sla je dan een essentiële stap
over in de begripsvorming.
Deze 'kmiste introductie' is een boek waarin op een vlotte manier over abstractie in de
wiskunde verteld wordt zonder dat het een abstract boek is. Ik ben zeker van plan om het door te
geven aan sommige van mijn leerlingen van de derde graad!
Michel
Bibliografie
[I]
http://www.claymath.org/ Annual_Meetings/2000 _Millennium_ Event/Video/
Vrijdag 6 en zaterdag 7 februari 2004: tiende (!) editie van de Nederlandse Nationale Wiskundedagen
in Noordwijkerhout (bij Leiden).
Vraag een programmabrochure aan: [email protected] of+ 31 30 263 55 54.
----
43
Het spinnenweb
19/1
W. De Volder, Ode aan de wiskunde
19/1
J. Willems, Uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen: een alternatief
7
1911
19/2
M. Roelens, Wentelende lichamen en de hyperboloïde
9
R. Van Eecke, Van koffiekrans tot warmtewet van Newton
2
19/2
L. Van den Broeck, Goniometrische strategieën
19/2
L. Van den Broeck, Het hartje van Geert
6
8
19/3
1. Roels, Een marathonloop: afstanden bij verschillende tijdsintervallen
19/3
H. Eggermont, Kansen in de genetica
3
3
8
19/4
M. Roelens, Meer melk in de kof
f ie dan kof
f ie in de melk
2
19/4
D. Klingens, Raaklijnen aan twee cirkels: een machtig alternatief
5
Onder de loep
19/1
Migratie- en Lestiematrices
19/2
Functies en veranderingen in de derde graad TSO
10
19/3
Buiten-gewone leerlingen in de wiskundeles
12
19/4
Het simuleren van kansexperimenten
15
9
De bibwijzer
19/1
H. Tij ms, Spelen met kansen
60
19/2
Der Mathematikunderricht 43/1, themanummer over Infinitesimalmathematik'
48
D.L. Goodstein, J.R. Goodstein, Feynman 's lost lecture. The motion ofthe planets around
43
19/3
the sun
19/4
Website: Eric Weisstein 's World ofMathematics
38
19/4
M. de Terwangne, Belgische breukenpuzzels
40
19/4
T. Gowers, De kortste introductie wiskunde
42
44

Vergelijkbare documenten