Gesamte Notizen zu Teil 1 und 2

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Gesamte Notizen zu Teil 1 und 2
Quantenfeldtheorie
Notizen
2009
1
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
Literatur
8
1 Feldtheorie und Vielteilchensysteme
1.1 Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen Mechanik . . . .
1.2 Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen Quantenmechanik
1.3 Der Kontinuumslimes am Beispiel einer schwingenden Saite . . . . . . . . .
1.4 Bewegungsgleichungen und Prinzip der stationären Wirkung . . . . . . . . .
1.5 Kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Beispiel: Quantisierung der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Klassische Feldtheorie im Minkowski-Raum
2.1 Aspekte der speziellen Relativitätstheorie . .
2.2 Lagrangefeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hamilton’sche Feldtheorie . . . . . . . . . . .
2.4 Noether’sches Theorem . . . . . . . . . . . .
2.5 Der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . .
2.6 Der Drehimpulstensor . . . . . . . . . . . . .
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3 Relativistische freie Materie-Felder
3.1 Reelle Skalarfelder . . . . . . . . . . . . .
3.2 Komplexe Skalarfelder . . . . . . . . . . .
3.3 Zur Interpretation der Feldoperatoren . .
3.4 Zeitgeordnetes Produkt und Propagatoren
(i)
Zeitgeordnetes Produkt . . . . . .
(ii)
Retardierungseigenschaften . . . .
3.5 Das Dirac-Feld . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Quantisierung des Dirac-Feldes . .
(ii)
Dirac-Stromdichte . . . . . . . . .
(iii)
Der Dirac-Propagator . . . . . . .
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4 Funktionalintegrale
4.1 Pfadintegrale in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . .
(i)
Propagator und Pfadintegral . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . . . . .
(iv)
Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Pfadintegrale mit Skalarfeldern . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Korrelationsfunktionen des freien Skalarfeldes . . . . . . . .
4.5 Skalarfelder mit Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Erzeugendes Funktional der φ4 -Theorie . . . . . . .
(iii)
Zweipunkt-Funktion der φ4 -Theorie . . . . . . . . .
(iv)
Vierpunkt-Funktion der φ4 -Theorie . . . . . . . . . .
4.6 Erzeugendes Funktional für zusammenhängende Diagramme
4.7 Erzeugendes Funktional für OPI-Diagramme . . . . . . . .
4.8 Funktionalmethoden für Dirac-Felder . . . . . . . . . . . . .
(i)
Motivation von a-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
3
Erzeugendes Funktional für freie Dirac-Felder
n-Punkt-Funktionen des freien Dirac-Feldes .
2-Punkt-Funktion des freien Dirac-Feldes . .
4-Punkt-Funktion des freien Dirac-Feldes . .
Dirac-Theorie mit Wechselwirkung . . . . . .
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5 Quanten-Elektrodynamik (QED)
5.1 Die QED als abelsche Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Klassische Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Photon-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Faddeev-Popov-Methode für abelsche Eichtheorien
(ii)
Eichfixierungsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 QED: Störungsentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Streutheorie
6.1 Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
S- und T -Matrix . . . . . . . . . . . .
(ii)
Das erzeugende Funktional S[J, φ0 ] . .
(iii)
Betrachtungen im Fourierraum . . . .
(iv)
S-Matrix und Green’sche Funktionen .
6.2 Berechnung messbarer Größen . . . . . . . . .
6.3 Feynmanregeln der QED . . . . . . . . . . . .
6.4 QED auf Tree-Level: Beispiele . . . . . . . . .
(i)
Der Prozess e+ e− → µ+ µ− . . . . . .
(ii)
Compton-Streuung . . . . . . . . . . .
(iii)
Paarvernichtung . . . . . . . . . . . .
(iv)
Møller-Streuung . . . . . . . . . . . .
(v)
Bhabha-Streuung . . . . . . . . . . . .
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7 Nicht-abelsche Eichtheorien
7.1 Grundlegende Eigenschaften von Lie-Gruppen . . . . . . .
7.2 Yang-Mills-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Klassische Bewegungsgleichungen der Yang-Mills-Theorie
7.4 Faddeev-Popov-Methode für nicht-abelsche Eichtheorien .
7.5 Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Spontane Symmetriebrechung
8.1 Gebrochene diskrete Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Das lineare Sigma-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Das Goldstone-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Spontan gebrochene Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus) . . . . . . . . .
(i)
Higgs-Mechanismus für die abelsche Eichtheorie . . . . . . . . . . .
(ii)
Higgs-Mechanismus für nicht-abelsche Symmetrien . . . . . . . . .
(iii)
Ein ‘makroskopisches’ Modell für den Higgs-Mechanismus: Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Allgemeine Systematik beim Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
4
9 Renormierung
9.1 Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Renormierung in der QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Dimensionale Regularisierung des Vakuum-Polarisations-Tensors .
(iv)
Selbstenergie des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(v)
Vertex-Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(vi)
Ward-Takahashi-Identitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(vii) Das anomale magnetische Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(viii) Quantenkorrekturen zum Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . .
(ix)
Laufende Kopplungsstärke der QED . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x)
Kurz-Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Systematik der Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Divergenzgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Schleifen und Quanteneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iv)
Renormierung und dimensionale Regularisierung der φ4 -Theorie .
(v)
Gegenterme (“Counter Terms”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Renormierungsgruppengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Die β-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Skalen-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Beispiel: Das Laufen der Kopplungsstärke in nicht-abelschen Eichtheorien
(i)
Selbstenergie der Eichbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Selbstenergie der Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Vertex-Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iv)
β-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Effektive Theorien
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10.1 Schwellen-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.2 Ausintegrieren schwerer Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3 Das effektive Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11 Instantonen
11.1 Physikalische Fragestellung
11.2 Geometrische Formulierung
11.3 Topologische Begriffe . . . .
11.4 Instanton-Zahl . . . . . . .
11.5 Instanton-Tunneln . . . . .
11.6 Das θ-Vakuum . . . . . . .
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12 Anomalien
12.1 Historische Vorbemerkung: Anomalien und Dreiecksdiagramme
12.2 Abelsche Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Chiralen Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Anomale Nicht-Erhaltung von j5 . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Anomalien und Chiralität . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Anomalien und Instantonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
A Funktionalableitung
A.1 Erinnerungen an Analysis . . . . . . . . . . .
A.2 Grundlegende Begriffe der Funktionalanalysis
(i)
Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Funktionale . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Definition der Funktionalableitung . . . . . .
A.5 Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Operatorableitung . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Höhere Funktionalableitungen . . . . . . . . .
5
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187
187
188
188
188
190
191
192
B Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen
193
B.1 γ-Matrizen und Clifford-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.2 Basislösungen u und v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C Gauß’sche Integrale und Verallgemeinerungen
195
D Superzahlen
D.1 Algebra und Generatoren einer Algebra . . . . . . . . . .
D.2 Endlichdimensionale Grassmann-Algebra . . . . . . . . . .
D.3 Unendlichdimensionale Grassmann-Algebren; Superzahlen
D.4 Elemente der Analysis mit Superzahlen . . . . . . . . . .
(i)
Differentiation nach a-Zahlen . . . . . . . . . . . .
(ii)
Integration über a-Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
D.5 Fermionische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.6 Funktionalanalysis im Kontext von Superzahlen . . . . . .
(i)
Funktionalableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Funktionalintegration . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Funktionalintegrationsregeln für Fermionenfelder .
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198
198
198
198
200
200
201
203
203
203
203
204
E Spurbildung von Produkten von Dirac-Matrizen
205
F Basics der Darstellungstheorie
207
G Passarino-Veltman-Funktionen
G.1 ∆MS und das Ein-Punkt Integral A . . . . . . . . . . .
G.2 Die Zwei-Punkt Integrale B . . . . . . . . . . . . . . .
G.3 Die Drei-Punkt Integrale C . . . . . . . . . . . . . . .
G.4 Divergente Anteile der Passarino-Veltman Funktionen
.
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209
209
209
210
211
INHALTSVERZEICHNIS
6
Vorwort
Dies sind Notizen zu den Vorlesungen
Quantenfeldtheorie
die im Sommersemester 2008 und im Wintersemester 2008/2009 an der TUM gehalten
wurden.
Diese Notizen sollten nicht als Skript mißverstanden werden. Sie dienen lediglich der
Orientierung. Die meisten Formeln der Vorlesung sollten hier auftreten, ggf. in veränderter
Reihenfolge, aber die Erklärungen sind bruchstückhaft und unvollständig. Die angegebene
Literatur (siehe unten) ist sicherlich viel weniger mit (Tipp-)fehlern durchsetzt und besser
durchdacht.
Korrekturen werden natürlich dankbar entgegengenommen ([email protected]).
Hinweis zur Notation. In den Aufzeichnungen werden Operatoren fett gesetzt, während
sie an der Tafel durch Hüte gekennzeichet werden.
INHALTSVERZEICHNIS
Literatur-Empfehlungen
• Begleitend:
(1) Peskin & Schroeder [PS95]
(2) Ryder [Ryd96]
(3) Bailin & Love [BL93]
• Ergänzend:
(1) Zee [Zee03]
(2) Pokorski [Pok87]
• Vertiefend:
(1) Weinberg [Wei95]
(2) Itzykson & Zuber [IZ85]
• Weitere ergänzende Literatur:
(1) Sexl & Urbantke [SU92] (spezielle Relativitätstheorie)
(2) Marchildon [Mar02] (Pfadintegral)
(3) Buchbinder & Kuzenko [BK95] (a-Zahlen)
(4) Cheng & Li [CL84] (Instantonen)
(5) Nakahara [Nak90] (Instantonen, Anomalien)
7
LITERATUR
8
Literatur
[BK95] I. L. Buchbinder and S. M. Kuzenko. Ideas and methods of supersymmetry and
supergravity: A Walk through superspace. IOP publishing, 1995. 640 p.
[BL93] David Bailin and Alexander Love. Introduction to Quantum Field Theory. IOP
Publishing, second edition, 1993.
[CL84] T. P. Cheng and L. F. Li. Gauge theory of elementary particle physics. Oxford
Science Publications, 1984. 536 p.
[IZ85]
C. Itzykson and J.-B. Zuber. Quantum Field Theory. McGraw-Hill, 1985.
[Mar02] L. Marchildon. Quantum mechanics. Springer, 2002.
[Nak90] Mikio Nakahara. Geometry, Topology and Physics. IOP Publishing, 1990.
[Pok87] S. Pokorski. Gauge field theories. Cambridge, Univ. Pr, 1987.
[PS95]
Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field
Theory. Addison-Wesley, 1995.
[Ryd96] Lewis H. Ryder. Quantum Field Theory. Cambridge University Press, 1996.
[SU92]
Roman U. Sexl and Helmuth K. Urbantke. Gruppen, Relativität, Teilchen. Springer, 1992.
[Wei95] S. Weinberg. The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations. Cambridge
University Press, 1995.
[Zee03] A. Zee. Quantum field theory in a nutshell. Princeton University Press, 2003.
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1
9
Feldtheorie und Vielteilchensysteme
1.1
Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen
Mechanik
Ein klassisches System mit n Freiheitsgraden wird charakterisiert durch einen Punkt (p, q)
im Phasenraum. Dabei nennt man:
• die Einträge von q = (q1 , . . . qn ) verallgemeinerte Koordinaten und
• die Einträge von p = (p1 , . . . pn ) verallgemeinerte Impulse.
Hamilton’sche Beschreibung.
H(p, q) =
Die Hamiltonfunktion des Systems ist gegeben durch:
n
X
pi 2
+ V (p, q) .
2mi
i=1
(1.1)
Im Folgenden werden wir uns auf mi = m ∀i und ein rein von q abhängiges V , d.h.
V (p, q) = V (q), beschränken. Die Hamiltonfunktion sei also von folgender Gestalt:
H(p, q) =
n
X
pi 2
+ V (q) .
2m
i=1
(1.2)
Die Dynamik wird beschrieben durch die Hamilton-Gleichungen
ṗi = −
∂H(q, p, t)
∂qi
und q̇i =
∂H(q, p, t)
.
∂pi
Beschreibung durch Lagrangefunktion.
der Lagrangefunktion
(1.3)
Eine äquivalente Beschreibung erfolgt mit
L(q, q̇, t) = p q̇ − H(p, q, t)
(1.4)
und der Bewegungsgleichung
d ∂L(q, q̇, t)
∂L(q, q̇, t)
=
.
dt
∂ q̇
∂q
(1.5)
Diese Gleichung ergibt sich, indem man die Wirkung
S[q] =
Ztf
dt L(q, q̇, t)
ti
minimiert. Hierbei bezeichnen ti bzw. tf einen Anfangs- bzw. Endzeitpunkt.
(1.6)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.2
10
Systeme mit n Freiheitsgraden in der nichtrelativistischen
Quantenmechanik
Wir betrachten ein quantenmechanisches System mit n Freiheitsgraden. Der Zustand des
Systems kann dargestellt werden durch einen Vektor im Hilbertraum,
|q1 , . . . qn i .
Dieser ist Eigenzustand zu einem Satz von Operatoren {q i }i=1,...n mit
q i |q1 , . . . qn i = qi |q1 , . . . qn i .
(1.7)
Desweiteren gibt es Operatoren {pi }i=1,...n , welche den klassischen konjugierten Impulsen
pi entsprechen.
Quantisierung. Der Übergang zur Quantenmechanik erfolgt durch die sog. Quantisierung, d.h. man ersetzt die verallgemeinerten Koordinaten qi und Impulse pi durch Operatoren q i und pi , für die man die folgenden Kommutatorrelationen fordert:
[q i , pj ] =
[q i , q j ] = [pi , pj ] =
i ~ δij .
(1.8a)
0.
(1.8b)
Schrödingerbild. Im Schrödingerbild ist die zeitliche Evolution des Systems bestimmt
durch die Entwicklung der Wellenfunktion Ψ(q, t), die der Schrödingergleichung
"
#
∂Ψ
~2 X ∂ 2
i~
(q, t) = −
+ V (q) Ψ(q, t)
(1.9)
∂t
2m i ∂qi2
genügt.
Heisenbergbild. Im Heisenbergbild ist die zeitliche Evolution des Systems gegeben
durch die Zeitabhängigkeit der Operatoren,
q̇ i
i
= − [q i , H]
~
ṗi
i
= − [pi , H]
~
(1.10)
Dabei ist H der Hamiltonoperator des Systems.
Bemerkung:
Ist H speziell von der Gestalt
~2 X ∂ 2
+ V (q) ,
H = −
2m i ∂qi2
so liefert Einsetzen in (1.10)
q̇ i =
pi
m
und ṗi = −
dV
(q) .
dqi
(1.11)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.3
11
Der Kontinuumslimes am Beispiel einer schwingenden Saite
◦
Schwingende Saite. Will man eine schwingende Sai◦
◦
◦
te im Rahmen der Punktmechanik beschreiben, so kann
◦
◦
q2
◦ ◦◦◦
man das näherungsweise tun, indem man n Massen◦ ◦•|
punkte betrachtet, welche in einer Kette angeordnet ◦• ◦• ◦• ◦ ◦ • •
• • • •xL
•
•
•
sind, wobei zwei benachbarte Punkte durch Federn“
•
”
•
•
verbunden sind. Die Massenpunkte haben dann ver•
allgemeinerte Koordinaten qi (t) bzw. verallgemeinerte
Impulse pi (t).
q
Im Kontinuumslimes betrachtet man anstatt der n
Koordinaten qi (t) die Auslenkung q(x, t) mit x ∈ [0, xL ].
Anstatt der Masse m der einzelnen Punkte wird im
|
Kontinuumslimes die Dichte ρ betrachtet, die Federx
L
konstanten werden durch die Zähigkeit τ beschrieben.
x ist nicht verallgemeinerte Koordinate im Sinne der
klassischen Physik, sondern x fungiert als kontinuier”
licher Index“. Man bezeichnet q(x, t) als Feldvariable.
Die Auslenkung q(x, t) kann als einfaches Beispiel für
ein klassisches Feld gesehen werden. Für solche Felder wissen wir (noch) nicht, wie Quantisierung funktioniert; in der Beschreibung durch n Massenpunkte hingegen schon. Wir
können (und werden) daher die Quantisierung der Feldtheorie über den Umweg einer diskretisierten Beschreibung durchführen.
Lagrangefunktion und Lagrangedichte. Wie wir am Anfang (siehe Gleichung (1.4))
gesehen hatten, kann das System im Lagrange-Formalismus durch die Lagrangefunktion
beschrieben werden.
Anstatt von (q1 , . . . qn , p1 , . . . pn ) hängt die Lagrangefunktion L nur“ noch von q(x, t)
”
und q̇(x, t) ab,
ZxL
L =
dx L q(x, t), q̇(x, t) ,
(1.12)
0
wobei L als Lagrangedichte bezeichnet wird. Sieht man von der Abhängigkeit vom Zeitparameter t ab, so ist die Lagrangefunktion damit ein Funktional der dynamischen (Feld)Variablen q(x, t) und q̇(x, t). Wie wir sehen werden, spielt die Lagrangedichte eine zentrale
Rolle in der Quantenfeldtheorie.
Die Lagrangedichte der schwingenden Saite lautet explizit
"
2 #
∂q
1
2
ρ q̇ − τ
− V (q) ,
(1.13)
L =
2
∂x
wobei V eine zusätzliche Potentialdichte ist, z.B. die des Schwerefeldes.
Motivation von (1.13). Die kinetische Energie eines Systems von n Massenpunkten
ist
2
2
n
n
X
X
mi dqi
ρ ∆x dqi
T =
=
.
(1.14)
2
dt
2
dt
i=1
i=1
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
12
Hierbei bezeichnet ∆x den Abstand zweier Massenelemente. Im Konitinuumslimes wird
dieser Ausdruck zu
2
ZxL
ρ ∂q
n groß
(x, t)
.
(1.15)
T −−−−→
dx
2 ∂t
0
Nun soll der Effekt der Federn beschrieben werden. Der Abstand zwischen dem i-ten und
(i + 1)-ten Massenpunkt ist
p
(qi+1 − qi )2
.
(1.16)
∆s =
(∆x)2 + (qi+1 − qi )2 ≃ ∆x 1 +
2 (∆x)2
Wenn man die Feder von der Ruhelage auslenkt, erhält man einen zusätzlichen Beitrag
zur potentiellen Energie,
n−1
X
∆V ≃
i=1
(qi+1 − qi )2 n groß
τ
−−−−→
2 (∆x)2
2
ZxL
τ ∂q
(x, t)
.
dx
2 ∂x
(1.17)
0
Dieser Beitrag beinhaltet (noch) nicht die potentielle Energie im Schwerefeld. Wenn wir
uns an die allgemeine Relation
L = T −V ,
d.h. die Lagrangefunktion ist Differenz zwischen kinetischer Energie T und potentieller
Energie V erinnern, folgt aus den Gleichungen (1.15) und (1.17) die Lagrangedichte der
schwingenden Saite (1.13).
Konjugiertes Impuls-Feld π.
Feldvariablen q)
π(x, t) =
Das konjugierte Impuls“-Feld ist (völlig analog zu der
”
∂L
hier
(x, t) = ρ q̇(x, t) .
∂ q̇
(1.18)
Durch Legendre-Transformation ergibt sich damit die Hamilton- oder Energie-Dichte
2
2
τ ∂q
hier π
H = π q̇ − L =
+
+ V (q) = H (π, q) .
(1.19)
2ρ
2 ∂x
Wirkung.
S =
Die Wirkung ist das Raum-Zeit-Integral über die Lagrangedichte,
Ztf
ti
dt L[q] =
Ztf
ti
ZxL
dt dx L q(x, t), q̇(x, t), ∂x q(x, t) .
(1.20)
0
Hierbei ist L ein Funktional, d.h. für eine feste Zeit t bildet L die Funktion q(x, t) auf
L[q] ∈ R ab.
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.4
13
Bewegungsgleichungen und Prinzip der stationären Wirkung
Wir gehen aus von der Lagrangedichte
L (φ, φ̇, ∂x φ) ,
die von der Feldvariablen φ(x, t) sowie ihrer Zeit- und Ortsableitung abhängt.
Mit der zeitabhängigen Lagrangefunktion
Zx2
dx L φ(x, t), φ̇(x, t), ∂x φ(x, t)
Lt [φ] =
(1.21)
x1
lautet die Wirkung (oder besser: das Wirkungsfunktional)
Zt2
dt Lt [φ] .
S[φ] =
(1.22)
t1
Das Prinzip der stationären Wirkung oder auch Hamilton-Prinzip besagt, dass die Bewegungsgleichungen aus der Stationarität der Wirkung, d.h. aus
δS[φ] = 0
(1.23)
folgen. M.a.W. die zeitabhängige Konfiguration φ(x, t) beschreibt die Dynamik des Systems
höchstens dann, falls (1.23) gilt.
Bemerkung zur Terminologie: Die Lagrangedichte ist eine Funktion der Feldvariable
φ und deren Ableitungen, wohingegen die Lagrangefunktion bis auf die t-Abhängigkeit ein
Funktional von φ ist. Insofern sind die Bezeichnungen möglicherweise etwas unglücklich
gewählt.
Bemerkung zur Schreibweise: Im Folgenden schreiben wir
∂L
:= ∂1 L φ(x, t), φ̇(x, t), ∂x φ(x, t)
∂φ(x, t)
usw. ,
∂L
d.h. ∂φ(x,t)
bezeichnet die Ableitung nach dem ersten Argument der Funktion L , die eine
Funktion mehrerer Variablen ist.
Nun betrachten wir Variationen von φ. Es gilt (vgl. Anhang A, Beispiel (1))
Zt2 Zx2
dt dx L φ + δφ, φ̇ + ∂t (δφ), ∂x φ + ∂x (δφ)
S[φ + δφ] − S[φ] =
x1
t1
Zt2 Zx2
− dt dx L φ, φ̇, ∂x φ
t1
=
Zt2
dt
t1
Zx2
dx
x1
x1
∂L
· δφ(x, t)
∂φ(x, t)
∂L
∂L
· ∂t (δφ(x, t)) +
· ∂x (δφ(x, t))
+
∂(∂x φ)
∂ φ̇(x, t)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
14
+O kδφk2 + O k∂t (δφ)k2 + O k∂x (δφ)k2
Zt2 Zx2 ∂L
∂L
∂L
· δφ(x, t)
− ∂t
− ∂x
dt dx
=
∂φ(x, t)
∂(∂x φ(x, t))
∂ φ̇(x, t)
x1
t1
t2 Zt2 ∞
∂L
∂L
+ dx
· δφ(x, t) + dt
· δφ(x, t)
∂(∂x φ)
∂ φ̇(x, t)
−∞
t
1
x1
t1
+O kδφk2 + O k∂t (δφ)k2 + O k∂x (δφ)k2
Zx2
Für die Norm k · k kann man beispielsweise
Zt2 Zx2
dt dx |ϕ(x, t)|
kϕk =
t1
x1
wählen; die genaue Definition spielt jedoch keine Rolle für das Weitere. Nun betrachten
wir nur solche Variationen δφ welche für t = t1 , t = t2 , x = x1 und x = x2 verschwinden.
Dann verschwinden die Randterme. Da δφ abgesehen von diesen Randbedingungen beliebig
!
gewählt werden kann, ist die Forderung δS = 0 gleichbedeutend mit den Euler-LagrangeGleichungen
∂L
∂L
∂L
− ∂t
= 0.
− ∂x
∂φ(x, t)
∂(∂x φ(x, t))
∂ φ̇(x, t)
Beispiel: Bewegungsgleichungen der schwingenden Saite.
Die Lagrangedichte lautet
( 2 )
2
∂q
1
∂q
ρ
− V (q) .
−τ
L (q, q̇, ∂x q) =
2
∂t
∂x
Die Euler-Lagrange-Gleichungen (1.24) liefern
ρ
∂2q
∂2q
∂V
(x, t) − τ 2 (x, t) +
q(x, t) = 0 ,
2
∂t
∂x
∂q
oder kurz mit v 2 = τ /ρ
q̈ − v 2 q ′′ = −
1 ∂V
.
ρ ∂q
Ist speziell das Potential quadratisch in q, V = 21 ρ Ω2 q 2 , so ergibt sich
2
2
∂
2 ∂
2
q(x, t) = 0 .
−
v
+
Ω
∂t2
∂x2
(1.24)
(1.25)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
1.5
15
Kanonische Quantisierung
Ausgangspunkt.
Gegeben sei ein System mit der Lagrangedichte
L (φ, φ̇, ∂x φ) .
Wir definieren die kanonische Impulsfeldvariable
π =
∂L
.
∂ φ̇
(1.26)
Die Frage ist nun, wie man das System quantisiert“, d.h. wie man von einer klassischen
”
Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie übergeht. Eine Möglichkeit, dies zu bewerkstelligen, ist die sog. kanonische Quantisierungsregeln zu befolgen, die nun spezifiziert werden;
die Pfadintegralquantisierung wird später in Abschnitt 4 behandelt.
Postulat: Die Feldvariable φ und die Impulsfeldvariable π genügen den folgenden Vertauschungsrelationen:
[φ(x, t), φ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)]
=
0,
(1.27a)
[φ(x, t), π(y, t)]
=
i ~ δ(x − y) .
(1.27b)
Es ist klar, dass diese Relationen nicht mit klassischen Feldern erfüllt werden können.
Wie durch die Notation in (1.27) bereits angedeutet, beinhaltet die kanonische Quantisierung den Übergang zu Operatoren,
φ, π → φ, π .
(1.28)
Mit diesen konstruiert man den Hamiltonoperator
Zx+ n
o
dx π(x, t) φ̇(x, t) − L .
H(t) =
(1.29)
x−
Damit wiederum kann man die zeitliche Evolution von φ bzw. π im Heisenbergbild angeben,
φ̇ = −
i
[φ, H]
~
bzw.
π̇ = −
i
[π, H] .
~
Im Folgenden soll die Interpretation der Operatoren anhand eines Beispiels erarbeitet
werden.
1.6
Beispiel: Quantisierung der schwingenden Saite
Bei der schwingenden Saite ist die (klassische) Lagrangedichte gegeben durch
2
2
1
∂q
∂q
1
− τ
− V (q) .
L (q, q̇, ∂x q) = ρ
2
∂t
2
∂x
Damit lautet das konjugierte Impulsfeld
π(x, t) = ρ q̇ .
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
16
Ausgehend von (1.25) wird zunächst eine Skalentransformation durchgeführt,
√
φ(x, t) := ρ q(x, t) .
Die Lagrangedichte lautet damit
2
1
τ ∂φ
1
− m2 φ 2 ,
L = φ̇2 −
2
2ρ ∂x
2
und das konjugierte Impulsfeld ergibt sich nun zu
π = φ̇ .
Die Bewegungsgleichung folgt aus der Euler-Lagrange-Gleichung,
2
∂2φ
2 ∂ φ
−
v
+ m2 φ = 0 .
∂t2
∂x2
Quantisierung.
(1.30)
Nun ersetzen wir die Felder durch Feldoperatoren,
φ(x, t), π(x, t) → φ(x, t), π(x, t) ,
für die wir die kanonischen Vertauschungsrelation (1.27) fordern,
[φ(x, t), π(y, t)]
[φ(x, t), φ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)]
=
=
i ~ δ(x − y) ,
0.
Modenentwicklung. Die geforderten Vertauschungsrelationen werden plausibel, wenn
man sich die Modenentwicklung der Feldoperatoren ansieht, wie die folgende Diskussion
zeigt. Die Eigenfunktionen der Bewegungsgleichung (1.30) lauten
ei k x−i ωk t
e−i k x+i ωk t .
und
Darin nimmt k wegen der periodischen Randbedingung
φ(x = 0, t) = φ(xL , t)
nur diskrete Werte an,
k =
2π · n
,
xL
n∈Z.
Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung (1.30) bestimmt man ωk ,
p
v 2 k 2 + m2 .
−ωk2 + v 2 k 2 + m2 = 0 y ωk =
Da es nur zwei linear unabhängige Eigenfunktionen haben, brauchen negative ωk nicht
betrachtet betrachtet werden. D.h., da ωk nur vom Betrag von k abhängt und die Eigenfunktion mit negativem ωk der jeweils anderen Eigenfunktion mit positivem ωk , aber
einem durch −k ersetzten k entspricht, können wir im Folgenden ωk > 0 annehmen.
Das allgemeine Feld lässt sich nach den Eigenfunktionen, den sog. Eigenmoden, entwickeln,
r
o
n
X
~
(1.31)
ak ei k x−i ωk t + a†k e−i k x+i ωk t .
φ(x, t) =
2ωk xL
k
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
17
In der klassischen Beschreibung wären die Koeffizienten (oder Amplituden), ak und a∗k ,
Zahlen; hier jedoch müssen ak bzw. a†k Operatoren sein, damit die Vertauschungsrelationen
(1.27) erfüllt sein können. Der Vorfaktor ist eine zunächst willkürliche Normierung, die sich
später als nützlich erweisen wird. Durch Zeitableitung erhält man das Impulsfeld,
r
o
X ~ ωk n
(1.32)
ak ei k x−i ωk t − a†k e−i kx+i ωk t .
π(x, t) = − i
2xL
k
Nun wollen wir ak bzw. a†k durch φ(x, t) und π(x, t) ausdrücken. Dazu betrachten wir
mit einem ℓ = (2π m)/xL (m ∈ Z)
ZxL
dx e−i ℓx+i ωℓ t φ(x, t)
0
ZxL X r
=
dx
k
0
=
r
~
2ωk xL
o
n
ak ei (k−ℓ) x−i (ωk −ωℓ ) t + a†k e−i (k+ℓ) x+i (ωk +ωℓ ) t
o
~ xL n
aℓ + a†−ℓ e2i ωℓ t .
2ωℓ
Im letzten Schritt wurde benutzt, dass mit den diskreten k- und ℓ-Werten gilt
ZxL
dx ei (k−ℓ) x = xL δkℓ ,
0
und dass ωk = ω−k ist. Analog erhalten wir die Relationen (vgl. Übungen)
ZxL
dx e−i ℓ x+i ωℓ t π(x, t)
= ωℓ
ZxL
dx ei ℓ x−i ωℓ t φ(x, t)
r
0
=
0
ZxL
dx ei ℓ x−i ωℓ t π(x, t)
= ωℓ
0
r
o
~ xL n
−i aℓ + i a†−ℓ e2i ωℓ t ,
2ωℓ
o
~ xL n
a−ℓ e−2i ωℓ t + a†ℓ ,
2ωℓ
r
o
~ xL n
−i a−ℓ e2i ωℓ t + i a†ℓ .
2ωℓ
Durch geeignete Linearkombinationen dieser Gleichungen erhalten wir die Ausdrücke
ak
a†k
=
=
1
√
2~ ωk xL
ZxL
dx e−i k x+i ωk t · {ωk φ(x, t) + i π(x, t)} ,
1
√
2~ ωk xL
ZxL
dx ei k x−i ωk t · {ωk φ(x, t) − iπ(x, t)} .
0
0
Damit lassen sich die Vertauschungsrelationen der ak bzw. a†k ermitteln,
[ak , a†ℓ ]
=
2~ xL
1
√
ωk ωℓ
ZxL ZxL
dx dy e−i k x+i ℓ y+i (ωk −ωℓ ) t ·
0
0
(1.33)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
18
· [ωk φ(x, t) + i π(x, t), ωℓ φ(y, t) − i π(y, t)]
ZxL ZxL
1
dx dy e−i k x+i ℓ y+i (ωk −ωℓ ) t ·
√
2~ xL ωk ωℓ
=
0
0
· {ωk ~ δ(x − y) + ωℓ ~ δ(x − y)}
ZxL
ωk + ωℓ
dx e−i (k−ℓ) x+i (ωk −ωℓ ) t
√
2 xL ωk ωℓ
=
0
= δkℓ .
Völlig analog erhält man (vgl. Übungen)
[ak , aℓ ] = [a†k , a†ℓ ] = 0 .
Insgesamt ergibt sich, dass die ak bzw. a†k den Vertauschungsregeln für Bose-Operatoren
genügen,
[ak , aℓ ] =
[ak , a†ℓ ] = δkℓ ,
(1.34a)
[a†k , a†ℓ ]
(1.34b)
=
0.
Hamiltonoperator. Die klassische Hamiltondichte läßt sich durch die klassischen Felder
φ, π und ∂x φ ausdrücken,
2
1 2
τ ∂φ
1
H (x, t) = π (x, t) +
(x, t) + m2 φ2 (x, t) .
2
2ρ ∂x
2
Die Hamiltonfunktion ergibt sich durch Integration über x, den Hamiltonoperator erhält
man, indem man die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt,
H
=
ZxL
0
..
.
dx H (x, t)φ,π→φ,π
vgl. Übungen
1X
~ ωk (a†k ak + ak a†k )
=
2
k
X
1
=
~ ωk a†k ak +
.
2
k
Interpretation. Die Operatoren a†k bzw. ak lassen sich als Erzeuger bzw. Vernichter
einer Mode der Wellenzahl k interpretieren, da sie dieselben Charakteristika wie die entsprechenden Operatoren im Besetzungszahlformalismus aufweisen.
Mit dem Besetzungszahloperator
nk = a†k ak
(1.35)
1
FELDTHEORIE UND VIELTEILCHENSYSTEME
19
schreibt sich der Hamilton:
X
1
.
H =
~ ωk nk +
2
k
Angeregte Zustände lassen sich durch einen Satz an Quantenzahlen {nk } charakterisieren.
Spezifisch lassen sie sich durch sukzessives Anwenden von Erzeugern auf das Vakuum |−i
konstruieren,
|{nk }i =
Y (a† )nk
√k
|−i .
nk !
k
(1.36)
Die Energie, d.h. der Eigenwert des Hamiltonoperators für den Zustand |{nk }i, divergiert,
X
1
.
(1.37)
E =
~ ωk nk +
2
k
Dies lässt sich auf die Divergenz des Grundzustands |−i zurückführen. In der Feldtheorie
ist es üblich, anstatt der (divergenten) Energie die Anregungsenergie zu betrachten,
X
E ∗ = E − E0 =
~ ωk nk .
(1.38)
k
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
2
2.1
20
Klassische Feldtheorie im Minkowski-Raum
Aspekte der speziellen Relativitätstheorie
In einem ersten Schritt beschreiben wir unsere Umgebung aus unserem Ruhesystem, d.h.
ordnen Ereignissen drei räumliche Koordinaten xi (1 ≤ i ≤ 3) und eine Zeit t zu. Dabei
wollen wir davon ausgehen, dass wir uns in einem Inertialsystem befinden. Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das erste Newton’sche Axiom gilt, d.h. jeder Körper,
auf den keine Kraft wirkt, bleibt entweder in Ruhe oder bewegt sich gleichmäßig. Die
Koordinaten können zusammengefasst werden zu einem Vierervektor
 0 
x

t
x1 
µ


.
(2.1)
x = (x ) =  2  =
x
~x
3
x
Hierbei haben wir uns bereits auf die Konvention geeinigt, Zeiten und Längen in den selben
Einheiten zu messen und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit auf 1 zu setzen,
c = 1.
(2.2)
Per Konvention laufen griechische Indizes µ, ν etc. von 0 bis 3 und lateinische Indizes i, j
etc. von 1 bis 3.
Nun betrachten wir die Situation, dass zum Zeitpunkt x0 ein Lichtsignal vom Ort ~x
ausgesandt wird. Dieses soll zu einem späteren Zeitpunkt y 0 an einem anderen Ort ~y
gemessen werden. Wegen c = 1 hat man
(y 0 − x0 ) = |~y − ~x|
(2.3)
bzw.
(y 0 − x0 )2 −
3
X
i=1
(yi − xi )2 = 0 .
(2.4)
Die Vierervektoren y µ , die diese Gleichung erfüllen mit der weiteren Bedingung y 0 > x0 ,
definieren den sog. Vorwärtslichtkegel. Wir können nun zwei Ereignisse definieren,
Ereignis 1 :
Ereignis 2 :
Licht wird ausgesandt von x ,
Licht wird detektiert bei y .
Diese Ereignisse sind unabhängig von dem Koordinatensystem, das wir wählen. Andererseits muss in jedem beliebigen Inertialsystem die Gleichung (2.4) erfüllt sein, da es eine
experimentelle Tatsache ist, dass die Lichgeschindigkeit in jedem Inertialsystem die gleiche
ist.
Gleichung (2.4) kann einfacher dargestellt werden,
(y − x) · (y − x) = 0 ,
(2.5)
wo das Viererskalarprodukt im Minkowskiraum verwendet wurde,
x · y = xµ yµ = xµ y ν ηµν .
Hierbei bezeichnet η den

1 0
 0 −1
ηµν = 
 0 0
0 0
metrischen Tensor im Minkowski Raum,

0
0
0
0 
 .
−1 0 
0 −1
(2.6)
(2.7)
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
21
Des Weiteren haben wir in (2.6) von der Einstein’schen Summenkonvention Gebrauch gemacht, die besagt, dass über wiederholt auftretende Indizes mit unterschiedlicher Stellung
(d.h. einmal oben und einmal unten) zu summieren ist.1 Man beachte auch, dass η µν = ηµν
komponentenweise, wobei η µν das Inverse der Metrik bezeichnet, und dass η µ ν = δ µ ν . Die
Metrik kann verwendet werden, um die Indizes von Vektoren (und allgemeiner von Tensoren) runter- bzw. hochzuziehen,
xµ = ηµν xν
bzw.
xµ = η µν xν .
(2.8)
Die Aussage, dass (2.4) in jedem Inertialsystem zu gelten hat, impliziert, dass in jedem
solchen System η die gleiche Gestalt hat. Das wiederum bedeutet, dass Transformationen
zwischen verschiedenen Inertialsystemen so beschaffen sein müssen, dass η invariant bleibt.
Die erlaubten Transformationen sind linear, d.h. setzen sich aus einer Lorentz-Rotation
und einer Translation zusammen,
xµ → x′ µ = Λµ ν xν + aµ .
(2.9)
Diese Transformationen (Λ, a) bilden die sog. Poincaré-Gruppe, wobei die Multiplikation
in der Gruppe durch Hintereinanderausführung zweier Transformation erklärt ist,
(Λ, a) · (Λ′ , a′ ) = (Λ Λ′ , Λ a′ + a) .
(2.10)
~x → R ~x
(2.11)
Es gibt zwei wichtige Unterklassen der Lorentz-Rotationen Λ, zum Einen die Rotationen
im Dreidimensionalen,
mit R ∈ SO(3) ,
und zum Anderen die Lorentz-Boosts. Speziell für Inertialsysteme, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit ~v = (v, 0, 0) bewegen, hat man


γ βγ 0 0
 βγ γ 0 0 

(2.12)
Λ = (Λµ ν ) = 
 0
0 1 0 
0
0 0 1
bzw.
mit


γ (x0 + β x1 )
x0 ′
 γ (β x0 + x1 )
 x1 ′ 
 2′  = 

 x 
x2
3′
x3
x

β = v/c und γ = p




1
1 − v 2 /c2
(2.13)
.
(2.14)
Boosts in andere Richtungen haben eine analoge Form.
Insgesamt wird in der speziellen Relativitätstheorie die Physik beschrieben, indem man
Ereignissen Punkte im Minkowski-Raum M4 zuordnet. Bezugssystem-invariante Größen
entstehen, indem man die Komponenten von Vektoren mit der Minkowski-Metrik kontrahiert. Ein wichtiges Beispiel für eine solche Invariante ist das Quadrat des Viererimpulses
p = (E, p~)
p2 := pµ pµ = E 2 − p~ 2 = m2 .
Der Minkowski-Raum
nale Raumzeit.
(2.15)
M repräsentiert die flache (d.h. ohne Gravitation), vierdimensio4
1 Es ist manchmal auch eine etwas schlampigere Konvention gebräuchlich, die besagt, dass man bei
lateinischen Indizes unabhängig von der Stellung zu summieren hat.
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
2.2
22
Lagrangefeldtheorie
Gegeben sei ein Feld φ(x) und dessen erste Ableitungen ∂µ φ. Des Weiteren sei die Lagrangedichte L erklärt, die eine Funktion der Felder φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ sowie der Koordinaten
x0 , . . . x3 ist,
L = L (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ, x0 , . . . x3 ) .
In den meisten Fällen ist L auch nur von den Feldern abhängig,
L = L (φ, ∂0 φ, . . . , ∂3 φ)
Notation
=:
L (φ, ∂µ φ) .
Man sagt, L sei nicht explizit von x0 , . . . x3 abhängig.
f bilden, die nur von x0 , . . . x3
Man kann für ein gegebenes Feld φ eine Funktion L
abhängt,
f(x0 , . . . x3 ) = L φ(x), ∂0 φ(x), . . . ∂3 φ(x), x0 , . . . x3
L
In der Literatur werden oft beide Funktionen mit L bezeichnet, insbesondere ist mit ∂µ L
f gemeint. Hieraus resultiert die Bezeichnung Lagrange- dichte“.
meistens eigentlich ∂µ L
”
Als Lagrangefunktion bezeichnet man dann das Funktional der Felder,
Z
L =
d3 x L (φ, ∂µ φ) = Lt [φ] .
(2.16)
Die Wirkung ist das Raum-Zeit-Integral über die Lagrangedichte oder
Z
S[φ] =
dt Lt [φ] .
(2.17)
Prinzip der stationären Wirkung. Die Physik wird beschrieben durch diejenigen
Felder, die das Wirkungsfunktional stationär lassen,
δS
!
= 0.
δφ(x)
Man rechnet nach
S[φ + δφ] − S[φ] =
=
(2.18)
Z
d4 x ∂1 L (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ) · δφ
+∂2 L (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ) · ∂0 (δφ) + · · · + ∂5 L (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ) · ∂3 (δφ)
∂L
∂L
δφ
(φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ) − ∂µ
d4 x
∂φ
∂(∂µ φ)
+ Oberflächenterme .
(2.19)
Z
Wir werden argumentieren, dass die Oberflächenterme in einer lokalen Quantenfeldtheorie keine Rolle spielen sollen. Da δφ eine beliebige infinitesimale Variation ist, muss die
geschweifte Klammer {. . . } verschwinden, d.h. es muss gelten
∂L
∂L
− ∂µ
= 0.
∂φ
∂(∂µ φ)
Das sind die Euler-Lagrange-Gleichungen.
(2.20)
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
23
Bemerkung zum lokalen Charakter der QFT. Im Verständnis der Quantenfeldtheorie spielt die Lokalität eine wesentliche Rolle. Salopp ausgedrückt ist damit gemeint,
dass die Wechselwirkung von zwei Teilchen hier nicht (wesentlich) davon abhängen sollte,
was hinter dem Mond passiert. Das bedeutet, dass wir uns zur Betrachtung physikalischer
Prozesse immer auf ein endliches Raum-Zeit-Volumens R beschränken können, in dem sich
die Physik abspielen soll. Es sollte genügen, die Wirkung auf R zu betrachten,
Z
S|R [φ] =
d4 x L (x, φ(x), ∂ µ φ(x)) .
(2.21)
R
Die Forderung, dass S stationär ist gegenüber Variationen im Raum der Testfunktionen
D(R) führt nach den Schritten (2.19) auf die Euler-Lagrange-Gleichungen im eingeschränkten Raum,
∂L
∂L
− ∂µ
= 0
∂φ
∂(∂µ φ)
in R .
Die Bewegungsgleichungen (2.20) für ganz R folgen also, wenn man fordert, dass für jedes
R die Wirkung S|R stationär bezüglich Variation im Testfunktionenraum D(R) sein soll.
M.a.W., wir können immer die sog. kanonischen Randbedingungen
alle Felder verschwinden außerhalb R
fordern.2 Dies ist natürlich eine Annahme, die Konsequenzen sind (bisher) mit den Experimenten konsistent. Wir werden im Folgenden immer (implizit) diese Annahme machen.
Für weitere Diskussionen siehe [Wei95, Abschnitt 4].
Eindeutigkeit der Lagrangedichte. Betrachte eine Theorie auf einem Raum-ZeitVolumen R. Addiere zur Lagrangedichte die Divergenz eines Vierer-Vektorfeldes J µ ,
L (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ, x) →
=
L ′ (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ, x)
L (φ, ∂0 φ, . . . ∂3 φ, x) + ∂µ J µ (x) ,
(2.22)
Diese Operation lässt die Bewegungsgleichungen invariant, wenn das Vektorfeld an den
Grenzen des betrachteten Raum-Zeit-Volumens R verschwindet,
J µ (x)|x∈∂R = 0 (µ = 0, . . . 3) .
Die Invarianz der Bewegungsgleichungen unter Transformationen der Lagrangedichte vom
Typ (2.22) ist darin begründet, dass sich die Wirkung unter (2.22) nicht ändert,
Z
S′ =
d4 x {L + ∂µ J µ (x)}
R
=
Z
R
2 Im
d4 x L + |Randterme
{z
} = S.
=0
Zusammenhang mit Eichtheorien muss diese Aussage etwas modifiziert werden.
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
2.3
24
Hamilton’sche Feldtheorie
Durch Einführung des konjugierten Impuls-Feldes3
π(x) =
∂L
∂ φ̇
(2.23)
konstruiert man die Hamiltondichte
H φ(x), π(x) = π φ̇ − L .
(2.24)
Daraus wiederum gewinnt man die Hamiltonfunktion
Z
H(t) =
d3 x H φ(x), π(x) .
Beispiel:
L =
(2.25)
Einem relativistischen freien Teilchen wird die Lagrangedichte
1
1
(∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2
2
2
zugeordnet. Damit ergeben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen
∂ µ ∂ µ + m2 φ = 0 .
Dies ist nichts anderes als die Klein-Gordon-Gleichung,
+ m2 φ = 0 .
(2.26)
Die Hamiltonfunktion lautet für diesen Fall
Z
2 1
1 ~
1 2
3
2 2
∇φ(x) + m φ (x)
H =
d x
π (x) +
2
2
2
mit π(x) = φ̇(x).
2.4
Noether’sches Theorem
Das Noether’sche Theorem liefert einen Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen. Die folgenden Betrachtungen richten sich im Wesentlichen nach [BL93] (siehe
auch [PS95, S. 47 ff.]).
Betrachte zunächst eine kontinuierliche Transformation der Felder, die also von einem
kontinuierlichen Parameter α abhängt,
Tα : φ → Φ(x, φ; α)
mit
Φ(x, φ; α = 0) = φ(x) .
(2.27)
Hierbei haben wir angenommen, dass die Transformation kontinuierlich mit der trivialen
Abbildung zusammenhängen soll.
In erster Ordnung in α schreibt man
Tα : φ(x) → φ(x) + α ∆φ(x) ,
(2.28)
3 Hier erst wird der Zeit eine Sonderrolle zugeordnet, indem die Lagrangedichte nur nach der Zeitableitung der Felder differenziert wird.
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
wobei
25
∂Φ(x, φ; α) ∂α
α=0
∆φ =
die Erzeugende der Transformation ist. Man nennt ∆φ auch infinitesimale Änderung der
Feldkonfiguration.
Die Transformation Tα heißt Symmetrie, wenn sie die Wirkung S invariant lässt. Gemäß
(2.22) ist dies äquivalent dazu, dass es ein Vierer-Vektorfeld J µ gibt, sodass sich die Änderung der Lagrangedichte L unter Tα in erster Ordnung in α schreiben lässt als
Tα : L φ(x), ∂µ φ(x)
→ L φ(x) + α ∆φ(x), ∂µ (φ(x) + α ∆φ(x))
= L φ(x), ∂µ φ(x) + α ∂µ J µ (x) ,
(2.29)
wobei J µ an den Grenzen des betrachteten Raum-Zeit-Volumens verschwindet.4
Wir rechnen nun die Änderung der Lagrangedichte unter Tα in erster Ordnung in α
explizit nach,
α ∆L = L φ + α ∆φ, ∂µ (φ + α ∆φ) − L φ, ∂µ φ
∂L
∂L
· α ∆φ +
· ∂µ (α ∆φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
∂L
∂L
∂L
= α · ∂µ
∆φ +α ·
− ∂µ
∆φ .
∂(∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
|
|
{z
}
{z
}
=
=:A
=:B
Wenn wir die Bewegungsgleichungen einsetzen, finden wir
B
(2.20)
=
0.
Wir definieren nun den (vorläufigen) Noether-Strom
jµ =
∂L
∆φ − J µ ,
∂(∂µ φ)
(2.30)
wo J µ durch (2.29) gegeben ist.
Nun soll genauer untersucht werden, was es heißt, dass Tα eine Symmetrie ist. Dazu
betrachten wir einen Bereich des Minkowskiraumes, R ⊂ M4 , und nehme an, das die Felder
außerhalb verschwinden. Die Variation der Wirkung ist dann
Z
∆SR =
d4 x ∂µ j µ = 0 für beliebiges R
(2.31)
R
Da R beliebig ist, und da die Symmetrietransformation die Wirkung invariant lässt, muss
∂µ j µ verschwinden.
4 Die Stromdichte J µ kann vorläufig ignoriert werden; für viele Anwendungen genügt es, Symmetrien
der Lagrangedichte L zu betrachten.
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
26
Vorläufiges Ergebnis: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrietransformation Tα der Felder gibt es einen erhaltenen Strom
∂L
∆φ(x) − J µ (x) ,
∂(∂µ φ)
j µ (x) =
(2.32)
der die Kontinuitätsgleichung erfüllt,
∂µ j µ (x) = 0 .
(2.33)
Dies ist eine erste Version des Noether’schen Theorems. Man beachte, dass das Theorem
nur on-shell“ gilt, d.h. für Konfigurationen, die die Bewegungsgleichungen erfüllen.
”
Weiterhin kann man die bisherigen Betrachtungen auf den Fall mehrerer Felder φi verallgemeinern, d.h. ist die Wirkung invariant unter der Transformation mehrerer Felder
Tα : φi (x) → φi (x) + α ∆φi (x) ,
so erfüllt die Stromdichte
X ∂L
∆φi (x) − J µ (x)
j µ (x) =
∂(∂
φ
)
µ
i
i
(2.34)
(2.35)
die Kontinuitätsgleichung.
Erhaltene Ladung. Die Größe
Z
Q(t) =
d3 x j 0 (x)
erfüllt
dQ
=
dt
Z
~ · ~(x) = 0 ,
d3 x ∇
(2.36)
(2.37)
da das Integral mit dem Gauß’schen Satz in ein Oberflächenintegral übergeführt werden
kann und da ~ am Rand des betrachteten Raumes verschwindet, denn dort verschwinden
J~ sowie L als Funktion der Felder ebenfalls.
Beispiele:
(1) Betrachte ein reelles Skalarfeld φ und die Lagrangedichte
L =
1
(∂µ φ)(∂ µ φ) .
2
Hier ist L und damit die Wirkung S invariant unter der Addition einer Konstanten
C,
φ → φ+C .
Die Erzeugende der Transformation ist ∆φ(x) = 1, und offensichtlich können wir
J µ = 0 wählen. Der erhaltene Strom ist dann
j µ (x) =
∂L
= ∂ µ φ(x) .
∂(∂µ φ)
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
27
(2) Betrachte ein komplexes Skalarfeld φ und
L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − m2 φ∗ φ .
Es gibt verschiedene Weisen, mit der man diese Theorie von zwei (reellen) Freiheitsgraden behandeln kann. Eine Möglichkeit ist, L als Funktion der zwei reellen Felder
Re φ und Im φ aufzufassen. In der Physik geht man aber oft anders vor: man fasst
in den Rechnungen φ und φ∗ als unabhängige Felder auf. Man muss dann die EulerLagrange-Gleichungen für φ und φ∗ aufstellen, deshalb ergeben sich zwei zunächst
unabhängige Gleichungen,
( + m2 ) φ
2
( + m ) φ
∗
=
0,
=
0.
L ist invariant unter der Phasentransformation
φ → eiα φ ,
φ∗ → e−iα φ∗ .
Die Erzeugende der Transformation ist
∆φ∗ = − i φ∗ .
∆φ = i φ ,
Der erhaltene Strom ist damit
jµ
∂L
∂L
∆φ +
∆φ∗
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ∗ )
= −i {φ∗ ∂ µ φ − φ ∂ µ φ∗ }
=
Dieser Strom erinnert an die Wahrscheinlichkeitsstromdichte der nicht-relativistischen
QM,
~QM =
~ ∗~
~ ψ∗ .
ψ ∇ψ − ψ∇
2m i
Diese Interpretation ist jedoch nicht übertragbar auf den Noetherstrom j µ ; wir werden ihn später mit der Ladungsstromdichte identifizieren.
Hinzunehmen von Koordinatentransformationen. Jetzt betrachte den Fall, dass
zugleich die Koordinaten xµ und die Felder φ einer Transformation unterworfen werden:
Tα : xµ →
φ(x) →
µ
x′ = X µ (x; α)
φ′ (x′ ) = Φ(x′ , φ; α) ,
(2.38)
wobei wieder X µ (x, φ; 0) = xµ und Φ(x, φ; 0) = φ(x) sein sollen.
Infinitesimal, d.h. in erster Ordnung in α, schreibt sich die Transformation
xµ → xµ + α ∆xµ
mit
∆xµ =
∂X µ
(x; 0)
∂α
(2.39)
und
φ(x) → φ(x) + α ∆φ(x) .
(2.40)
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
Die gesamte Variation der Wirkung ist gegeben durch
Z
Z
∆S =
∆(d4 x) L + d4 x ∆L ,
28
(2.41)
wo ∆L die Änderung der Lagrangedichte aufgrund der Änderungen (2.39) und (2.40) ist.
∆(d4 x) ist die Änderung des Integrationsmaßes, die man wegen (vgl. Übungen)
′ µ 4
∂x
4 ′
d x
d x = det
∂xν = |det (ηνµ + α ∂ν ∆xµ )| d4 x
=
(1 + α ∂µ ∆xµ ) d4 x .
In erster Ordnung in α erhält man also
∆(d4 x) = (α ∂µ ∆xµ ) d4 x .
(2.42)
Man beachte auch, dass für die Ableitung nach den transformierten Koordinaten gilt
−1
∂
∂
∂
∂X µ (x, α)
=
= δµν − α (∂µ ∆xν )
+ O(α2 ) .
∂X µ (x, α)
∂xν
∂xν
∂xν
Die gesamte Variation der Wirkung ist somit5
Z
∂L
∂L
∆xµ +
∆φ
∆S =
d4 x L ∂µ ∆xµ +
µ
∂x
∂φ
∂L
∂φ
∂L
∂µ ∆φ −
(∂µ ∆xν )
+
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
∂xν
Z
n ∂L
∂L
f∆xµ −
(∂ν φ)∆xν −
(∂ν ∂µ φ)∆xν
=
d4 x ∂µ L
∂φ
∂(∂µ φ)
|
{z
}
=:N
∂L
∂L
∂L
∆φ + ∂µ
+
∆φ
− ∂µ
∂φ
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
{z
}
|
(2.20)
= 0
o
∂L
(∂µ ∆xν ) ∂ν φ .
−
∂(∂µ φ)
(2.43)
Den zweiten Term im Integranden können wir umformen,
∂L
∂L
∂L
N =
−
+ ∂µ
∂ν φ ∆xν ,
(∂ν φ)∆xν − ∂µ
∂φ
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
|
{z
}
(2.20)
= 0
wobei sich der nichtverschwindende Term mit dem letzten Term in (2.43) zu der Vierer∂L
∂ν φ ∆xν zusammenfassen lässt. Insgesamt ergibt sich also, dass sich
divergenz von ∂(∂
µ φ)
die Variation der Wirkung als Raum-Zeit-Integral über die Viererdivergenz eines Stromes
schreiben lässt,
Z
∆S = − d4 x ∂µ j µ ,
(2.44)
5 Ich danke M. Klaput für den Hinweis, dass es in einer früheren Version dieser Notizen Ungereimtheiten
gegeben hat.
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
wobei
j
µ
=
∂L
∂ν φ − L η µ ν
∂(∂µ φ)
∆xν −
∂L
∆φ .
∂(∂µ φ)
29
(2.45)
Genau wie zuvor bedeutet die Aussage, dass Tα eine Symmetrie ist, dass S invariant
bleibt. Dies impliziert das Verschwinden von ∂µ j µ , d.h. das Noether’sche Theorem, da wir,
wie bereits diskutiert, für den Fall mehrere Felder diskutieren.
Noether’sches Theorem: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrietransformation Tα der
Felder und der Koordinaten gibt es einen erhaltenen Strom:
∂L
∂L
j µ (x) =
∂ν φi − L η µ ν ∆xν −
∆φi ,
(2.46)
∂(∂µ φi )
∂(∂µ φi )
d.h. j erfüllt die Kontinuitätsgleichung:
∂µ j µ (x) = 0 .
(2.47)
Erhaltene Ladung. Des Weiteren ist
Z
Q(t) =
d3 x j 0 (t, ~x)
(2.48)
eine Erhaltungsgröße, d.h.
Z
Z
~ (t, x) = 0 .
Q̇(t) =
d3 x ∂0 j 0 (t, ~x) =
d3 x ∇~
2.5
Der Energie-Impuls-Tensor
Eine Translation
xµ → xµ + aµ ,
(2.49)
bildet den Minkowskiraum M4 auf sich selbst ab und sollte daher einer Symmetrie entsprechen. Die entsprechende Symmetrietransformation ist mit dem Skalarfeld φ
Tα : xµ →
φ(x) →
xµ + α aµ ,
φ′ (x′ ) = φ(x) ,
(2.50)
d.h.
∆xµ = aµ
und
∆φ = 0 .
Da wir aµ beliebig wählen können, etwa für festes ν: aµ = δνµ , folgen aus dem NoetherTheorem vier erhaltene Ströme,
T µν =
∂L
∂ ν φ − L η µν .
∂(∂µ φ)
(2.51)
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
30
T heißt Energie-Impuls-Tensor . Für ihn gilt gemäß oben Gesagtem für jedes ν
∂µ T µν = 0 .
(2.52)
Seinen Namen verdankt er seinen Komponenten.
Energie-Erhaltung.
Die 00-Komponente lautet
∂L
φ̇ − L = H .
∂ φ̇
T 00 =
Die Stromerhaltung
Z
d
d3 x T 00 (x) = 0
dt
ist nichts Anderes als die Energieerhaltung.
Räumliche Impulserhaltung. Wir setzen für i = 1, 2, 3:
Z
Z
Pi =
d3 x T 0i (x) =
d3 x π(x) ∂ i φ(x)
(2.53)
und bezeichnen P i als physikalischen Impuls des Feldes φ. Die Ladungserhaltung Ṗ i = 0
ist nichts anderes als die räumliche Impulserhaltung.
Vierer-Impuls des Feldes. Identifizieren wir
sich für den Vierer-Impuls des Feldes φ
P
2.6
µ
=
Z
d3 x T 0µ .
R
d3 x T 00 mit der Energie E, so ergibt
(2.54)
Der Drehimpulstensor
~
Betrachte eine eigentliche Lorentztransformation Λ, bestehend aus einer Rotation R(θ)
um die Achse ~n mit dem Winkel θ, d.h. θ~ = θ · ~n, und einem Boost B(~
ϕ).
~ x.
Λ : x → Λ(~
ϕ, θ)
Die Transformation Tα ist dann gegeben durch
Tα : xµ
→
φ(x) →
~ µ ν xν ,
Λ(α ϕ
~ , α θ)
~
φ′ Λ(α ϕ
~ , α θ)x
.
(2.55)
Der wesentliche Unterschied zur Situation beim Energie-Impuls-Tensor ist, dass die Felder
unter der Transformation eventuell nicht-trivial transformieren.
Wir entwickeln Tα ,
xµ
→
φ(x) →
xµ + α i ω µν xν ,
i
φ(x) + α ωµν I µν φ ,
2
2
KLASSISCHE FELDTHEORIE IM MINKOWSKI-RAUM
31
wo ω µν antisymmetrisch in µ und ν ist. Die Generatoren der Lorentzgruppe sind antisymmetrische Matrizen, wenn beide Indizes hoch- oder runtergestellt sind, sodass der
Generator von Λ
µν
1 ∂Λ µν
ω
:=
i ∂α α=0
antisymmetrisch in µ und ν ist. Die ebenfalls in µ und ν antisymmetrischen Matrizen
I µν sind gerade so gewählt, dass 12 ωµν I µν beispielsweise beim Dirac-Feld die infinitesimale
Erzeugende von S(Λ) ist.
Mit den obigen Bezeichnungen haben wir also
i
∆xν = i ω νµ xµ und ∆φ = ω µν Iµν φ .
2
Dies eingesetzt, ergibt sich ein Noetherstrom
∂L 1 ρν
∂L
µ
µ
∂ν φ − L η ν ω νρ xρ −
ω Iρν φ
j
=
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ) 2
1
=
ωνρ Mµνρ ,
(2.56)
2
wobei wir einen globalen Faktor i gekürzt haben und
Mµνρ = T µρ xν − T µν xρ +
∂L
I νρ φ
∂(∂µ φ)
(2.57)
ist. Nun können wir die Elemente von ω µν beliebig wählen bis auf die Nebenbedingung
der Antisymmetrie, entsprechend ist (für festes ν und ρ) M ein erhaltener Noether-Strom
∂µ Mµνρ = 0 .
Es gibt (wegen der Antisymmetrie sechs) erhaltene Ladungen
Z
dJ µν
µν
= 0.
J
=
d3 x M0µν mit
dt
(2.58)
Die J µν bilden die Komponenten des sog. Drehimpulstensors. Üblicherweise zerlegt man
die räumlichen Komponenten in Bahndrehimpuls und Spin,
Jij = Lij + Sij ,
(2.59)
Lij =
Z
(2.60)
Sij =
Z
wobei
und
d3 x π(x) xi ∂j − xj ∂i φ(x)
d3 x π(x)Iij φ(x) .
(2.61)
Den Drehimpulsvektor erhält man aus
Ji =
3
X
εijk Jjk ,
J~ = (J23 , J31 , J12 ) .
j,k=1
Der Bahndrehimpuls ist universell, der Spin ist Freiheitsgrad-spezifisch, d.h. hängt von
dem ‘intrinsischen’ Transformationsverhalten unter der Lorentzgruppe ab. Skalare transformieren trivial, für sie verschwindet Iij und man sagt sie hätten Spin 0. Spinoren bzw.
Vektoren transformieren nicht-trivial und man spricht von Spin-1/2 bzw. Spin-1 Darstellungen.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
3
32
Relativistische freie Materie-Felder
Das Ziel dieses Abschnittes ist es, die klassische Feldtheorie im Minkowskiraum mit dem
kanonischen Verfahren zu quantisieren.
3.1
Reelle Skalarfelder
Lagrangedichte. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
1
1
L = (∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2 .
2
2
Das kanonische Impulsfeld ist
π =
∂L
= φ̇ ,
∂ φ̇
und die Hamiltondichte ist
o
1n 2
~ 2 + m2 φ 2 .
H = π φ̇ − L =
π + (∇φ)
2
Quantisierung.
operatoren,
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Die (kanonische) Quantisierung erfolgt durch den Übergang zu Feld-
φ(x), π(x) → φ(x), π(x) ,
wobei man für den gleichzeitigen Kommutator fordert
[φ(t, ~x), π(t, ~y )] = i δ (3) (~x − ~y ) .
(3.4)
Dabei haben wir
~ = 1
gesetzt. Abgesehen von (3.4) verschwinden alle Kommutatoren,
[π(~x, t), π(~y , t′ )] = [φ(~x, t), φ(~y , t′ )] = 0 .
Bemerkung: Bei Skalarfeldern handelt es sich gemäß dem Spin-Statistik Theorem um
Bosonen, deshalb tritt in (3.4) der Kommutator auf.
Bewegungsgleichungen. Die klassischen Bewegungsgleichungen
+ m2 φ(x) = 0
(3.5)
6
repräsentieren die relativistische Energie-Impuls-Beziehung
E 2 − p~ 2 = m2 .
Da ~ = 1, müssen wir nicht (mehr) zwischen Wellenvektoren und Impulsen bzw. zwischen
Frequenzen und Energien unterscheiden, d.h. ~k = p~ und ωk = E > 0.
6 Diese
etwas gestelzte Wortwahl wurde gewählt, da Felder als unendlichdimensionale Darstellungen
der Poincaré-Gruppe aufgefasst werden können (siehe [SU92]). Diese Diskussion wird hier jedoch nicht
weitergeführt.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
33
Fourier-Zerlegung. Wir können das klassische Feld φ als Fourier-Integral darstellen,
Z
d4 k
δ(k 2 − m2 ) θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x
φ(x) =
4
(2π)
Z
d3 k 1 =
a(k) e−i k·x + a∗ (k) ei k·x ,
(3.6)
3
(2π) 2ωk
p
wobei in der zweiten Zeile ωk = ~k 2 + m2 . Hierbei haben wir die Identität
d3 k 1
d4 k
f
δ(k 2 − m2 ) θ(k0 ) =: dk
=
(2π)3 2ωk
(2π)4
(3.7)
verwendet, die man leicht durch Nachrechnen (vgl. Übungen) verifiziert. Man spricht vom
invarianten Phasenraumelement. Die zweite Darstellung verdeutlicht, dass das Phasenraumelement relativistisch invariant ist.
Nun gehen wir zu Operatoren über. Wie bereits in (1.31), ersetzen wir die Amplituden
a(k) und a∗ (k) durch Operatoren,
Z
d4 k
δ(k 2 − m2 ) θ(k0 ) · a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
φ(x) =
4
(2π)
Z
d3 k 1 =
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x .
(3.8)
3
(2π) 2ωk
Durch Zeitableitung erhält man
Z
i
d3 k π(x) = −
a(k) e−i k·x − a† (k) ei k·x .
3
2 (2π)
(3.9)
Durch Umkehrung dieser Formeln erhält man die Vertauschungsrelationen für a(k) und
a† (k),
a(k), a† (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ .
(3.10)
Die Rechnung ist völlig analog zu der, die auf (1.34) geführt hat.
Bemerkungen:
(1) Durch die Umnormierung
Z
d3 k
p
φ(x) =
a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
3
(2π) 2ωk
folgt die Vertauschungsrelation
a(k), a† (k ′ ) = δ (3) ~k − ~k .
(3.11)
(3.12)
In der Literatur wird von dieser Konvention oft Gebrauch gemacht (in [PS95] werden
nochmal andere Konventionen verwendet).
(2) In den Integralen ist der Vierervektor
k bereits durch die räumlichen Komponenten
p
2
~k festgelegt, da k 0 = ωk =
~
m + k 2 . D.h., wir könnten anstatt a(k) ebensogut
a(~k) schreiben.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
34
Interpretation. Die a(k) bzw. a† (k) entsprechen (bis auf die Normierung) den Vernichtungsbzw. Erzeugungsoperatoren im Besetzungszahlformalismus.
Hamiltonoperator. Der Hamiltonoperator des Systems lässt sich schreiben (vgl. Übungen)
Z
f ωk a† (k) a(k) ,
H =
dk
(3.13)
wobei ωk =
p
~k 2 + m2 ist.
Impulsoperator. Der räumliche Impuls ergibt sich mit den Formeln der klassischen
Feldtheorie (2.53) zu (vgl. Übungen)
Z
Z
f k i a† (k) a(k) .
Pi =
d3 x T 0i =
dk
(3.14)
Viererimpuls.
Pµ =
Z
Die Formeln (3.13) und (3.14) lassen sich zusammenfassen zu
f k µ a† (k)a(k) .
dk
(3.15)
Dabei ist k 0 = ωk .
Der Operator der Teilchenzahldichte ist gegeben durch
N (k) = a† (k) a(k) .
(3.16)
Des Weiteren gilt
µ † P , a (k)
=
=
=
Z
Z
Z
′
f k ′µ a† (k ′ ) a(k ′ ) a† (k) − a† (k) a† (k ′ ) a(k ′ )
dk
′
f k ′µ
dk
′
a† (k ′ ) a(k ′ ) − a† (k ′ ) a(k ′ ) a† (k) + a† (k ′ ) [a(k ′ ), a† (k)]
f k ′µ δ (3) (~k ′ − ~k)(2π)3 2ωk a† (k ′ )
dk
= k µ a† (k) .
Drehimpuls.
ren,
(3.17)
Da Skalar-Felder unter einer Lorentztransformation nicht mittransformie-
φ′ (x′ ) = φ(x) ,
ist mit den Bezeichnungen von (2.46)
∆φ = 0 .
Daher ist der Drehimpulstensor (2.59) alleine durch den Tensor des Bahndrehimpulses
gegeben, d.h.
Jij = Lij
und Sij = 0 .
Teilchen, die durch ein Skalarfeld beschrieben werden, haben also Spin 0.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
3.2
35
Komplexe Skalarfelder
Zu den zwei reellen Skalarfeldern φ1 und φ2 betrachten wir die komplexen Felder
φ =
φ∗
=
1
√ (φ1 + i φ2 ) ,
2
1
√ (φ1 − i φ2 ) .
2
(3.18)
(3.19)
Die Lagrangedichte ergibt sich durch Addition der entsprechenden Lagrangedichten für φ1
und φ2 ,
L = (∂ µ φ† ) (∂µ φ) − m2 φ† φ .
(3.20)
Wir gehen wieder zu den entsprechenden Feldoperatoren φ1 und φ2 über. Für die Komponenten φ1 und φ2 betrachten wir die Fourierdarstellung,
Z
n
o
f ai (k) e−i k·x + a† (k) ei k·x ,
φi =
dk
(3.21)
i
wobei wieder die üblichen Vertauschungsrelationen gelten,
h
i
ai (k), a†j (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ δij .
(3.22)
Wir führen neue Operatoren ein,
a(k)
=
a† (k)
=
b(k)
=
b† (k)
=
1
√ [a1 (k) + i a2 (k)] ,
2
i
1 h †
√ a1 (k) − i a†2 (k) ,
2
1
√ [a1 (k) − i a2 (k)] ,
2
i
1 h †
√ a1 (k) + i a†2 (k) .
2
(3.23)
Nach Konstruktion sind die a- bzw. b-Operatoren verschiedene Operatoren, die physikalisch verschiedene Teilchensorten beschreiben.
Durch Einsetzen erhält man deren Vertauschungsrelationen,
(3.24)
a(k), a† (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ ,
h
i
(3.25)
b(k), b† (k ′ ) = (2π)3 2ωk δ (3) ~k − ~k ′ .
Die weiteren Kommutatoren verschwinden.
Mit diesen Operatoren besitzen die Felder φ und φ† die Darstellung
Z
o
n
f a(k) e−i k·x + b† (k) ei k·x ,
φ(x) =
dk
Z
†
f b(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x .
φ (x) =
dk
(3.26)
(3.27)
Die kanonisch konjugierten Impulsfelder für das komplexe Skalarfeld ergeben sich zu7
π
=
∂L
= φ̇† .
∂ φ̇
7 Formal leiten wir hier einen Operator nach einen Operator ab. Dieses Problem umgeht man, indem
man jeweils erst zuletzt vom klassischen Feld zum Operator übergeht.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
π†
=
∂L
∂ φ̇†
= φ̇ .
36
(3.28)
Aus den Vertauschungsrelationen (3.24) und (3.25) für die a- und b-Operatoren ergeben
sich die üblichen Kommutatorregeln für die Feldoperatoren im Koordinatenraum,
h
[φ(t, ~x), π(t, ~y )]
i
†
φ (t, ~x), π † (t, ~y )
=
=
i δ (3) (~x − ~y ) ,
i δ (3) (~x − ~y ) .
(3.29)
Wie bereits diskutiert (vgl. Beispiel 2 auf Seite 27), weist die Lagrangedichte eine U(1)
Symmetrie auf, unter der
φ → ei α φ
und φ∗ → ei α φ∗ .
Nach dem Noether’schen Theorem gibt es dann einen erhaltenen Strom,
n
o
jµ (x) = i φ† (x) ∂µ φ(x) − ∂µ φ† (x) φ(x) .
(3.30)
(3.31)
Wir setzen (3.26) und (3.27) ein und erhalten für den zugehörigen Operator (vgl. Übungen)
Z
Z
n
′
f
f k ′ [b(k) a(k ′ ) − b(k ′ ) a(k)] e−i (k+k′ )·x
jµ =
dk
dk
µ
′
+ a† (k ′ ) b† (k) − a† (k) b† (k ′ ) ei (k+k )·x
′
+ a† (k) a(k ′ ) − b(k ′ ) b† (k) ei (k−k )·x
o
′
+ a† (k ′ ) a(k) − b(k) b† (k ′ ) ei (k −k)·x .
Bildet man das räumliche Integral über die 0-te Komponente, so ergibt sich (vgl. Übungen)
Z
Q =
d3 x j 0 (x)
Z
o
n
=
d3 x φ† φ̇ − φ̇† φ
Z
n
o
f a† (k) a(k) − b† (k) b(k) .
=
dk
(3.32)
Interpretation: Es macht offensichtlich wenig Sinn, j als Operator für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte zu interpretieren, da der Vakuumerwartungswert nicht positiv definit
ist. Sieht man jedoch j als Operator für die Ladungsstromdichte, so ist Q der Ladungsoperator . Des Weiteren identifizieren wir
• die Operatoren a† bzw. a als Erzeuger bzw. Vernichter für ein Teilchen und
• die Operatoren b† bzw. b als Erzeuger bzw. Vernichter für ein Antiteilchen.
Das −“-Zeichen in (3.32) repräsentiert dann das unterschiedliche Ladungsvorzeichen bei
”
beiden Teilchensorten.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Hamiltonoperator.
37
Die (klassische) Hamiltondichte ist
H = π φ̇ + π ∗ φ̇† − L .
(3.33)
Indem man die Felder durch die entsprechenden Operatoren ersetzt und über die räumlichen Koordinaten integriert, erhält man
Z
H =
d3 x H φ→φ etc.
Z
n
o
f k0 a† (k) a(k) + b† (k) b(k) + C .
=
dk
(3.34)
Hierbei ist C eine Konstante,
Z
io
h
d3 k 1 n
a(k), a† (k) + b(k), b† (k)
,
C =
3
(2π) 2
die offensichtlich divergiert. Man kann aber argumentieren, dass es sich dabei ‘nur’ um die
Nullpunktsenergie handelt, die nicht (direkt) messbar ist.8
Normalordnung. Um den Schwierigkeiten mit den Unendlichkeiten aus dem Weg zu gehen, führt man die Normalordnung ein. Die entsprechende Vorschrift lautet (für Bosonen)
: a† (k) a(k ′ ) :
′
†
: a(k ) a (k) :
= a† (k) a(k ′ ) ,
(3.35a)
= a† (k) a(k ′ )
(3.35b)
und analog für b und b† .
Es ist offensichtlich, dass damit : H : nur die endlichen Terme in (3.34) enthält.
Wesentlich dabei ist, dass sowohl Teilchen als auch Antiteilchen positiv zur Energie(dichte) beitragen.
Fazit: Komplexe Skalarfelder beschreiben zwei Freiheitsgrade, die sich physikalisch als
Teilchen und zugehörige Antiteilchen interpretieren lassen. Sowohl Teilchen als auch Antiteilchen tragen positiv zur Energiebilanz bei, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen zur
Ladungsbilanz.
3.3
Zur Interpretation der Feldoperatoren
Im Heisenbergbild drückt sich die Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren folgendermaßen
aus:
φ(x) = φ(t, ~x) = exp (iH t) φ(0, ~x) exp(−i H t) .
(3.36)
Die Heisenberg-Gleichungen für ein reelles φ lauten
∂φ
(x) = [φ(x), H] = i π(x) ,
(3.37)
∂t
∂π
~ 2 + m2 φ(x) .
(3.38)
(x) = [π(x), H] = − i −∇
i
∂t
Durch Einsetzen beider Gleichungen sieht man, dass der Feldoperator φ der Klein-GordonGleichung genügt,
∂2φ
~ 2 − m2 φ .
=
(3.39)
∇
∂t2
i
8 Das
ist richtig, solange man das System nicht in ein anderes einbettet.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Verhalten der Operatoren a und a† .
bzw.
[H, a(k)]
H, a† (k)
38
Man rechnet nach, dass
= −ωk a(k) ,
(3.40)
†
= ωk a (k) ,
(3.41)
H a(k) = a(k) (H − ωk ) .
Durch sukzessives Anwenden sieht man, dass für jedes n gilt
H n a(k) = a(k) (H − ωk )n .
(3.42)
Diese Beziehung kann man zu einer Exponentialreihe aufsummieren, d.h. man addiert
∞
X
(i t)n
(3.42) ,
n!
n=0
und erhält
exp(i Ht) a(k) exp(−i Ht) = a(k) e−i ωk t ,
exp(i Ht) a† (k) exp(−i Ht) = a† (k) e+i ωk t .
(3.43a)
(3.43b)
Ganz allgemein gilt für einen beliebigen Heisenbergoperator die Relation
A(x) = exp(i P · x) A(0) exp(−i P · x) ,
wobei P mit
Pµ =
Z
(3.44)
d3 x π(x) ∂ µ φ(x)
(3.45)
das Feld des physikalischen Impulses ist (vgl. (2.53)).
Beziehung zur Schrödinger’schen Quantenmechanik.
Skalarfelder φ. Dann gilt
Z
†
f ei k·x |~ki .
φ (x) |−i =
dk
Somit ist
h−| φ(x) |~ki = h−|
=
Z
f
dk
′
Betrachte wieder komplexe
o
n
′
′
a(k ′ ) e−i k ·x + b† (k ′ ) ei k ·x a† (k) |−i
e−i k·x = ϕ~k (x) ,
d.h. die Schrödinger’sche Wellenfunktion zum Wellenvektor ~k.
(3.46)
(3.47)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
Korrelationsfunktion.
tionsfunktion
39
Betrachte ein reelles Skalarfeld φ. Man erhält für die Korrela-
D(x − y) = h−| φ(x) φ(y) |−i
Z
f dk
f′ a(k) e−i k·x + a† (k) ei k·x
= h−| dk
o
′
′
|−i
a(k ′ ) e−i k ·y + a† (k ′ ) ei k ·y
Z
f dk
f′ h−| a(k) a† (k ′ ) |−i ei (k′ ·y−k·x)
=
dk
{z
}
|
k−~
k ′)
=(2π)3 2ωk δ (3) (~
Z
f e−i k·(x−y) .
=
dk
(3.48)
Interessanterweise verschwindet diese Korrelationsfunktion nicht, auch nicht, wenn x − y
raumartig ist, d.h. für (x−y)2 < 0. Man kann sich aber durch Nachrechnen (vgl. Übungen)
davon überzeugen, dass der Vakuumerwartungswert des Kommutators verschwindet. Man
kann sich überlegen, dass das nicht bedeutet, dass Kausalität verletzt ist. Kausalität wäre
verletzt, wenn man mit einer Messung am Punkt x eine Messung am Ort y mit raumartigem
y − x beeinflussen könnte. Diese Diskussion wird nun zunächst nicht weiter geführt; sie
macht erst dann Sinn, wenn wir Wechselwirkungen betrachten.
3.4
(i)
Zeitgeordnetes Produkt und Propagatoren
Zeitgeordnetes Produkt
Der Feldoperator φ† erzeugt wegen
Z
†
f ei k·x a† (k) |−i
φ (x) |−i =
dk
ein Teilchen am Ort ~x zur Zeit t, und wegen
Z
f ei k·x b† (k) |−i
φ(x) |−i =
dk
(3.49)
(3.50)
erzeugt φ ein Antiteilchen am Ort ~x zur Zeit t. Entsprechend erzeugt
θ(t′ − t) φ(t′ , ~x ′ ) φ† (t, ~x)
ein Teilchen zu Zeit t und vernichtet ein Teilchen zur Zeit t′ > t bzw.
θ(t − t′ ) φ† (t, ~x) φ(t′ , ~x ′ )
erzeugt ein Antiteilchen zur Zeit t′ und vernichtet ein Antiteilchen zur Zeit t > t′ .
Diese Beobachtungen motivieren die Einführung des zeitgeordneten Produkts
T φ(x′ ) φ† (x) := θ(t′ − t) φ(x′ ) φ† (x) + θ(t − t′ ) φ† (x) φ(x′ ) .
(3.51)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
40
Bemerkung: Für Fermionen führen analoge Überlegungen zu einer Definition mit einem
−“-Zeichen.
”
Betrachte nun die Wirkung von x′ + m2 auf T φ φ† ,
h
i
∂φ(x′ ) †
∂ †
†
′
′
′
T
φ(x
)
φ
(x)
=
T
φ
(x)
+
δ(t
−
t)
φ(x
),
φ
(x)
,
∂t′
∂t′
{z
}
|
= 0
2
′
∂
φ(x
)
∂2 ∂φ(x′ ) †
†
†
′
′
T φ(x ) φ (x)
= T
φ (x) + δ(t − t)
, φ (x) .
∂t′
∂t′ 2
∂t′ 2
|
{z
}
(3.29)
= −i δ (4) (x′ −x)
Für Klein-Gordon-Felder gilt (siehe Gleichung (3.39))
2
∂ 2 φ(x′ )
~ x′ − m2 φ(x′ ) ,
∇
=
∂t′ 2
d.h. das zeitgeordnete Produkt erfüllt
x′ + m2 T φ(x′ ) φ† (x) = − i δ (4) (x′ − x) .
(3.52)
Damit ist der Vakuum-Erwartungswert
i ∆F (x′ − x) := h−| T φ(x′ ) φ† (x) |−i
(3.53)
(bis auf das Vorzeichen) eine Green’sche Funktion der Klein-Gordon-Gleichung.9
(ii)
Retardierungseigenschaften
θ-Funktion.
Die θ-Funktion besitzt die Darstellung
i
θ(τ ) = lim
εց0 2π
Z∞
dζ
e−i ζ τ
.
ζ + iε
(3.54)
−∞
9 Es sei an dieser Stelle an allgemeine Eigenschaften der Green’sche Funktion erinnert. Zu der Differentialgleichung
O ϕ(x) = j(x)
konstruiert man die Green’sche Funktion G, die (definitionsgemäß)
O G(x) = δ (d) (x)
erfüllt. Wenn diese bekannt ist, kann man spezielle Lösungen der Differentialgleichung sofort angeben,
Z
`
´
ϕspeziell (x) = G ∗ j (x) =
dd y G(x − y) j(y) .
Durch Einsetzen verifiziert man leicht, dass ϕspeziell die Differentialgleichung löst.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
41
Wir benutzen den Residuensatz. Falls τ < 0, vervollständigt man das Integral durch den oberen Halbkreis. Das Kurvenintegral über die analytische Funktion verschwindet. Das Integral über den Halbkreis
mit Radius R geht ebenfalls gegen 0 für R → ∞. Daher liefert das gesuchte Integral den Wert 0. Falls
τ > 0, muss man den Integrationsweg durch den
unteren Halbkreis vervollständigen, damit das Halbkreisintegral für R → ∞ gegen 0 geht. Der Integrand
hat aber eine Pol, und das gesuchte Integral liefert
nach dem Residuensatz den Wert 1.
Retardierter relativistischer Propagator.
Gleichung
+ m2 ϕ(x) = j(x) .
Im ζ
• −iε
Re ζ
Betrachte die inhomogene Klein-Gordon(3.55)
Die Green’sche Funktion G0 genügt definitionsgemäß der Gleichung
+ m2 G0 (x, x′ ) = δ (4) (x − x′ ) .
(3.56)
Aus Gründen der Translationsinvarianz hat man
G0 (x, x′ ) = G0 (x − x′ ) .
Durch Fouriertransformation sieht man, dass für die Fouriertransformierte von G0 gelten
muss
−1
−1
b 0 (k) =
G
=
2
~
k 2 − m2
ω − k 2 − m2
Aus der Quantenmechanik ist der Standard-Trick
Ersetze ω durch ω + i ε, transformiere zurück und lasse ε gegen 0 gehen.“
”
bekannt. Damit erhält man den retardierten Propagator
e ret (k)
G
=
−1
(ω + i ε)2 − ~k 2 − m2
1
1
1
= −
,
−
2ωk ω − ωk + i ε ω + ωk + i ε
wobei (wie üblich)
q
~k 2 + m2 .
ωk =
An der Struktur der obigen Darstellung als Summe von zwei Brüchen mit ω + i ε im Nenner sieht
man, dass die Bezeichnung retardiert“ gerechtfer”
tigt ist. Rechts sind die Polstellen des Propagator in
der komplexen Ebene eingezeichnet.
Unter Verwendung von (3.54) ergibt sich
Z
d4 k −i k·(x−x′ ) e
′
e
Gret (k)
Gret (x − x ) = lim
εց0
(2π)4
Im ω
|
•
−ωk − i ε
Re ω
|
•
ωk − i ε
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
=
′
− i θ(t − t ) ·
Z
42
o
d3 k 1 n −i ωk (t−t′ )+i ~k (~x−~x ′ )
i ωk (t−t′ )+i ~
k (~
x−~
x ′)
.
e
−
e
(2π)3 2ωk
(3.57)
Man kann man das auch umschreiben in die Form
Gret (x − x′ ) =
= −i θ(t − t′ )
Z
o
d3 k n (+)
(−)
(−) ∗ ′
(+) ∗ ′
(x
)
(x
)
−
φ
(x)
φ
φ
(x)
φ
~
~
~
~
k
k
k
k
(2π)3
(3.58)
mit den Lösungen der homogenen Klein-Gordon-Gleichung zu positiven bzw. negativen
Frequenzen,
(+)
k
φ~ (x) =
(−)
k
φ~ (x) =
1
~
√
e−i ωk t+i k·~x .
2ωk
1
~
√
ei ωk t+i k·~x .
2ωk
In der nicht-relativistischen Quantenmechanik konnten Propagatoren folgendermaßen dargestellt werden:
X
G(+) (x′ , x) = − i θ(t′ − t)
ψn (x′ ) ψn∗ (x) .
(3.59)
n
Vergleicht man (3.58) mit (3.59), so stört das −“-Zeichen, das die sich natürlich ergeben”
den Lösungen negativer Energie erhalten.
Feynman-Propagator. Um das Minus-Zeichen zu beseitigen, betrachtet man anstatt
Gret den Feynman-Propagator ∆F , für den gelten soll:
e F (k) =
∆
−1
.
k 2 − m2 + i ε
(3.60)
Den Nenner kann man bis auf O(ε2 ) umformen,
k 2 − m2 + i ε
(ω − ωk ) · (ω + ωk ) + i ε
ε
ε
=
ω − ωk − i
· ω − −ωk + i
+ O(ε2 )
2ωk
2ωk
=
=
mit
(ω − (ωk − i ε′ )) · (ω − (−ωk + i ε′ )) + O(ε2 ) .
Im ω
ε
.
ε′ =
2ωk
−ωk + i ε′
Rechts sind die beiden Polstellen des Propagator
•
|
in der komplexen Ebene abgebildet. Wir erwarten
nun eine Mischung aus einem retardierten und einem avancierten Propagator.
e F umschreiben,
Mit der Variablen ε′ lässt sich ∆
1
1
1
e
+ O(ε′ 2 ) .
+
∆F = −
2(ωk − i ε′ ) −ω − ωk + i ε′
ω − ω k + i ε′
Re ω
|
• ′
ωk − i ε
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
43
Es folgen zwei kurze Nebenrechnungen,
Z
Z
′
′
de
ω ei ωe (t−t ) i ωk (t−t′ )
dω −ei ω (t−t )
=
i
·
i
lim
·e
lim
ε′ ց0
ε′ ց0
2π ω − ωk + i ε′
2π ω
e + i ε′
(3.54)
=
mit ω
e = ω − ωk , und
Z
′
dω −ei ω (t−t )
lim
ε′ ց0
2π −ω − ωk + i ε′
=
(3.54)
=
′
i θ(t − t′ ) ei ωk (t−t )
i · i lim
′
ε ց0
Z
′
de
ω ei ωe (t −t) −i ωk (t−t′ )
·e
2π ω
e + i ε′
′
i θ(t′ − t) e−i ωk (t−t ) ,
wobei die Substitution ω
e = −ω − ωk im Integral durchgeführt wurde. Man kann nun den
Feynman-Propagator des freien Skalarfelds ∆F explizit berechnen,
Z
′
d4 k e−i k·(x−x )
∆F (x − x′ ) = lim
εց0
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
Z
d3 k 1 −i ωk (t−t′ )+i ~k·(~x−~x ′ )
′
= i θ(t − t )
e
(2π)3 2ωk
Z
d3 k 1 i ωk (t−t′ )+i ~k·(~x−~x ′ )
+i θ(t′ − t)
e
(2π)3 2ωk
Z
d3 k (+)
(+) ∗
= i θ(t − t′ )
φ (x) φ~ (x′ )
k
(2π)3 ~k
Z
3
d k
(−)
(−) ∗
+ i θ(t′ − t)
(3.61)
φ (x) φ~ (x′ ) .
k
(2π)3 ~k
Interpretation: Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung mit positiver Frequenz propagieren vorwärts in der Zeit, Lösungen negativer Frequenz propagieren rückwärts in der
Zeit.
Kausalität. Die Lösungen zu negativer Frequenz werden als Antiteilchen mit positiver
Energie interpretiert. D.h. das Verschwinden einer Lösung negativer Energie wird als das
Erscheinen eines Anti-Teilchens interpretiert und umgekehrt,




Abwesenheit





 Anwesenheit 









bzw.
bzw.




Anwesenheit
Abwesenheit
↔
.








einer
Lösung
mit
eines












negativer Fequenz
Antiteilchens
Wegen der Eigenschaft des zeitgeordneten Produkts propagieren Antiteilchen ebenfalls
vorwärts in der Zeit. Wir werden im Folgenden immer den Feynman-Propagator verwenden.
Bemerkung: Durch die Darstellung (3.26) und (3.27) haben wir bereits vorweggenommen, dass die Abwesenheit einer Lösung mit negativer Energie der Anwesenheit eines Antiteilchens entspricht. Hätten wir die † bei den b-Operatoren in (3.26) und (3.27) gerade
anders gesetzt, würde b† als Erzeugungsoperator für eine Lösung mit negativen Frequenzen
interpretiert werden müssen.
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
3.5
44
Das Dirac-Feld
Es soll die Feldtheorie von freien Spin- 12 -Teilchen entwickelt werden.
(i)
Quantisierung des Dirac-Feldes
Lagrangedichte.
Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ .
(3.62)
Hierbei bezeichnet Ψ den Dirac Vierer-Spinor und Ψ den adjungierten Spinor. γ µ sind
die Gamma-Matrizen (vgl. Anhang B.1). Man beachte, dass man einen Term ∂µ j µ zur
Lagrangedichte hinzufügen kann, ohne die Wirkung zu ändern. Mit j µ = Ψ γ µ Ψ kann
man eine Lagrangedichte erhalten, in der die Ableitungen nur auf Ψ wirken.
Euler-Lagrange-Gleichungen.
Lagrange-Gleichung
Betrachte die Variation nach Ψ. Das führt auf die Euler-
∂L
∂L
− ∂µ
= 0,
∂Ψ
∂(∂µ Ψ)
(3.63)
bzw. auf die Dirac-Gleichung
(i γ µ ∂µ − m ) Ψ(x) = 0 .
(3.64)
In gewissem Sinne rechtfertigt (3.64) die Lagrangedichte (3.62) nachträglich.
Feynman- Dagger“. Es hat sich die Abkürzung
”
p
=
i ∂ =: i γ µ ∂µ
eingebürgert.
Impulsfeld.
π(x) =
Das kanonisch konjugierte Impulsfeld erhält man über
∂L
(x)
∂ Ψ̇
(3.62)
=
i Ψ† .
(3.65)
Das kanonisch konjugierte Impulsfeld hängt also von der Wahl der Form der Lagrangedichte ab. Für die Wahl (3.62) erhalten wir insbesondere
π(x) =
∂L
= 0.
˙
∂Ψ
Das deutet schon an, dass die Quantisierung nicht wie beim Skalarfeld erfolgen kann.
Hamiltondichte. Die Hamiltondichte ergibt sich (unabhängig von der Wahl der Form
der Lagrangedichte) zu
H
= π Ψ̇ − L
=
~ + m) Ψ
Ψ† γ 0 (−i ~γ · ∇
(3.64)
=
Ψ† i
∂Ψ
.
∂t
(3.66)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
45
Quantisierung. Wir setzen für die Felder Fouriertransformierte mit operatorwertigen
Amplituden“ an,
”
Z
i
X h
1
d3 k
√
cs (k) u(s) (k) e−i k·x + d†s (k) v (s) (k) ei k·x ,
(3.67)
Ψ(x) =
3
(2π)
2k0 s=1,2
Z
i
X h
d3 k
1
†
(s)
i k·x
(s)
−i k·x
√
c
(k)
,
(3.68)
Ψ(x) =
u
(k)
e
+
d
(k)
v
(k)
e
s
s
(2π)3 2k0 s=1,2
wobei s die Spinausrichtung angibt und u(1,2) bzw. v (1,2) die Basisspinoren (B.9) sind. Man
beachte, dass hier für die Normierung (im Gegensatz zu der Diskussion des Skalarfeldes)
den Konventionen von [PS95] gefolgt wird.
Hamiltonoperator. Für den Hamilton-Operator ergibt sich
Z
H =
d3 x H Ψ→Ψ etc.
Z
∂Ψ
=
d3 x Ψ† i
∂t
Z
Z
Z 3 ′
3
d k
d k
1
1
√
√
=
d3 x
(2π)3 2ωk
(2π)3 2ωk′
†
†
X c†s (k) u(s) (k) ei k·x + ds (k) v (s) (k) e−i k·x
s,s′
i o
h
′
′
′
′
ωk′ cs′ (k ′ ) u(s ) (k ′ ) e−i k ·x + ds′ (k ′ ) v (s ) (k ′ ) ei k ·x .
(3.69)
Nun verwenden wir die (algebraischen) Relationen (B.14). Damit ergibt sich
Z
i
X h
d3 k
†
†
H =
c
(k)
c
(k)
−
d
(k)
d
(k)
.
k
s
s
0
s
s
(2π)3
s=1,2
(3.70)
(Anti-)Vertauschungsrelationen. Fordern von Kommutationsrelationen für ds und
d†s würde auf
Z
i
X h
d3 k
?
†
†
k
(k)
d
(k)
+ Evac
(3.71)
c
(k)
c
(k)
−
d
H =
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
führen, wobei die Vakuumenergie Evac divergiert, aber wie gehabt wegdiskutiert werden
kann (mehr dazu weiter unten). Andererseits sollte das Spektrum, d.h. die Eigenwerte von
H, nach unten beschränkt sein. Das bedeutet, dass man das Spinorfeld nicht auf die selbe
Weise wie das Skalarfeld quantisieren kann. Daher fordert man die Anti -KommutatorRelationen
n
o
n
o
cs (k), c†s′ (k ′ ) = ds (k), d†s′ (k ′ ) = (2π)3 δ (3) (~k − ~k ′ ) δss′ .
(3.72)
Die übrigen Anti-Kommutatoren sollen verschwinden. Damit ergibt sich
Z
i
X h
d3 k
†
†
k
(k)
d
(k)
+ Evac ,
c
(k)
c
(k)
+
d
H =
0
s
s
s
s
(2π)3
s=1,2
(3.73)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
46
d.h. das Spektrum ist nach unten beschränkt.
Die Relationen liefern insbesondere den Fermicharakter. Wenn man auf Exaktheit keinen zu großen Wert legt, könnte man diese Argumentation als Beweis des Spin-StatistikTheorems werten; oder auch nicht.
Normalordnung. Die Schwierigkeiten mit den Unendlichkeiten können wieder durch die
Vorschrift der Normalordnung umgangen werden. Für Fermionen ergibt sich im Vergleich
zu den Bosonen (siehe Gleichung (3.35)) ein relatives −“,
”
′
′
†
†
(3.74a)
: cs (k) cs′ (k ) : = cs (k) cs′ (k )
′
†
†
′
′
′
: cs (k ) cs (k) : = − cs (k) cs (k ) .
(3.74b)
Entsprechende Relationen gelten für die ds und d†s′ . Mit dieser Vorschrift schreibt sich
(3.70)
Z
∂Ψ
: .
(3.75)
: H : =
d3 x : Ψ† (x) i
∂t
Wie bei der Diskussion des Skalarfeldes sind die Eigenwerte von : H : endlich (und
positiv).
Anti-Vertauschungsrelation für Ψ und Ψ† . Unter Verwendung von
X
(s)
u(s)
α (k) uβ (k) = (p
+ m)αβ ,
α
X
(s)
vα(s) (k) v β (k) = (p
− m)αβ ,
(3.76)
(3.77)
α
wobei α und β Spinorindizes sind, ergibt sich
n
o
X Z Z d3 k d3 k ′
1
p
Ψα (~x, t), Ψ†β (~x ′ , t) =
6
′
(2π)
4k
0 k0
s,s′
h
n
o
′ ′
(s′ ) ′
0
u(s)
cs (k), c†s′ (k ′ ) e−i k·x+i k ·x
α (k) uδ (k ) (γ )δβ
i
o
n
′ ′
(s′ )
+ vα(s) (k) v δ (k ′ ) (γ 0 )δβ d†s (k), ds′ (k ′ ) ei k·x−i k ·x
Z
d3 k 1
=
(2π)3 2k0
h
i
′
′
~
~
(k + m) γ 0 αβ ei k·(~x−~x ) + (k − m) γ 0 αβ e−i k·(~x−~x )
Z
′
d3 k 1
~
(2k0 ) ei k·(~x−~x ) δαβ = δ (3) (~x − ~x ′ ) δαβ .
=
3
(2π) 2k0
(ii)
(3.78)
Dirac-Stromdichte
Die Lagrangedichte des freien Dirac-Feldes
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ
ist invariant unter einer globalen Phasentransformation,
Ψ(x) → ei α Ψ(x) ;
(3.79)
3
RELATIVISTISCHE FREIE MATERIE-FELDER
47
man spricht von einer (globalen) U(1)-Symmetrie.
Aus dieser Symmetrie folgt ein erhaltener Noether-Strom,
j µ (x) =
: Ψ(x) γ µ Ψ(x) : .
(3.80)
Die Normalordnung wurde gewählt, um unphysikalische Unendlichkeiten zu vermeiden. j
erfüllt
∂µ j µ = 0 .
Insbesondere gibt es eine erhaltene Ladung
Z
Q =
d3 x j 0 (x)
Z
=
d3 x : Ψ† (x) Ψ(x) :
..
.
=
Z
i
d3 k X h †
†
(k)
d
(k)
,
c
(k)
c
(k)
−
d
s
s
s
s
(2π 3 ) s
(3.81)
wobei die Summe über s die Summe über die Spineinstellungen bedeutet. D.h., wie zuvor
tragen Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzt zur Ladungsbilanz bei.
(iii)
Der Dirac-Propagator
Wir suchen eine Green’sche Funktion S zur Dirac-Gleichung, d.h.
(i ∂ − m) S(x − y) = i δ (4) (x − y) .
(3.82)
Durch Fourier-Transformation erhält man
b
(k − m) S(k)
= i.
(3.83)
(k + m) (k − m) = k k − m2 = kµ kν γ µ γ ν − m2 = k 2 − m2 .
(3.84)
Nun verwenden wir
Damit erhält man
i (k + m)
b
S(k)
= 2
k − m2
(3.85)
In Analogie zu (3.53) setzen wir für den Dirac-Propagator
(SF )αβ = h−| T Ψα (x) Ψβ (x′ ) |−i ,
(3.86)
wobei α und β Spinorindizes sind und von 1 bis 4 laufen. Man beachte, dass die Zeitordnung
für Fermionen sich gegenüber dem bosonischen Fall um ein Vorzeichen unterscheidet.
Damit ergibt sich die Darstellung
Z
d4 k −i k·x
i (k + m)
(SF )αβ =
.
(3.87)
e
(2π)4
k 2 − m2 + i ε αβ
4
FUNKTIONALINTEGRALE
4
48
Funktionalintegrale
In diesem Abschnitt wird die Pfadintegral-Quantisierung der Feldtheorie diskutiert. Diese
stellt eine Alternative zu der kanonischen Quantisierung dar.
4.1
Pfadintegrale in der Quantenmechanik
Es soll eine alternative, vielleicht etwas intuitivere, Beschreibung der Quantenmechanik
erarbeitet werden. Die folgenden Ausführungen orientieren sich an [Zee03, Abschnitt I.2],
[Ryd96, Abschnitt 5] und [Mar02, Abschnitt 16]. Wir beschränken uns auf eindimensionale Probleme, die Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen führt auf qualitativ nichts
Neues. In diesem Unterabschnitt werden wir ~ ausschreiben und später dann wieder unterdrücken.
(i)
Propagator und Pfadintegral
Quantenmechanisch weist man q bzw. p die Operatoren q bzw. p mit den entsprechenden
Vertauschungsrelationen zu. Der Zustand wird charakterisiert durch die Wellenfunktion,
die mit dem entsprechenden (zeitabhängigen) Zustand im Schrödingerbild, |ψ(t)iS , geschrieben werden kann als
ψ(q, t) = hq, ψ(t)iS .
(4.1)
Der entsprechende Heisenberg-Zustand erfüllt (für zeitunabhängige Hamilton-Operatoren)
i
(4.2)
|ψ(t)iS = exp − H t |ψiH .
~
Für unsere Diskussion ist es hilfreich, ‘Vektoren’ |q, ti zu definieren durch
i
|q, ti = exp + H t |qi ,
~
(4.3)
wo |qi die üblichen Ortseigenszustände bezeichnen. Die |q, ti ‘erben’ einige Eigenschaften
von den |qi, insbesondere bilden diese zu jeder Zeit t einen vollständigen Satz an Ortseigenzuständen, und man hat
q |q, ti = q |q, ti .
Ein allgemeiner Zustand lässt sich nach diesen Zuständen entwickeln, die Projektion eines
Heisenberg-Zustands |ψiH auf |q, ti liefert den Wert der Wellenfunktion an der (verallgemeinerten) Koordinate q zum Zeitpunkt t,
ψ(q, t) = hq, t|ψiH ,
(4.4)
mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Des Weiteren ergibt sich das
übliche Verhalten
i
(4.5)
ψ(q, t) = hq, t|ψi = exp − H t ψ(q, 0)
~
4
FUNKTIONALINTEGRALE
49
Propagator. Der (eindimensionale) Propagator, den wir hier mit K bezeichnen wollen, trans”
portiert“ die Wellenfunktion ψ von einem Zeitpunkt ti zu einem Zeitpunkt tf ,
Z
ψ(qf , tf ) =
dqi K(qf , tf ; qi , ti ) ψ(qi , ti ) .
|ψ|2
t=t
t=t
f
i
Durch Einschieben der Eins erhält man
ψ(qf , tf ) = hqf , tf |ψi
Z
=
dqi hqf , tf |qi , ti i hqi , ti |ψi .
{z
} | {z }
|
=K(qf ,tf ;qi ,ti ) =ψ(qi ,ti )
Durch Vergleich dieser Relationen sieht man, dass
der quantenmechanische Propagator K identisch
ist mit der Übergangsamplitude, d.h.
K(q ′ , t′ ; q, t) = hq ′ , t′ |q, ti .
q
(4.6)
Klassisch hingegen weist man einem Teilchen eine Koordinate q zu, und man kann bei spezifizierten Anfangsbedingungen genau einen Pfad finden, welchen das System durchläuft.
Ziel der folgenden Diskussion ist es, die beiden Beschreibungen zueinander in Bezug zu
setzen. Wir werden sehen, dass die quantenmechanische Dynamik als das simultane Durchlaufen mehrerer Pfade interpretiert werden kann, wobei jedem Pfad eine Wahrscheinlichkeit
dafür zugeordnet wird, durchlaufen zu werden.
Beispiel: Zur Illustration betrachten wir das Doppelspalt-Experiment (Abbildung 1).10
Ein Elektron kann an, ausgehend von der Quelle Q, an den Ort qf entweder über den Spalt
a oder b gelangen. Die Übergangsamplitude ist die Superposition zweier Amplituden, d.h.
die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Auffinden von Elektronen zur Zeit tf an der
Stelle qf ergibt sich zu
Z
dt0 K(qf , tf ; Q, t0 ) =
Z
dt0 [K(qf , tf ; a, ta ) K(a, ta ; Q, t0 ) + K(qf , tf ; b, tb ) K(b, tb ; Q, t0 )] .
Die Übergangswahrscheinlichkeit |K(qf , tf ; Q, t0 )| enthält dann Interferenzterme. Dies liefert das vertraute Interferenzbild.
Propagator eines freien Teilchens.
Dimension ist
Der Propagator eines freien Teilchens in einer
i
hx, t|y, 0i = K0 (x, t; y, 0) = hx| exp − H 0 t |yi ,
~
wobei
H0 =
10 Dieses
p2
2m
Experiment wird natürlich in drei (Raum-)Dimensionen durchgeführt.
(4.7)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
50
K (a, ta
Quelle
; Q, t0)
a
K (qf , t
f ; a, t )
a
qf
Q
K (b, t
b
b ; Q, t
0)
, tf
K (q f
; b, t b
)
Abbildung 1: Doppelspaltexperiment. Wir betrachten Elektronen mit einer scharfen Impulsverteilung, so dass die zurückgelegte Entfernung proportional zu einer Zeit-Differenz ist.
ist und |xi ≡ |x, 0i gesetzt wurde. Explizit berechnet man K0 über
i p2
hx| exp −
t |yi
~ 2m
Z
Z
i p2
hp| exp −
t |p′ i
hp′ , yi
=
dp dp′
hx|pi
| {z }
| {z }
~ 2m
|
{z
} = √ 1 e−i p′ y/~
= √ 1 ei p x/~
2π~
i
=e− ~
Z
p2
t
2m
2π ~
δ(p−p′ )
dp i p (x−y) − i p2 t
e ~ 2m
e~
2π ~
r
i
h m
m
exp i
(x − y)2 .
=
2π i ~ t
2~ t
=
(4.8)
Dieses Resultat ist konsistent mit dem bekannten drei-dimensionalen freien Propagator
und es gilt
(+)
G0 (~x ′ − ~x, t′ − t) =
3
Y
K(x′i , t′ ; xi , t) .
i=1
Im letzten Schritt in der Rechnung (4.8) wurden zwei Schritte durchgeführt: zum Einen
die Redefinition der Impulsvariablen, so dass der Integrand geschrieben werden kann als
exp(−i α pe2 ) · exp(−i pe-unabhängige Konstante) ,
und zum anderen das Integral über die oszillierende Funktion exp(−i α pe2 ) ausgeführt. Der
zweite Schritt wird nun etwas genauer diskutiert.
Bemerkung (Analytische Fortsetzung von Gauß’schen Integralen):
das Integral
I(α) =
Z∞
−∞
dq exp −i α q 2 .
Betrachte
(4.9)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
51
Dies ist ein Integral in der komplexen Ebene (gestrichelte Linie in Abbildung 2), d.h. mit
der Substitution q = e−i π/4 z gilt
Z
−iπ/4
dz exp −α z 2 .
(4.10)
I(α) = lim e
R→∞
e
C(R)
Der Integrand ist holomorph, und man kann daher (solange das Integral konvergiert)
die Integrationskontur beliebig modifizieren ohne den Wert des Integrals zu ändern. Wir
Im z
π/4
R
Re z
e
Abbildung 2: Integrations-Konturen C(R)
(gestrichelte Linie) und C(R) (durchgezogene Linie)
für das Integral I(α).
wählen die Kontur C(R) (siehe Abbildung 2).
Z
I(α) = lim e−iπ/4
dz exp −α z 2 .
(4.11)
R→∞
C(R)
Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Integrale über die beiden Bögen für große R gegen
0 gehen. Es gilt daher
I(α) = e
−iπ/4
Z∞
−∞
dz exp −α z
2
= e
−iπ/4
r
π
=
α
r
π
.
iα
(4.12)
Das bedeutet, dass man allgemein Integrale dieser Bauart durch analytische Fortsetzung
berechnen kann, insbesondere erhält man mit analogen Überlegungen für 0 ≤ arg β ≤ π/2
die Relation
r
Z∞
π
.
(4.13)
dq exp −β q 2 =
β
−∞
4
FUNKTIONALINTEGRALE
52
Dies impliziert
I(α) = lim
Z∞
εց0
−∞
dq exp −i (α − i ε) q
2
= lim
Z∞
εց0
−∞
dq exp −i α q 2 − ε q 2 .
(4.14)
Hier sieht man, dass der ε-Term die offensichtliche Konvergenz des Integrals bewirkt.
Segmentierung.
Wegen
Z
ψ(qf , tf ) =
dqi K(qf , tf ; qi , ti ) ψ(qi , ti )
Z
Z
=
dqi dq K(qf , tf ; q, t) K(q, t; qi , ti ) ψ(qi , ti )
gilt für tf > t > ti
K(qf , tf ; qi , ti ) =
Z
dq K(qf , tf ; q, t) K(q, t; qi , ti ) .
Anschaulich greift man für festes t alle q-Werte
ab und summiert über alle Pfade, die über dieses
(q, t) führen. Im Gegensatz zur klassischen Theorie tragen alle Pfade bei. Im Folgenden wird distf −
kutiert, mit welchem Gewicht ein gewisser Pfad
beiträgt. Dazu muss man den Pfad insbesondere
t
öfters ‘abgreifen’.
Den in (4.15) vollzogenen Prozess kann man
ti − •
offensichtlich iterieren, d.h. man kann folgende
Zerlegung durchführen:
|
qi
q
i
hqf , t|qi , 0i = hqf | exp − H t |qi i
~
Z
Z
i
=
dq1 . . . dqn hqf | exp − H ε |qn i ·
~
i
i
· hqn | exp − H ε |qn−1 i · · · hq1 | exp − H ε |qi i .
~
~
(4.15)
•
|
qf
(4.16)
Dabei haben wir [0, t] in n + 1 Zeitinterval(tk , qk )
le der Länge ε = t/(n + 1) zerlegt. Der Vor- q
(t, qf )
• •
teil dieser Segmentierung zeigt sich erst bei
(0, qi )
• •
der Betrachtung zeitabhängiger Operatoren
•
• •
•
•
H(t). Haben wir ein H, welcher auf jedem
•
•
der Segmentzeitintervalle [tk , tk+1 ] (0 ≤ k ≤
n) konstant ist, so ist (4.16) richtig, obwohl
tn+1 = t
tk
t0 = 0
die erste Identität voraussetzt, dass H auf
[0, t] konstant ist. Später werden wir n → ∞
gehen lassen, um zeitabhängige H(t) zu betrachten.
Durch die Unterteilung wird die Amplitude für die Wahrscheinlichkeit des Übergangs
entlang des diskreten Pfades zum Produkt von Übergangsamplituden,
i
W (qf , t; qi , 0) = hqf | exp − H ε |qn i ·
~
4
FUNKTIONALINTEGRALE
53
i
· hqn | exp − H ε
~
Pfadintegral.
H =
i
|qn−1 i · · · hq1 | exp − H ε
~
|qi i . (4.17)
Wir betrachten nun einen Hamilton der Form
p2
+ V (q)
2m
(4.18)
in einer Dimension.
Die Segmentierung erweist sich nun vorteilhaft, denn der Operator exp (−i H ε) kann
umgeschrieben werden als
i
i
i
= exp − ε H 0 exp − ε V (q) + O(ε2 ) .
(4.19)
exp − ε H
~
~
~
Später wird der Fall n → ∞, d.h. ε → 0, untersucht, so dass man die Terme ∼ ε2
vernachlässigen kann. Es ergibt sich für die Matrixelemente also näherungsweise
i
i
hqk | exp − ε H |qk−1 i = hqk | exp − ε (H 0 + V (q)) |qk−1 i
~
~
i
i
≃ hqk | exp − ε H 0 exp − ε V (q) |qk−1 i
~
~
i
i
= hqk | exp − ε H 0 |qk−1 i · e− ~ ε V (qk−1 )
~
r
i
i m
m
(4.8)
2
exp
(qk − qk−1 ) · e− ~ ε V (qk−1 )
=
2π i ~ ε
~ 2t
#)
(
" r
2
i
m qk − qk−1
m
=
− V (qk−1 )
.
(4.20)
exp
ε
2πi ~ ε
~
2
ε
Im Grenzfall n → ∞ ⇐⇒ ε → 0 wird die Näherung besser bzw. exakt. Es ergibt sich
Z
Z
m (n+1)/2
dq1 . . . dqn
K(qf , t; qi , ti ) = lim
·
n→∞
2πi ~ ε

" #
2
n

i X
m qj+1 − qj
.
(4.21)
− V (qj )
ε
exp

~
2
ε
j=0
Der Exponent n+1 des Faktors 2πim~ ε ergibt sich, da n+1 Übergangsamplituden zwischen
den n qk s auftreten. Wir setzen als Pfadintegral
Z
Z
Z
m (n+1)/2
f
.
(4.22)
dq1 . . . dqn
Dq := lim
n→∞
2πi ~ ε
Jetzt betrachten wir Funktionen q(t) mit
q(tk ) = qk
wobei
tk = ε · k .
Ein Pfad besitzt die Darstellung q(t). Für einen solchen Pfad gilt im Limes n → ∞ mit
δt = ε = t/n
" #
#
" 2
2
n
n
X
X
m q(tj+1 ) − q(tj )
m qj+1 − qj
δt
− V (qj ) = i
− V (q(tj )
ε
i
2
ε
2
δt
j=0
j=0
4
FUNKTIONALINTEGRALE
n→∞
−−−−→ i
Zt
hm
dτ
2
0
54
i
q̇ 2 (τ ) − V q(τ ) .
(4.23)
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang (qi , 0) → (qf , t) ist also klassisch ein
Pfadintegral
Z
K(qf , t; qi , 0) =
(qi ,ti )
f exp
Dq
(qf ,t)
i
~
Z
0
t
dτ L q(τ ), q̇(τ )
.
(4.24)
Der Ausdruck ist äquivalent zu
K(qf , t; qi , 0) = N
Z
(qi ,ti )
Hierbei ist
Z
Dq :=
lim
n→∞
Z
Dq exp
(qf ,t)
dq1 . . .
Z
i
S[q] .
~
(4.25)
dqn ,
N bezeichnet eine ‘Normierungskonstante’. Durch die ‘Grenzen’ (qi , ti )
(qf , t) wird zum
Ausdruck gebracht, dass nur über Pfade summiert wird, die bei (qi , ti ) beginnen und bei
(qf , tf ) enden.
Interpretation: Wir sehen also, dass man
die Amplitude für den Übergang qi → qf
tf −
•
erhält, indem man über alle Pfade im Konfigurationsraum summiert, wobei jeder Pfad
i
t
als Gewichtsfaktor die Phase e ~ S[q] erhält.
Klassisch durchläuft das System gerade
einen Pfad; nämlich den mit stationärer Wirti − •
kung. Dies bedeutet, dass sich die Phase
|
|
qf
qi
q
entlang des Weges nicht ändert, wenn man
den Weg infinitesimal ändert.
Der klassische Pfad gibt den dominanten Beitrag zur Übergangsamplitude. Die anderen Pfade erhalten unterschiedliche Phasen, so dass sich die entsprechenden Beiträge in
gewissem Sinne wegmitteln.
Bemerkung: Man kann das Wegmitteln analog zu der Situation bei dem Gauß’schen
Integral (4.9) verstehen, dessen Konvergenz auch als Wegmittlen von Beiträgen mit verschiedenen Phasen aufgefasst werden kann (vgl. Übungen).
4
FUNKTIONALINTEGRALE
(ii)
55
Störungstheorie
Wir betrachten den Fall
H = H 0 + V (q, t) ,
(4.26)
wobei V in einem gewissen, später zu spezifizierenden Sinn klein sein soll. Es ergibt sich
für den Propagator

 tf
Z
Z
1
i
dt
m q̇(t)2 − V (q, t) 
hqf , tf |qi , ti i = N Dq exp 
~
2
(qi ,ti )
ti
(qf ,t)

#
" 2
n

i X
m (n+1)/2
m qj+1 − qj
dq1 . . . dqn
= lim
− V (qj )
exp
ε
n→∞

~
2πi ~ ε
2
ε
j=0


" 2 #
Z
Z
n
i X
m (n+1)/2
m qj+1 − qj
dq1 . . . dqn
= lim
·
exp
ε
n→∞
~

2πi ~ ε
2
ε
j=0
)
(
n
i X
V (qk ) .
(4.27)
exp − ε
~
Z
Z
k=0
Der Term in der letzten Zeile kann entwickelt werden,
(
)
n
n
n
( i ε)2 X
i X
i X
exp − ε
V (qk )
= 1− ε
V (qk ) + ~
V (qk ) V (qℓ ) + . . . .
~
~
2!
k=0
k=0
k,ℓ=0
(4.28)
Durch Einsetzen der Entwicklung erhält man eine Entwicklung für den Propagator,
K = K0 + K1 + K2 + . . . ,
wobei
K0
(4.29)


" 2 # 
n
 i X
m qj+1 − qj
m (n+1)/2
exp − ε
dq1 . . . dqn
= lim
n→∞
 ~

2πi ~ ε
2
ε
j=0
r
m
i m (qf − qi )2
= θ(tf − ti )
(4.30)
exp
2πi ~ (tf − ti )
~ 2 (tf − ti )
Z
Z
der freie Propagator ist. Für K1 erhält man
Z
n
X
K1 = lim
ε dqk
n→∞
Z
k=0
dqn . . .
Z
dqk+1
−i
V (qk )
~
Z
Z
dqk−1 . . . dq1
m
2πi ~ ε
(n−k+1)/2
m
2πi ~ ε
k/2
exp

" 2 #
n
X
m qj+1 − qj
exp
ε
~

2
ε

i
~

i
ε
k−1
X
j=0
j=k
"
m
2
qj+1 − qj
ε

2 #

4
FUNKTIONALINTEGRALE
i
= −
~
Ztf
ti
dt
Z
56
dq K0 (qf , tf ; q, t) V (q, t) K0 (q, t; qi , ti ) .
Diesen Term kann man folgendermaßen interpretieren: Das Teilchen propagiert frei von (qi , ti ) bis zum
Raumzeitpunkt (q, t). Dort wirkt dann das Potential
V . Anschließend propagiert das Teilchen weiter frei bis
nach (qf , tf ). Es wird über alle möglichen Wechselwirkungspunkte (q, t) summiert.
Die Terme zweiter Ordnung in V sind in K2 enthalten,
1
K2 (qf , tf ; qi , ti ) = − 2
~
Ztf
dt1
ti
Ztf
dt2
ti
Z∞
dq1
−∞
Z∞
−∞
(4.31)
V
•
K0
(q, t)
K0
•
(qf , tf )
•
(qi , ti )
dq2 ·
K0 (qf , tf ; q2 , t2 ) V (q2 , t2 ) K0 (q2 , t2 ; q1 , t1 ) V (q1 , t1 ) K0 (q1 , t1 ; qi , ti ) .
Die Interpretation verläuft wie bei K1 : Das
Teilchen propagiert frei von (qi , ti ) bis zum Raumzeitpunkt (q1 , t1 ). Dort wirkt dann zum ersten
Mal das Potential V . Nach einer weiteren Propagation nach (q2 , t2 ) wirkt V zum zweiten mal.
Anschließend propagiert das Teilchen weiter frei
bis nach (qf , tf ).
Die weiteren Terme in der Störungsreihe (4.29)
erhält man analog.
(iii)
V
•
(q1 , t1 )
K0
•
(qi , ti )
•
(4.32)
(q2 , t2 )
K0
•
(qf , tf )
K0
V
Erzeugendes Funktional
Äußere Quellen J werden in der Lagrangefunktion durch einen additiven Quellenterm
q(t) · J(t) beschrieben,
L[q] → LJ [q] = L[q] + ~ q(t) · J(t) ,
(4.33)
wobei wir hier eindimensionale Konfigurationsräume betrachten.
Bemerkung: Die Nomenklatur ‘Quellterm’ wird in der klassischen Beschreibung offensichtlich. Betrachte eine Theorie beschrieben durch die Lagrangefunktion L(q, q̇). Man
erhält die Bewegungsgleichungen
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇
∂q
(4.34)
Für die modifizierte Lagrangefunktion LJ (q, q) = L(q, q̇) + J q ergibt sich
d ∂L ∂L
−
= J.
dt ∂ q̇
∂q
D.h. J ist in der Tat ein Quellterm.
(4.35)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
57
J
Zeitlich begrenzte Störung. Es soll der Fall
betrachtet werden, dass die Quelle J nur eine
endliche Zeit von 0 verschieden ist, d.h.
τ <t,
J(τ ) = 0 für
τ > t′ .
t
t′
Wir betrachten eine Theorie, in der es für τ < t
und t > t′ keine Störung gibt, die also für diese
Zeiten frei ist.
Des Weiteren spezialisieren wir uns auf
L =
1
m q̇ 2 − V (q) .
2
Für die Übergangsamplitude |Q, T i → |Q′ , T ′ i können wir schreiben

 T′
Z
Z
i
dt (L + q J)
hQ′ , T ′ |Q, T i = N Dq exp 
~
(qi ,ti )
Z
=
dq ′
(qf ,t)
Z
T
dq hQ′ , T ′ |q ′ , t′ i hq ′ , t′ |q, tiJ hq, t|Q, T i .
(4.36)
Das linke bzw. rechte Matrixelement hQ′ , T ′ |q ′ , t′ i bzw. hq, t|Q, T i entspricht der Amplitude
der Übergangswahrscheinlichkeit für die freie Propagation |q ′ , t′ i → |Q′ , t′ i bzw. |Q, T i →
|q, ti. Durch Entwicklung nach den Energieeigenzuständen |mi des freien Systems, d.h.
J = 0, ergibt sich
i
i
hQ′ , T ′ |q ′ , t′ i = hQ′ | exp − H T ′ exp
H t′ |q ′ i
~
~
X
′
−i Em (T ′ −t′ )/~
=
hQ |mi e
hm|q ′ i
m
X
=
∗
ψm (Q′ ) ψm
(q ′ ) e−i Em (T
′
−t′ )/hbar
(4.37)
m
bzw.
hq, t|Q, T i =
X
∗
ψm (q) ψm
(Q) ei Em (T −t)/~ ,
(4.38)
m
wobei wieder |qi := |q, 0i mit 0 < T gesetzt wurde. Hierbei bezeichnen |mi mit m ∈ N0
die Eigenzustände des Hamiltons zu den Eigenwerten E0 < E1 < . . . .
Das mittlere Matrixelement hq ′ , t′ |q, tiJ entspricht der Wahrscheinlichkeitsamplitude für
den Übergang |q, ti → |q ′ , t′ i unter dem Einfluss des freien Hamiltons zuzüglich einer durch
J beschriebenen Störung. Es ergibt sich mit dem Zeitentwicklungsoperator U (t, t′ )
hq ′ , t′ |q, tiJ
= hq ′ | U (t, t′ ) |qi
X
hq ′ |n′ i hn′ |U (t, t′ )|ni hn|qi
=
n,n′
=
X
n,n′
ψn′ (q ′ ) ψn∗ (q) hn′ |U (t, t′ )|ni ,
wobei die Elemente hn′ |U (t, t′ )|ni noch zu bestimmen sind.
(4.39)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
58
Asymptotische Anfangs- und Endzustände. Jetzt interessieren wir uns (aus Gründen,
die später klar werden) für h0|U (t, t′ )|0i. Dieses Matrixelement kann man mit einem Trick
bestimmen.
Es gibt nun verschiedene Weisen, auf die man die Grundzustands-Amplitude berechnen
kann. Wir wollen zunächst eine Methode diskutieren, die wir später nicht weiter verwenden
werden, die jedoch den Bezug zum Pfadintegral in der statistischen Physik herstellt.
Zunächst wird der Wertebereich für die Zeitvariable t auf die komplexe Ebene C erweitert. Dann betrachten wir mit 0 < δ ≤ π/2 die Grenzfälle
T ′ → ∞ · e−i δ
T → −∞ · e−i δ .
bzw.
Somit wird der reine Phasen-Gewichtsfaktor in (4.37) bzw. (4.38) zum Exponentialfaktor
mit dem folgenden asymptotischen Verhalten:
′
′
ei Em (t −T )
ei Em (T −t)
→
→
e−Em τ
e−Em τ
für τ → ∞ ,
für τ → ∞ .
(4.40)
(4.41)
Da die Unterdrückung mit steigendem Energieeigenwert En wächst, filtert der Grenzübergang gewissermaßen aus den Summen (4.37) bzw. (4.38) asymptotisch den Term mit der
Grundzustandsenergie heraus,
X
′
′
∗
ψm (Q′ ) ψm
(q ′ ) e−i Em (T −t ) → ψ0 (Q′ ) ψ0∗ (q ′ ) e−E0 τ asymptotisch für τ → ∞ ,
m
X
∗
ψm (q) ψm
(Q) ei Em (T −t)
m
→
ψ0 (q) ψ0∗ (Q) e−E0 τ
asymptotisch für τ → ∞ .
Für die gesamte Übergangsamplitude ergibt sich
!
Z
Z
X
′
′
∗
′ −i Em′ (T −t )
hQ′ , T ′ |Q, T i =
dq dq ′
ψm′ (Q′ ) ψm
·
′ (q ) e

·
→
=
Z
·
m′
X
n,n′
X

ψn′ (q ′ ) ψn (q) hn′ |U (t, t′ )|ni ·
∗
ψm (q) ψm
(Q) ei Em (T −t)
Zm
!
dq ′ ψ0 (Q′ ) ψ0∗ (q ′ ) ψ0 (q) ψ0∗ (Q) e−2E0 τ ·

X
ψn′ (q ′ ) ψn (q) hn′ |U (t, t′ )|ni
·
dq

n,n′
ψ0 (Q′ ) ψ0∗ (Q) · h0| U (t, t′ ) |0i e−2E0 τ
(4.42)
asymptotisch für τ → ∞. Es entspricht also bis auf einen Faktor dem Übergangsmatrixelement
h0| U (t, t′ ) |0i = h0|0iJ ,
das den Übergang vom Grundzustand in den Grundzustand unter Einfluss von J beschreibt. Formal können wir also schreiben
h0; T ′ → ∞|0; T → −∞iJ ∼
lim
T ′ →∞·e−iδ
T →−∞·e−iδ
hQ′ , T ′ |Q, T i .
(4.43)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
59
Man beachte, dass auf der linken Seite der Gleichung Energie-Eigenzustände stehen wohingegen es sich bei den Zuständen auf der rechten Seite um Eigenzustände von q handelt.
Diese Amplitude, die offensichtlich von J abhängt, wollen wir als erzeugendes Funktional
bezeichnen,
Z[J] = h0; T ′ → ∞|0; T → −∞iJ .
(4.44)
Es stellt sich heraus, dass man das Herausfiltern des Grundzustands für betragsmäßig
große Zeiten auch auf eine andere Weise bewerkstelligen kann. Anstatt die Zeitachse in die
komplexe Ebene zu drehen, kann man das mit den Energien tun. Dies kann bewerkstelligt
werden, indem man zu dem Potential einen (kleinen) imaginären Beitrag − 2i ε q 2 (ε > 0)
hinzufügt bzw. zur Lagrangefunktion einen Term 2i ε q 2 addiert.
Definition:
Als erzeugendes Funktional wird bezeichnet
Z[J] = N
Z

i
Dq exp 
~
Z∞
dt
−∞

i
L(t) + q(t) J(t) + ε q 2 (t)  .
2
(4.45)
Bemerkungen:
(1) Bei dem Pfadintegral, das im erzeugenden Funktional auftritt, muss man keine festen
Grenzen berücksichtigen; die Projektion auf den Grundzustand für vom Betrag her
große Zeiten wird durch die beschriebenen Methoden erreicht.
(2) Setzen wir δ = π/2, so ergibt sich mit der Ersetzung t = i τ
ZE [J] =
Z

1
Dq exp −
~
Z∞
−∞

dτ (LE (τ ) + JE (τ ) qE (τ )) ,
(4.46)
wobei
LE (τ ) = L(−i τ )
usw.
ist und der Index E“ für euklidisch“ steht. Die Ersetzung führt auf eine bis auf das
”
”
Vorzeichen euklidische Metrik,
xµ xµ = t2 − ~x 2 = − (τ 2 + ~x 2 ) .
(iv)
Korrelationsfunktionen
Wir beschränken uns auf Hamilton-Operatoren der Gestalt
H =
p2
+ V (q) .
2m
Zunächst betrachten die Korrelationsfunktion
hqf , tf | T {q(t2 ) q(t1 )} |qi , ti i ,
(4.47)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
60
wobei q(t) die Konfiguration zur Zeit t abfragt,
q(t) |q, ti = q |q, ti
(4.48)
und als Heisenbergoperator die formale Darstellung
i
i
q(t) = exp
H t q exp − H t
~
~
(4.49)
besitzt.
Die Korrelationsfunktion besitzt die Pfadintegraldarstellung
hqf , tf | T {q(t2 ) q(t1 )} |qi , ti i


Zt
Z
i
dτ p(τ ) q̇(τ ) − H p(τ ), q(τ ) 
=
Dq q(t2 ) q(t1 ) exp 
~
(qi ,ti )
= N
(qf ,t)
Z
(qi ,ti )
Dq q(t2 ) q(t1 ) exp
(qf ,t)
0
 tf
i Z
~
ti


dt L(t) .

(4.50)
Man beachte, dass man es hier mit einem Pfadintegral mit ‘festen Grenzen’ zu tun hat.
Begründung: Für ti < t1 < t2 < tf erhalten wir
hqf , tf | T {q(t2 ) q(t1 )} |qi , ti i
i
i
i
H t2 q exp − H t2
= hqf | exp − H tf T exp
~
~
~
i
i
i
exp
exp
H t1 q exp − H t1
H ti |qi i
~
~
~
i
i
i
= hqf | exp − H (tf − t2 ) q exp − H (t2 − t1 ) q exp − H (t1 − ti ) |qi i .
~
~
~
Durch Wiederholen der Schritte, die auf das Pfadintegral geführt haben, sieht man, dass
die Operatoren q(t1 ) und q(t2 ) in (4.50) lediglich zwei zusätzliche Faktoren q(t1 ) und q(t2 )
liefern (vgl. Übung).
Die Verallgemeinerung liegt auf der Hand,
hqf , tf | T {q(tn ) . . . q(t1 )} |qi , ti i
= N
Z
(qi ,0)
Dq q(tn ) . . . q(t1 ) exp
(qf ,t)
 tf
i Z
~
ti


dt L(t) .

(4.51)
Speziell für Grundzustandsübergänge können wir die festen Grenzen mit den selben Methoden loswerden, die wir im Zusammenhang mit dem erzeugenden Funktional diskutiert
hatten, d.h.
h0; T ′ → ∞| T {q(tn ) . . . q(t1 )} |0; T → ∞i
 tf

Z
i Z
i 2 
= N Dq q(tn ) . . . q(t1 ) exp
dt L(t) + ε q (t) .
~

2
ti
(4.52)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
61
Nun betrachten wir Funktionalableitungen von Z. Die Funktionalableitung nach der
Quelle J zur Zeit t1 liefert
 ∞


Z
Z

i
δZ[J]
dt L(t) + q(t )J(t) + ε q 2 (t)
(4.53)
= i Dq q(t1 ) exp i


δJ(t1 )
2
−∞
bzw.
δ n Z[J]
δJ(t1 ) · · · δJ(tn )

 ∞

Z
 Z
i
.
= in Dq q(t1 ) · · · q(tn ) exp i
dt L(t) + q(t) J(t) + ε q 2 (t)


2
(4.54)
−∞
Die Grundzustands-Korrelationsfunktionen können also durch Funktionalableitung des erzeugenden Funktionals nach der Quelle J generiert werden,
δ n Z[J]
δ i J(t1 ) · · · δ i J(tn ) J=0
= h0; T ′ → ∞| T [q(tn ) · · · q(t1 )] |0; T → −∞i . (4.55)
Im Folgenden wird es darum gehen, diese Begriffe und Methoden auf die relativistische
Quantenfeldtheorie zu übertragen.
4.2
Pfadintegrale mit Skalarfeldern
Ab sofort benutzen wir wieder natürliche Einheiten, d.h. ~ = c = 1.
Wir betrachten skalare Felder φ(x) und eine Lagrangedichte
L (φ, ∂µ φ) =
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − V (φ) ,
2
(4.56)
wobei wir annehmen, dass V (φ) als Potenzreihe in φ darstellbar ist, etwa
V (φ) =
1 2 2
1
m φ + g φ4 .
2
4!
(4.57)
In diesem Fall hat die Hamiltondichte
H = π φ̇ − L ,
mit π =
∂L
∂ φ̇
immer folgende Gestalt:
1 ~ 2
1
∇φ + V (φ) .
H = π2 +
2
2
(4.58)
(4.59)
Auch für andere Lagrangedichten ist H meist quadratisch in π.
Es soll der Übergang von der (Quanten-)Mechanik zu (Quanten-)Feldtheorie, d.h. der
Übergang
Dq → Dφ
4
FUNKTIONALINTEGRALE
62
erfolgen. Dazu zerlegen wir den Minkowskiraum in kleine, vierdimensionale Würfel,
∆4 = δt δx δy δz .
Auf jedem Würfel ist das Feld
φ(xi , yj , zk , tℓ ) = φ(x~n ) = φ~n ,
~n = (i, j, k, ℓ) ,
wobei
x~n = n1 ex + n2 ey + n3 ez + n4 et ,
durch eine Konstante approximierbar.
In diesem diskretisierten Minkowski-Raum werden Ableitungen als Differenzen zwischen
benachbarten Feldern definiert, etwa
φ(~x, tℓ + δt) − φ(~x, t)
∂φ
=
.
∂t
δt
(4.60)
In die Lagrangedichte setzen wir dann die gegitterten Felder und deren Ableitungen im
Sinne von (4.60) ein,
L (φ, ∂µ φ) = L (φ~n , ∂µ φ~n ) .
Das Wirkungsintegral wird dann zur Summe,
Z
S[φ] =
d4 x L (φ, ∂µ φ)
X
=
δx δy δz δt L (φ~n , ∂µ φ~n ) .
| {z }
~
n
(4.61)
=∆4
Das Pfadintegral erhält man dann durch den Kontinuumslimes
(
)
Z
YZ
X
4
Dφ exp(i S) = lim
dφ~n exp i
∆ L (φ~n , ∂µ φ~n ) .
4
∆ →0
4.3
~
n
(4.62)
~
n
Erzeugendes Funktional
Wir setzen nun als erzeugendes Funktional
Z
Z
ε
Z[J] = N Dφ exp i d4 x L φ(x), ∂µ φ(x) + J(x) φ(x) + i φ2 (x) , (4.63)
2
wobei J hier die Quelldichte ist.
Z[J] ist proportional der Übergangsamplitude vom Grundzustand zur Zeit t → −∞ in
den Grundzustand t → ∞ in Gegenwart einer Quelldichte J(x),
h−| U (+∞, −∞) |−i ∼ Z[J] .
4
FUNKTIONALINTEGRALE
Beispiel:
63
Für das freie Skalarfeld haben wir die Lagrangedichte
1
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 .
2
2
Verwenden wir für Felder, die im Unendlichen verschwinden,
Z
Z
Z
4
µ
4
µ
d x (∂ φ) (∂µ φ) =
d x ∂µ (φ ∂ φ) − d4 x φ φ ,
{z
}
|
L0 =
=0
so ergibt sich
Z0 [J] = N
Z
Z
1
Dφ exp −i d4 x
φ ( + m2 − i ε) φ − J φ
.
2
(4.64)
Zur expliziten Berechnung solcher Terme benötigt man Anhang C.
Zunächst wird die Formel (C.11),
Z
1
dx
dx
1
√ 1 . . . √ N e− 2 (x,Ax)−(b,x) = exp (b, A−1 b) (det A)−1/2 ,
2
2π
2π
verallgemeinert durch
Z
Z
1
2
4
Z0 [J] = N Dφ exp −i d x
φ ( + m − i ε) φ − J φ
2
Z
Z
i
4
4
d x d y J(x) ∆F (x − y) J(y) ·
= N exp −
2
−1/2
· det i ( + m2 − i ε)
.
(4.65)
Hierbei ist gemäß (C.16)
Z
Z
−1/2
1
2
2
4
,(4.66)
φ ( + m − i ε) φ
det i ( + m − i ε)
=
Dφ exp −i d x
2
und ∆F (x − y) ist das negative Inverse“ des Operators + m2 − i ε,
”
∆F (x − y) = − ( + m2 − i ε)−1 δ (4) (x − y) ,
oder
( + m2 − i ε) ∆F (x − y) = − δ (4) (x − y) .
Dabei handelt es sich um den Feynman-Popagators, den wir bereits in (3.60) explizit
berechnet haben,
Z
e−i k·(x−y)
d4 k
.
(4.67)
∆F (x − y) =
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
Der wesentliche Aspekt von Formel (4.65) ist die Faktorisierung in einen J-abhängigen Teil,
den man explizit angeben kann, und einen J-unabhängigen Teil, den wir in die Normierung
stecken können, d.h.
Z
Z
i
Z0 [J] = Z0 [0] · exp −
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y) .
(4.68)
2
Im Folgenden betrachten wir nur noch das normierte erzeugende Funktional
4
FUNKTIONALINTEGRALE
64
Z
Z
i
4
4
Z0 [J] = exp −
d x d y J(x) ∆F (x − y) J(y) ,
2
(4.69)
d.h. Z0 [0] = 1. Das ist ein Ausdruck, den man berechnen kann, ohne auf Gitter zurückgreifen zu müssen.
4.4
Korrelationsfunktionen des freien Skalarfeldes
Betrachte die zweite Funktionalableitung des erzeugenden Funktionals Z0 an der Stelle
J = 0,
δ
δ
=
(4.70)
Z0 [J]
δJ(x1 ) δJ(x2 )
J=0
Z
Z
δ
δ
i
=
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y) exp −
δJ(x1 ) δJ(x2 )
2
J=0
Z
Z
δ
i
i
=
−
d4 y ∆F (x2 − y) J(y) −
d4 x J(x) ∆F (x − x2 ) Z0 [J]
δJ(x1 )
2
2
J=0
= −i ∆F (x1 − x2 ) Z0 [J] +
2
Z
Z
i
i
4
4
d y ∆F (x2 − y) J(y) −
d x J(x) ∆F (x − x2 ) Z0 [J]
−
2
2
J=0
= −i ∆F (x1 − x2 ) .
(4.71)
Somit lässt sich die Korrelationsfunktion aus dem erzeugenden Funktional durch Funktionalableitung gewinnen,
δ
δ
(4.71)
Z0 [J]
=
i ∆F (x1 − x2 )
δ i J(x1 ) δ i J(x2 )
J=0
=
h−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−i .
(4.72)
Dieses Ergebnis ist in Übereinstimmung mit den Überlegungen, die auf den FeynmanPropagator geführt haben (vgl. Gleichung (3.53)).
Bemerkung: Man beachte, dass der ‘i ε Term’ aus zwei unterschiedliche Überlegungen
resultiert. Zum Einen legt dieser Term die Polstruktur des Feynman-Propagators (vgl.
S. 42) fest, zum Anderen wurde in der QM Diskussion motiviert, dass der Term für vom
Betrag große Zeiten auf den Grundzustand projiziert (siehe S. 59). Man kann sich auch
überlegen, dass der Term die Konvergenz der Gauß’schen Integrale sicherstellt (vgl. Abbildung 2).
n-Punkt-Funktionen.
Man nennt
τ (x1 , x2 ) = h−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−i
oft Zweipunkt-Funktion und entsprechend
τ (x1 , . . . xn ) = h−| T φ(x1 ) . . . φ(xn ) |−i
n-Punkt-Funktion.
4
FUNKTIONALINTEGRALE
65
Analog zu (4.71) zeigt man
δn
Z0 [J]
τ (x1 , . . . xn ) = (−i)
.
δJ(x1 ) · · · δJ(xn )
J=0
n
(4.73)
Bemerkung: Für ungerade n verschwinden die n-Punkt-Funktionen. Dies sieht man am
leichtesten dadurch ein, dass man die Feldoperatoren φ durch Erzeuger bzw. Vernichter
a† bzw. a ausdrückt. Eine ungerade Anzahl an Feldoperatoren im Erwartungswert führt
auf eine ungerade Anzahl an Erzeugern und Vernichtern, und der Vakuumerwartungswert
verschwindet. In Pfadintegral-Formalismus sieht man, dass eine ungerade Anzahl an Funktionalableitungen nach J immer auf Ausdrücke proportional zu [. . . ] in (4.71) führt, also
Null ergibt für J → 0.
Fouriertransformierte von J . Führen wir durch
Z
d4 k −i k·x b
e
J(k)
J(x) =
(2π)4
(4.74)
die Fouriertransformierte Jb der Quelle ein, so ergibt sich
Z
Z
i
−
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y)
2
Z
Z
Z 4
d p1 d4 p2 d4 k
i
4
d
x
d4 y
= −
2
(2π)4 (2π)4 (2π)4
b 1 ) e−i (p1 +k)·x e−i (p2 −k)·y J(p
b 2)
J(p
= −
i
2
Z
k 2 − m2 + i ε
b
b
d k J(k) J(−k)
.
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
4
(4.75)
Durch Entwickeln der Exponentialfunktion in Z0 [J] (siehe Gleichung (4.69)) ergibt sich
Z
b J(−k)
b
d4 k J(k)
i
Z0 [J] = 1 −
4
2
2
(2π) k − m2 + i ε
"
#2
Z
b J(−k)
b
1
i
d4 k J(k)
+
−
+ ... .
(4.76)
2!
2
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
Feynman-Regeln.
Die oben gewonnen Formeln können graphisch dargestellt werden.
Prozess
Graph
Term in der Entwicklung (4.76)
i
k 2 − m2 + i ε
J
i J(k)
freie Propagation
Quelle
Propagation zwischen
zwei Quellen
1
2
J
J
−i
Z
b J(−k)
b
d4 k J(k)
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
4
FUNKTIONALINTEGRALE
66
Damit können wir das erzeugende Funktional bzw. die Vakuum-Amplitude graphisch darstellen,
Z0 [J]
= h−|−iJ
=
1
1+
2
2
1 1
+
2! 2
3
1 1
+
3! 2
4.5
(i)
+ ... .
(4.77)
Skalarfelder mit Wechselwirkung
Strategie
Es geht darum, Korrelationsfunktionen zur Lagrangedichte
L =
1
1
(∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2 + Lint (φ)
2
2
(4.78)
zu erzeugen, wobei wir immer annehmen, dass sich Lint als Potenzreihe in φ schreiben
lässt.
Das erzeugende Funktional für eine derartige Skalarfeld mit Wechselwirkung lautet
Z
Z
4
Z[J] = N Dφ exp i d x [L0 + Lint + J φ] ,
(4.79)
wobei der Faktor N die Normierung Z[0] = 1 liefert,
Z
Z
−1
4
N
=
Dφ exp i d x (L0 + Lint ) .
Außerdem enthält
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − (m2 + i ε) φ2
L0 =
2
(4.80)
(4.81)
bereits den ε-Term, der aus den Anfangs- bzw. Endzuständen den Grundzustand herausfiltert.
In (4.79) kann man die Exponentialfunktion in ein Produkt umformen,
Z
Z
Z
(4.82)
Z[J] = N Dφ exp i d4 y Lint · exp i d4 x [L0 + J φ] .
Wenn der erste Faktor nicht unter dem Pfadintegral stünde, hätte man genau das erzeugende Funktional für freie Felder. Mit einem Trick gelingt es, den ersten Faktor vor das
Pfadintegral zu ziehen: Mit der Formel
Z
Z
δ
4
Dφ exp i d x [L0 + J(x) φ(x)]
i δJ(y)
Z
Z
4
=
Dφ φ(y) exp i d x [L0 + J(x) φ(x)]
(4.83)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
67
δ
sieht man, dass man in (der Potenzreihe) Lint anstatt φ(y) die Funktionalableitung iδJ(y)
einsetzen und vor das Pfadintegral ziehen kann11
Z
δ
·
Z[J] = N exp i d4 y Lint
i δJ(y)
Z
Z
· Dφ exp i d4 x [L0 + J(x) φ(x)] .
(4.84)
|
{z
}
∼Z0 [J]
Das verbleiben Pfadintegral entspricht gemäß (4.69) bis auf den Normierungsfaktor dem
erzeugenden Funktional für das freie Skalarfeld. Es ist also mit einem neuen Normierungsfaktor, den wir der Einfachheit halber wieder N nennen. Wir erhalten also
Z
Z[J] = N exp i d4 y Lint
mit
(ii)
δ
i δJ(y)
Z0 [J]
(4.85)
Z
Z
i
4
4 ′
′
′
Z0 [J] = exp −
d x d x J(x) ∆F (x − x ) J(x ) .
2
(4.86)
Erzeugendes Funktional der φ4 -Theorie
Ist der Wechselwirkungsanteil der Lagrangedichte gegeben durch
Lint = −
g 4
φ ,
4!
(4.87)
spricht man von der φ4 -Theorie. Das erzeugende Funktional ist dann
)
( Z
g δ 4
4
Z0 [J] .
Z[J] = N exp i d y −
4!
i δJ(y)
(4.88)
Im Folgenden wollen wir eine Störungsentwicklung, d.h. eine Potenzreihe von Z[J] in der
Kopplungsstärke g, finden. Dazu berechnen wir
Z
δ
4
Z0 [J] = −
d x ∆F (y − x) J(x) · Z0 [J] ,
i δJ(y)
(
2
Z
2 )
δ
4
Z0 [J] =
i ∆F (0) +
d x ∆F (y − x) J(x)
Z0 [J]
i δJ(y)
3
Z
δ
Z0 [J] =
−3i ∆F (0)
d4 x ∆F (y − x) J(x)
i δJ(y)
Z
)
3
−
11 Zur
Erinnerung:
Z
d4 y Lint =
Z
d4 y Lint (φ(y)) .
d4 x ∆F (y − x) J(x)
Z0 [J] ,
4
FUNKTIONALINTEGRALE
δ
i δJ(y)
4
Z0 [J]
=
(
68
−3 [∆F (0)]2 + 6i ∆F (0)
+
Z
Z
2
d4 x ∆F (y − x) J(x)
4 )
d x ∆F (y − x) J(x)
Z0 [J] .
4
Feynman-Diagramme im Ortsraum. Eine Alternative zur Darstellung dieser Formeln bieten Feynman-Diagramme im Ortsraum. Man ersetzt die obigen analytischen Ausdrücke durch Diagramme,
y ⇐⇒ ∆F (x − y) ,
x
⇐⇒ ∆F (0) ,
⇐⇒ Quelle ,
−
ig
4!
⇐⇒ Wechselwirkung .
Mit diesen Symbolen können wir die vierte Funktionalableitung schreiben als


4


δ
· Z0 [J] .
Z0 [J] = g −3
g
+ 6i
+


i δJ(y)
(4.89)
Nun betrachte noch den Normierungsfaktor N , gegeben durch
Z
δ
Z0 [J]
.
N −1 = exp i d4 y Lint
i δJ(y)
J=0
(4.90)
Mit dieser Entwicklung erhalten wir für N in erster Ordnung in g
Z
i
h
g
2
N −1 =
1−i
,
d4 y −3 (∆F (0))
4!
(4.92)
Wir entwickeln sowohl in (4.88) als auch in (4.90) die Exponentialfunktion bis zur ersten
Ordnung in g,
Z
4
Z
δ
g
δ
4
4
exp i d y Lint
= 1−i
+ O(g 2 ) .
(4.91)
d y
i δJ(y)
4!
i δJ(y)
da die Terme mit J für J = 0 verschwinden.
Insgesamt erhält man in erster Ordnung in g
Z[J] =



R
g
d4 y −3
1 − i 4!

1−i
+ 6i
g
4!
Z
d4 y −3
+


 · Z0 [J]

.
(4.93)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
69
Insbesondere fällt der Doppel-Loop-Term
Z
Z
4
2
d y [∆F (0)] =
d4 y
in erster Ordnung in g heraus.
Bemerkung: Diese Aussage gilt sogar allgemeiner. Es lässt sich zeigen, dass in allen Ordnungen Störungstheorie solche Vakuum-Diagramme durch die Normierung gekürzt werden.
Das endgültige Ergebnis in erster Ordnung in g lautet



Z


g
 · Z0 [J] + O(g 2 ) .
1−i
Z[J] =
(4.94)
+
d4 y 6 i


4!
Die graphische Entwicklung von Z0 hatten wir uns in (4.77) erarbeitet.
(iii)
Zweipunkt-Funktion der φ4 -Theorie
Es geht darum,
τ (x1 , x2 )
= h−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−i
δ 2 Z[J]
= −
δJ(x1 ) δJ(x2 ) J=0
bis zur ersten Ordnung in g zu entwickeln und zu diskutieren.
Jetzt zeigt sich der Vorteil der diagrammatischen Darstellung: Bei der zweifachen Funktionalableitung der Klammer {. . . } in (4.94) überleben“ für J = 0 nur die Terme, in
”
denen J genau zweimal vorkommt. Des Weiteren kann die zweifache Funktionalableitung
auf den zweiten Faktor Z0 wirken; gemischte Terme treten nicht auf, da die erste Funktionalableitung von Z0 für J = 0 verschwindet. Es ergibt sich also
Z
g
τ (x1 , x2 ) = i ∆F (x1 − x2 ) − ∆F (0) d4 y ∆F (y − x1 ) ∆F (y − x2 ) + O(g 2 )
2
Z
g
d4 y
+O(g 2 ) .
(4.95)
−
= i
x1
x2 2
x1 y x2
|
{z
}
=:
x1
x2
Unter Benutzung von
Z
d4 k
e−i k·(x−y)
∆F (x − y) =
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
erhalten wir für den zweiten Term der Entwicklung
Z
g
− ∆F (0) d4 y ∆F (x1 − y) ∆F (y − x2 )
2
Z 4
Z
Z 4
d p2
e−i p1 ·(x1 −y) e−i p2 ·(y−x2 )
g
d p1
4
d
y
= − ∆F (0)
2
(2π)4
(2π)4
p21 − m2 + i ε p22 − m2 + i ε
4
FUNKTIONALINTEGRALE
g
= − ∆F (0)
2
Z
70
e−i p·(x1 −x2 )
d4 p
.
(2π)4 [p2 − m2 + i ε]2
Damit können wir τ auch anders darstellen,
Z
d4 p e−i p·(x1 −x2 )
g
∆F (0)
τ (x1 , x2 ) = i
1+i
+ O(g 2 ) .
(2π)4 p2 − m2 + i ε
2 p 2 − m2 + i ε
(4.96)
Der Term in geschweiften Klammern {. . . } ist der erste Term der Entwicklung von
−1
∆F (0)
g
,
1−i
2 p 2 − m2 + i ε
wobei die Entwicklung der geometrischen Reihe entspricht. Schematisch erhalten wir für
die Zweipunktfunktion
τ (x1 , x2 ) =
x1
x2
+
x1
x2
+
x1
x2
+ ... ,
wobei die Vorfaktoren i, g etc. in die Diagramme gesteckt seien.
In erster Ordnung in g kann man also ebensogut schreiben
Z
d4 p
e−i p·(x1 −x2 )
τ (x1 , x2 ) = i
4
2
(2π) p − m2 − i g∆F (0) + i ε
Z
d4 p e−i p·(x1 −x2 )
= i
(2π)4 p2 − m2ren + i ε
(4.97)
mit der renormierten Masse
m2ren = m2 +
i
i
g ∆F (0) = m2 + g
2
2
.
Das Teilchen propagiert also so, als hätte es die Masse mren , d.h. mren ist die physikalische
Masse, und das in der Lagrangedichte auftretende m ist nicht direkt messbar. Die Schleife
trägt zur Selbstenergie des Teilchens in der Weise bei, dass es seine Masse renormiert.
An dieser Stelle wird auf diese Problematik nicht weiter eingegangen. Es sei auf Abschnitt 9 verwiesen, wo die Renormierung systematisch beschrieben wird.
Vierpunkt-Funktion der φ4 -Theorie
(iv)
Es soll
τ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = h−| T (φ(x1 ) φ(x2 ) φ(x3 ) φ(x4 )) |−i
δ 4 Z[J]
=
δJ(x1 ) δJ(x2 ) δJ(x3 ) δJ(x4 ) J=0
(4.98)
bis zur ersten Ordnung in g berechnet werden.
Ohne Wechselwirkung ergibt sich für die Vierpunktfunktion
h
τ (0) (x1 , . . . x4 ) = − ∆F (x1 − x2 ) ∆F (x3 − x4 ) + ∆F (x1 − x3 ) ∆F (x2 − x4 )
i
+ ∆F (x1 − x4 ) ∆F (x2 − x3 ) ,
(4.99)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
oder diagrammatisch
x
x4 x3
3


+

x1
x2
71
x4
x3
+
x2
x1
x1
x4 
"

 = 3

#
.
(4.100)
x2
Dabei wurden die drei topologisch äquivalenten Diagramme in einem zusammengefasst.
Mit Wechselwirkung ergibt sich mit der Konvention, topologisch äquivalente Diagramme
zusammenzufassen
"
#
#
"
ig
+ 24
72
−
τ (x1 , . . . x4 ) = − 3
4!
"
#
"
#
"
#
= −3
− 3i g
− ig
.
(4.101)
Das Vakuum-Diagramm
fällt durch die Normierung heraus; es ist physikalisch irrelevant, da es keine beobachtbaren
Effekte liefert.
4.6
Erzeugendes Funktional für zusammenhängende Diagramme
Zusammenhängende Diagramme. Diagramme, die im topologischen Sinne zusammenhängen, heißen zusammenhängend. Betrachte z.B.
zusammenhängend
nicht zusammenhängend
Betrachte das Funktional W [J], definiert durch
Z[J] = ei W [J] .
Behauptung:
(4.102)
Das Funktional
W [J] = − i ln Z[J]
erzeugt nur zusammenhängende Anteile von n-Punkt-Funktionen.
Anwendung.
Die zusammenhängenden n-Punkt-Funktionen berechnen sich über
Φ(x1 , . . . xn ) = (−i)n
δ n W [J]
.
δJ(x1 ) · · · δJ(xn )
(4.103)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
72
Beispiel:
(vgl. Übung) Für n = 4 ergibt sich
δ2 Z
δ2Z
1
δ4W
= i
+ Permutationen
δJ(x1 ) · · · δJ(x4 )
Z 2 δJ(x1 ) δJ(x2 ) δJ(x3 ) δJ(x4 )
1
δ4Z
−
Z δJ(x1 ) · · · δJ(x4 ) J=0
= i {τ (x1 , x2 ) τ (x3 , x4 ) + Permutationen
− τ (x1 , x2 , x3 , x4 )} .
(4.104)
Dabei verschwinden die Terme mit ungeraden Ableitungen, da diese für J = 0 Vakuumerwartungswerten eines Produkts von einer ungeraden Anzahl an Feldoperatoren entsprechen.
In erster Ordnung in g haben wir gemäß (4.95)
x2
−
τ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = − 3
"
τ (x1 , x2 ) = i
x1
1
2 x1
x2
und gemäß (4.101)
#
− 3i g
"
#
− ig
"
#
.
Durch Einsetzen erhalten wir dann in erster Ordnung in g für Φ,
i Φ(x1 , . . . x4 )
= τ (x1 , . . . x4 ) − [τ (x1 , x2 ) τ (x3 , x4 ) + Permutationen]
=
ig
.
(4.105)
Mit τ (x1 , x2 ) = i Φ(x1 , x2 ) kann man diese Relation umkehren,
X
τ (x1 , . . . x4 ) = i Φ(x1 , . . . x4 ) −
Φ(xi1 , xi2 ) Φ(xi3 , xi4 ) .
Permutationen(i)
Graphisch stellt sich das folgendermaßen dar:
=
+
zusammenhängend
Dabei ist in erster Ordnung in g
=
+
.
(4.106)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
4.7
73
Erzeugendes Funktional für OPI-Diagramme
Reduzible und OPI-Diagramme. Betrachte nun Diagramme, bei denen die äußeren
Beinchen abgetrennt - man sagt auch amputiert - wurden. Ein solches Diagramm heißt reduzibel , falls es durch Durchschneiden einer inneren Linie in ein nicht zusammenhängendes
Diagramm, d.h. in zwei unverbundene Teildiagramme, verwandelt werden kann. Ansonsten
spricht man von OPI-Diagrammen.12 Beispiele hierfür sind:
x1
x2
x1
OPI
x2
reduzibel
Genau wie die zusammenhängenden lassen sich auch die OPI-Greensfunktionen aus einem
erzeugenden Funktional generieren. Zur Definition dieses Funktionals benötigt man einige
Vorbetrachtungen.
Klassisches Feld.
ϕc (x) :=
Man definiert als klassisches Feld
δW [J]
.
δJ(x)
(4.107)
ϕc (x) ist nach Konstruktion ein Funktional von J.
Wegen
δZ[J]
= i h−| ϕ(x) |−iJ
δJ(x)
ist
ϕc (x) =
h−| ϕ(x) |−iJ
,
h−|−iJ
(4.108)
was den Terminus klassisch“ rechtfertigt.
”
Effektive Wirkung.
Die Legendretransformierte von W bzgl. des klassischen Feldes ϕc ,
Z
Γ[ϕc ] := W [J] − d4 x J(x) ϕc (x)
(4.109)
wird als effektive Wirkung bezeichnet.
Vertex-Funktion.
Als Vertex-Funktion definiert man
Γn (x1 , . . . xn ) := (−i)n
δ n Γ[ϕc ]
.
δϕc (x1 ) · · · δϕc (xn )
(4.110)
Diese entsprechen bis auf i-Faktoren den OPI-Diagrammen, genauer:
Bedeutung der Vergtex-Funktionen.
tional für die OPI-Greensfunktionen.
12 OPI
steht für One Particle Irreducible“.
”
Die effektive Wirkung ist das erzeugende Funk-
4
FUNKTIONALINTEGRALE
4.8
(i)
74
Funktionalmethoden für Dirac-Felder
Motivation von a-Zahlen
In Funktionalintegralen wurden bisher gewöhnliche“ Felder, d.h. Felder, die Werte im Cn
”
annehmen und keine Operatoren sind, verwendet. Für Bosonen kann man die Anordnung
der Felder vertauschen, d.h. für ~x 6= ~y hat man
Z
h−| φ(x) φ(y) |−i ∼
Dφ φ(x) φ(y) ei S[φ]
Z
=
Dφ φ(y) φ(x) ei S[φ] h−| φ(y) φ(x) |−i .
(4.111)
Dies ist in Übereinstimmung damit, dass der Kommutator für Skalarfelder verschwindet
(für ~x 6= ~y ).
Bei der kanonischen Quantisierung der Feldtheorie werden die Felder zu Operatoren,
und man erhält Antikommutatorrelationen für die Feldoperatoren der Fermionen-Felder.
Will man den Funktionalintegralformalismus auf Fermionen-Felder übertragen, muss man
auch für die “klassischen“ Felder Antikommutatorrelationen fordern,
{Ψ(x), Ψ(y)} = 0 .
In Anhang D wird ein Formalismus, mit dem man solche antikommutierenden Felder zu
behandeln hat, vorgestellt. Dabei werden die Feldvariablen Ψ(x) als Elemente einer unendlichdimensionalen Grassmann-Algebra aufgefasst.
(ii)
Erzeugendes Funktional für freie Dirac-Felder
Erzeugendes Funktional. Die Lagrangedichte für freie Dirac-Felder ist
L0 = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ .
(4.112)
Nun definiert man analog zu (4.63) das erzeugende Funktional für freie Dirac-Felder,
Z
Z0 [η, η] = N DΨ DΨ
Z
4
µ
.
exp i d x Ψ(x) (i γ ∂µ − m) Ψ(x) + η(x) Ψ(x) + Ψ(x) η(x)
(4.113)
Hierbei sind die Felder η, η, Ψ und Ψ Spinoren mit Einträgen aus den a-Zahlen (siehe
Anhang D).
Als Operator O in der Formel (D.32) ist der diagonale Operator (i γ · ∂x′ − m) δ(x′ − ·)
einzusetzen. Damit verschwindet eines der Integrale im Exponenten und der Operator wird
zu i γ · ∂x − m.
Die Quellen η(x) und η̄(x) für die Dirac-Felder sind ebenfalls unabhängige GrassmannSpinorfelder. Der Normierungsfaktor legt Z0 [0, 0] auf 1 fest und lautet daher
Z
Z
4
µ
−1
(4.114)
N
=
DΨ DΨ exp i d x Ψ(x) (i γ ∂µ − m) Ψ(x) .
Unter Verwendung von (D.32) erhält man für das erzeugende Funktional des freien DiracFeldes die Form:
4
FUNKTIONALINTEGRALE
Z0 [η, η] = exp −i
Z
4
d x
75
Z
d x η(x) SF (x − x ) η(x ) .
4 ′
′
′
(4.115)
SF ist der Feynman-Propagator des Dirac-Feldes oder Dirac-Propagator, hier definiert
(bis auf Retardierungseigenschaften) als das Inverse des Differentialoperators i γ µ ∂µ − m.
Er besitzt die Darstellung
SF (x) = (i γ ν ∂ν + m) ∆F (x) ,
(4.116)
wobei ∆F der Feynman-Propagator des Skalarfeldes ist, denn es gilt
SF−1 SF = (i γ ν ∂ν − m) (i γ µ ∂µ + m) ∆F (x) = (− − m2 ) ∆F (x) = δ 4 (x) .
(iii)
n-Punkt-Funktionen des freien Dirac-Feldes
Die n-Punkt-Funktionen, also die Greensfunktionen der Theorie, gewinnt man wie beiden
skalaren Feldern aus Funktionalableitungen des erzeugenden Funktionals. Es gilt
(2n)
G0 (y1 , · · · , yn ; x1 , · · · , xn ) = − T Ψ(y1 ) · · · Ψ(yn ) Ψ(x1 ) · · · Ψ(xn ) −
δ 2n Z0 [η, η]
1
.
(4.117)
=
2n
i
δη(xn ) · · · δη(x1 ) δη(y1 ) · · · δη(yn ) η=η=0
Der Index 0“ kennzeichnet die “freie“ Greensfunktion.
”
(iv)
2-Punkt-Funktion des freien Dirac-Feldes
Man erhält wie bei den freien skalaren Feldern für die 2-Punkt-Funktionen den freien
Propagator
δ2
1
(2)
Z0 [η, η]|η=η=0
G0 (x1 ; y1 ) =
2
i
δη(x1 ) δη(y1 )
Z
Z
δ2
1
4
4 ′
′
′
exp
−i
d
x
d
x
=
η(x)
S
(x
−
x
)
η(x
)
F
2
i
δη(x1 ) δη(y1 )
η=η=0
Z
1
δ
=
(−i)
d4 x′ SF (y1 − x′ ) η(x′ ) Z0 η=η=0
i2
δη(x1 )
= i SF (y1 − x1 ) .
(4.118)
Gegenüber dem Propagator für ein reelles Skalarfeld besteht hier der Unterschied, dass
eine Richtung ausgezeichnet ist. Die Punkte x1 und y1 sind nicht gleichberechtigt, da x1
dem Erzeugen und y1 dem Vernichten des Teilchens zugeordnet ist. Der Propagator wird
durch eine gerichtete Linie dargestellt.
(2)
G0 (y1 ; x1 ) = y1
x1 .
Man beachte, dass SF ebenso Antiteilchen propagiert, allerdings entgegen der ausgezeichneten Richtung.
4
FUNKTIONALINTEGRALE
(v)
76
4-Punkt-Funktion des freien Dirac-Feldes
Nach (4.117) lautet die 4-Punkt-Funktion
δ 4 Z0 [η, η]
1
(4)
G0 (y1 , y2 ; x1 , x2 ) =
4
i
δη(x2 ) δη(x1 ) δη(y1 ) δη(y2 ) η=η=0


Z
δ3
 d4 x SF (y2 − x) η(x) Z0 = (−i)
η=η=0
δη(x2 ) δη(x1 ) δη(y1 )


Z
2
δ
 d4 x SF (y2 − x) η(x)
= (−i)2
δη(x2 ) δη(x1 )


Z
·  d4 x′ SF (y1 − x′ ) η(x′ ) Z0 η=η=0
=
=



Z
δ
SF (y2 − x1 )  d4 x′ SF (y1 − x′ ) η(x′ )
(−i)2
δη(x2 )



Z
−  d4 x SF (y2 − x) η(x) SF (y1 − x1 ) + · · ·  Z0 η=η=0
i2 [SF (y1 − x1 ) SF (y2 − x2 ) − SF (y2 − x1 ) SF (y1 − x2 )] .
(4.119)
Graphisch lautet das Ergebnis
y2
y2
(4)
G0 (y1 , y2 ; x1 , x2 )
x2
x2
−
=
y1
.
x1
y1
x1
Da beim Feynman-Propagator des Dirac-Feldes eine Richtung ausgezeichnet ist, gibt es nur
zwei Möglichkeiten, die Punkte x1 , x2 und y1 , y2 zu verbinden. Die beiden Graphen haben
als Folge der Differentiationsregeln für Funktionalableitungen nach Fermionen-Feldern als
relatives Vorzeichen ein “-“.
Hier zeigen sich zwei Unterschiede zur freien Vierpunktfunktion des reellen Skalarfeldes:
(1) Die Propagatoren sind gerichtet, die Punkte xi und yi sind also nicht gleichberechtigt. Den xi wird das Erzeugen und den yi das Vernichten von Teilchen zugeordnet.
Physikalische Konsequenz dessen ist, dass die Dirac-Teilchen nicht ihre eigenen Antiteilchen sind.
(2) Der Austauschterm hat ein negatives Vorzeichen, welches den Fermi-Charakter des
Dirac-Feldes zum Ausdruck bringt.
(vi)
Dirac-Theorie mit Wechselwirkung
Betrachtet man eine Lagrangedichte der Form
L = L0 + Lint
(4.120)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
77
mit dem Wechselwirkungsanteil Lint (Ψ, Ψ, . . . ) der Lagrangedichte, so kann man Lint , wie
bei der Theorie mit Skalarfeldern, aus dem Pfadintegral herausziehen,
Z
δ
δ
4
(4.121)
Z[η, η, . . . ] = exp i d x Lint
,
,...
Z0 [η, η, · · · ] .
i δη(x) i δη(x)
Wählt man Lint = g Ψ Ψ φ, wobei φ(x) ein Skalarfeld ist, erhält man die Theorie der
Yukawa-Kopplung. Diese Art von Kopplung ist wesentlich zum Verständnis des Ursprungs
der Fermion-Massen wichtig.
Mit Lint = g Ψ γµ Ψ Aµ beschreibt man die Kopplung an ein Spin-1-Vektorfeld Aµ , wie
sie in der QED auftritt. Die n-Punktfunktionen der Theorie mit Wechselwirkung erhält
man analog zu (4.117) aus dem erzeugenden Funktional (4.121). Dies wird nun im Folgenden diskutiert.
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
5
5.1
78
Quanten-Elektrodynamik (QED)
Die QED als abelsche Eichtheorie
Betrachte ein Fermionfeld Ψ(x). Für dieses fordert man, dass die Physik invariant ist unter
der lokalen Eichtransformation
Ψ(x) → U (x) Ψ(x) ,
(5.1)
wobei U ∈ U(1) ist. U besitzt somit die Darstellung
U (x) = ei α(x)
(5.2)
mit einer reellwertigen Funktion α. Man spricht von einer abelschen Eichtheorie, da die den
Transformationen zugrundeliegende Gruppe U(1) abelsch ist, d.h. die Gruppenelemente
vertauschen.
Die freie Lagrangedichte
L0 = Ψ (i γ µ ∂µ − m) Ψ
(5.3)
ist nicht invariant unter der Eichtransformation (5.1).
Der Massenterm bereitet keine Probleme, allerdings der Ableitungsterm. Das kommt
daher, dass in der Richtungsableitung
Ψ(x + ε n) − Ψ(x)
,
εց0
ε
nµ ∂µ Ψ(x) = lim
(5.4)
wo n die Richtung der Ableitung ist, die zwei die Felder Ψ(x) und Ψ(x + ε n) verglichen
werden. Da α ortsabhängig ist, haben diese jedoch unterschiedliches Transformationsverhalten unter (5.1),
Ψ(x)
Ψ(x + ε n)
→ ei α(x) Ψ(x) ,
→ ei α(x+εn) Ψ(x + ε n) .
Um Felder am Punkt x und y miteinander vergleichen zu können, muss man es von x
nach y ‘parallel-transportieren’. Dazu führt man eine Funktion U (y, x) ein mit durch
U (y, x) → ei α(y) U (y, x) e−i α(x)
(5.5)
U (y, y) = 1 .
(5.6)
und
Es lässt sich zeigen, dass man
U (y, x) = ei φ(y,x)
(5.7)
mit rein reellem φ schreiben kann.
Damit hat man erreicht, dass
Ψ(y) und U (y, x) Ψ(x)
das gleiche Transformationsverhalten haben. Dies führt auf den Begriff der eichkovarianten
Ableitung
nµ Dµ Ψ(x) = lim
εց0
Ψ(x + ε n) − U (x + ε n, x) Ψ(x)
.
ε
(5.8)
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
79
Durch die Entwicklung von U
U (x + ε n, x)
=
1 + (∂µ U )(x, x) ε nµ + O(ε2 )
=: 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 ) ,
(5.9)
erhält man das Feld Aµ . Insbesondere erhält man durch Einsetzen von
Ψ(x + ε n) = Ψ(x) + ε nµ ∂µ Ψ(x) + O(ε2 )
in (5.8) die bekannte Form der eichkovarianten Ableitung,
Dµ Ψ(x) = ∂µ Ψ(x) − i g Aµ (x) Ψ(x) .
(5.10)
Wir werden später g = −e setzen; e bezeichnet die elektromagnetisch Kopplung in einer
Konvention, in der das Elektron negativ geladen ist.
Aus
U (x + ε n, x)
=
→
=
=
=
1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 )
ei α(x+ε n) 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 ) e−i α(x)
ei (α(x+εn)−α(x)) 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 )
1 + i ε nµ ∂µ α(x) + O(ε2 ) · 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 )
1
1 + i g ε nµ Aµ (x) + ∂µ α(x) + O(ε2 )
g
schließt man auf das Verhalten von Aµ unter (5.1),
Aµ (x) → Aµ (x) +
1
∂µ α(x) .
g
(5.11)
Damit wird die Lagrangedichte
1
L = Ψ(i γ µ Dµ − m) Ψ − Fµν F µν
4
(5.12)
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(5.13)
mit13
invariant unter der lokalen U(1)-Transformation (5.1) oder abelschen U(1)-Transformationen,
denn
1
ei α(x) Ψ(x)
Dµ Ψ(x) →
∂µ − i g Aµ (x) + ∂µ α(x)
g
= ei α(x) {∂µ − i g Aµ (x)} Ψ(x) = ei α(x) Dµ Ψ(x) ,
(5.14)
und Fµν ist ebenfalls invariant unter der Eichtransformation.
13 F µν F
µν ist der einzige Term, der aus A und seinen Ableitungen gebildet werden kann, ohne dass die
Renormierbarkeit zerstört wird (siehe [PS95], S. 485).
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
Bemerkung:
80
Fµν lässt sich als Kommutator schreiben:
[Dµ , Dν ] = − i g Fµν .
5.2
(5.15)
Klassische Elektrodynamik
Feldstärketensor.
Der Zusammenhang zwischen dem Feldstärketensor,
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ,
(5.16)
und den Feldern der klassischen Elektrodynamik ist


0 −Ex −Ey −Ez
 Ex
0
−Bz By 
 .
F µν = 
 Ey Bz
0
−Bx 
Ez −By Bx
0
Feldgleichungen.
(5.17)
Betrachte die Lagrangedichte
1
Lphoton = − Fµν F µν .
4
Die Euler-Lagrange-Gleichungen liefern
!
0 = ∂µ
(5.18)
∂Lphoton
= ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
∂(∂µ Aν )
für ν = 0, 1, 2, 3, d.h.
Aν (x) − ∂ ν (∂µ Aµ (x)) = 0 .
(5.19)
µ
Steht in der Lagrangedichte zusätzlich ein Quellterm −e J Aµ , d.h.
L = Lphoton − e J µ Aµ ,
so folgen als Bewegungsgleichungen:
∂µ F µν = J ν .
(5.20)
Diese Gleichungen sind nichts anderes als die inhomogene Maxwellgleichungen
~ ·E
~
∇
~ ×B
~ − ∂t E
~
∇
= ρ,
= ~ ,
(5.21)
mit j = (ρ, ~).
Wegen der Antisymmetrie von F µν folgt
∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0 .
Für den dualen Tensor
1
~ → B,
~ B
~ → −E)
~
Fe µν = εµνρλ Fρλ = F µν (E
2
hat man wegen der Antisymmetrie
∂µ Feµν = 0 ,
(5.22)
(5.23)
was den homogenen Maxwellgleichungen entspricht,
~ ×E
~ + ∂t B
~
∇
~ ·B
~
∇
=
=
0,
0.
(5.24)
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
81
Eindeutigkeit von A. A ist nicht eindeutig,
Aµ → A′µ = Aµ + ∂ µ Λ
(5.25)
mit einem Skalarfeld Λ(x).
Wähle z.B. Λ so, dass
ΛL (x) = − ∂µ Aµ (x) ,
(5.26)
was immer möglich ist, da (5.26) eine inhomogene Wellengleichung für Λ darstellt, die
immer lösbar ist. Dann folgt für AµL = Aµ + ∂ µ ΛL
∂µ AµL = 0 ;
(5.27)
man spricht von der Lorentz-Eichung.
AµL ist nun eindeutig bis auf
AµL → AµLC = AµL + ∂ µ χ mit
χ = 0 .
Die Wellengleichung für χ lässt noch die Wahl von ∂t χ(0, ~x) und χ(0, ~x) zu. Wählen wir
also
Z
∂t ϕL (0, ~y )
,
∂t χ(0, ~x) = − ϕL (0, ~x) und χ(0, ~x) = − d3 y
|~x − ~y |
~ L(C) ), so gilt
wobei AL(C) = (ϕL(C) , A
ϕLC (0, ~x)
∂t ϕLC (0, ~x)
= 0
= ∂t ϕL (0, ~x) + ∂t2 χ(0, ~x)
~ 2 χ(0, ~x)
= ∂t ϕL (0, ~x) + ∇
Z
∂t ϕL (0, ~y )
= ∂t ϕL (0, ~x) − ∆ d3 y
|~x − ~y |
= 0.
Zusammenfassend haben wir für AµLC erreicht
AµLC = 0 ,
A0LC (0, ~x) = 0
und ∂t A0LC (0, ~x) = 0 .
Wegen der Eindeutigkeit der Lösungen der Wellengleichung gilt insbesondere
(5.27)
~ ·A
~ = 0.
A0LC (t, ~x) ≡ 0 −−−−→ ∇
Es ist also möglich, in einem Koordinatensystem
ϕ(x) = 0
~ ·A
~ = 0
und ∇
(5.28)
zu wählen. Man spricht von der Strahlungseichung bzw. Coulombeichung. Man beachte,
dass die Strahlungseichung im Gegensatz zur Lorentzeichung nicht kovariant ist.
Man lernt aus dieser Diskussion, dass das (masselose) Photon zwei physikalische Freiheitsgrade besitzt. Diese entsprechen einer Amplitude in die beiden räumlichen Richtungen, die transversal zum Wellenvektor sind,
~ · ~k = 0 .
A
(5.29)
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
5.3
82
Photon-Propagator
Photonen werden beschrieben durch das Viererfeld A, das eindeutig ist bis auf Umeichung,
Aµ (x) → Aµ (x) + ∂ µ Λ(x) .
(5.30)
Hierbei ist Λ = g1 α. Das Ziel der folgenden Betrachtungen ist die (Pfadintegral-)Quantisierung
des Photon-Feldes.
(i)
Faddeev-Popov-Methode für abelsche Eichtheorien
Wir betrachten eine reine abelsche Eich-Theorie, d.h. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
1
Lphoton = − Fµν F µν .
4
(5.31)
Die resultierende Wirkung ist
Z
S =
d4 x L
Z
1
d4 x Aµ (x) {η µν − ∂ µ ∂ ν } Aν (x) + |Oberflächenterme
=
{z
},
2
(5.32)
=0
d.h. man kann ebenso mit
L′ =
1
Aµ (x) {η µν − ∂ µ ∂ ν } Aν (x)
2
(5.33)
arbeiten.
Das Eichfeld soll nun mit der Pfadintegral-Methode quantisiert werden. Dazu betrachtet
man
Z
Z
4
′
µ
Zdiv [J] =
DA exp i d x L + J (x) Aµ (x) .
(5.34)
Hierbei werden Konfigurationen, die über (5.30) zusammenhängen und daher physikalisch
äquivalent sind, mehrfach gezählt. Das ist problematisch, weil im Raum dieser Konfigurationen der Operator {η µν − ∂ µ ∂ ν } nicht invertierbar ist. Im Folgenden geht es darum,
eine Methode zu finden, das Pfadintegral nur über physikalisch verschiedene Felder laufen
zu lassen.
Strategie: Die Idee ist, eine Eichung zu ‘fixieren’, indem man nur solche Felder A betrachtet, welche
FA = 0
(5.35)
erfüllen, wobei F ein Operator ist.
Um den Bereich der Pfadintegration einzuschränken, fügt man im Wesentlichen einen
Faktor
δ(F A)
ins Pfadintegral ein.
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
83
Beispiel: Um sich auf Felder zu beschränken, die die Lorentzeichung erfüllen, betrachtet
man nur solche A, die
F A = ∂ µ Aµ = 0
erfüllen.
Konkret geht man folgendermaßen vor: Zunächst schreibt man die Zahl 1 in der Form
Z
1 = ∆FP DΛ δ F A(Λ) ,
(5.36)
wo
Aµ (Λ) = Aµ + ∂µ Λ
(5.37)
das einer Eichtransformation unterworfene Feld ist. ∆FP heißt Faddeev-Popov-Determinante
und liefert die Normierung. Diese 1 fügen wir dann in das Funktionalintegral ein,
Z
Z
ei S
Zdiv [J] =
DA ∆FP DΛ δ F A(Λ)
Z
Z
=
DΛ
DA ∆FP δ F A(Λ) ei S .
(5.38)
Damit hat man explizit den störenden Anteil der Pfadintegration, gegeben durch
Z
DΛ ,
R
isoliert. Man braucht nur noch durch DΛ teilen, um sich des Problems des DoppeltZählens zu entledigen.
Allerdings enthält (5.38) noch den unbestimmten Ausdruck ∆FP . Um diesen zu bestimmen, betrachtet man die Formel in N Dimensionen
Z
∂ϕi 1 =
dN λ δ (N ) ϕ(λ) · det
,
(5.39)
∂λj die sofort aus der Transformationsformel folgt. Dies wird im Kontinuumslimes zu
Z
δφ (5.40)
1 =
DΛ δ φΛ det
δΛ δφ
.
δΛ
Durch Vergleich mit (5.36) erhält man einen Ausdruck für die Faddeev-Popov-Determinante,
δF A(Λ) ∆FP = det
(5.41)
,
δΛ
mit der Operatorableitung (y Anhang A)
wobei
φ Λ := F A(Λ)
als Operator wirkend auf Λ aufgefaßt wird.
Für geeignete, lineare F ist ∆FP unabhängig von Λ.
Gemäß (D.32) lässt sich die Determinante ihrerseits als Pfadintegral über a-Zahlen
schreiben,
Z
Z
δF A(Λ)
δF A(Λ)
4
4
=
Dη Dη exp i d x d y η(x)
η(y)
(5.42)
det
δΛ
δΛ
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
Beispiel:
84
Für die Lorentzeichung ist
F A(Λ) = ∂ µ Aµ + ∂ µ ∂µ Λ .
(5.43)
Damit ist
δF A(Λ)
= ∂µ ∂ µ
δΛ
ein diagonaler Operator. Daher ist die Faddeev-Popov-Determinante
∆FP =
Z
Z
Dη Dη exp i d4 x η(x) ∂µ ∂ µ η(x) .
(5.44)
Hierin sind die Felder η und η keine Spinorfelder, aber doch a-Zahlen. Die FaddeevPopov Determinante sorgt also für einen zusätzlichen Term in der Wirkung, der Spin0-Teilchen mit Fermicharakter beschreibt, d.h. unphysikalische Teilchen. Daher heißen η
bzw. η auch Geist-Felder“.
”
Glücklicherweise koppeln die Geist-Felder in dieser abelschen Eichtheorie nicht an die
physikalischen Felder, die Faddeev-Popov-Determinante kann also getrennt integriert werden und sorgt lediglich für einen zusätzlichen Normierungsfaktor.
Fazit:
Das erzeugende Funktional für das Photonenfeld ist gegeben durch
Z
Z = ∆FP · DA ei S δ F A .
(5.45)
In der QED kann dabei die Faddeev-Popov-Determinante in die Normierung gesteckt werden.
Wie man den δ-Term eliminiert, wird im Folgenden behandelt.
(ii)
Eichfixierungsterm
Wir beschränken uns auf eine Verallgemeinerung der Lorentz-Eichung, d.h. der Operator
F aus (5.35) soll folgende Form haben:
F A = ∂ µ Aµ − ω ,
wo ω eine beliebige Funktion ist. Das Pfadintegral ergibt sich damit zu
Z
e
Z = ∆FP DA ei S δ(∂ µ Aµ − ω) .
(5.46)
(5.47)
Um sich der Funktion ω zu entledigen, wird ein Funktionalintegral darüber ausgeführt.
Wir verwenden hierbei einen Gewichtsfaktor in Form einer Gauß’schen Glockenkurve,
Z
Z
Z
ω 2 (x)
Z = N (α) Dω exp −i d4 x
∆FP DA ei S δ(∂ µ Aµ − ω)
2α
Z
Z
1 µ
(5.48)
= N (α) ∆FP DA ei S exp −i d4 x
(∂ Aµ )2 ,
2α
wo N (α) die Normierung des Pfadintegrals über ω liefert.
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
85
Fazit: Um die durch die Eichfreiheit resultierenden Probleme zu beseitigen, muss man
lediglich die Normierung des erzeugenden Funktionals ändern und einen zusätzlichen Term
der Lagrangedichte zufügen,
1 µ
1
L = − Fµν F µν −
(∂ Aµ )2
4
2α
{z
}
{z
}
|
|
.
(5.49)
Eichfixierungsterm
=:Lphoton
α wird als Eichfixierungsparameter bezeichnet. Man fordert anstatt der Eichfreiheit,
dass die sich mit dieser Lagrangedichte ergebenden Formeln nicht von α abhängen.
Achtung:
Man kann auch α = 0 wählen.
Erzeugendes Funktional. In Analogie zu den Skalarfeldern setzt man
Z
Z
4
µ
Z[J] = N DA exp i d x (L + Jµ A )
(5.50)
Mit partieller Integration und dem Gauß’schen Satz kann man das Argument der Exponentialfunktion umformen,
Z
Z
1
1
d4 x L =
d4 x − Fµν F µν −
(∂µ Aµ )2
4
2α
Z
1
1
=
− 1 ∂ µ ∂ ν Aν (x)
d4 x Aµ (x) η µν +
(5.51)
2
α
|
{z
}
=[D µν ]−1
+ |Oberflächenterme
{z
} .
=0
Die Oberflächenterme verschwinden, wenn man - wie üblich - kanonische Randbedingungen
fordert. In Analogie zum Skalarfeld bezeichnet man [Dµν ]−1 als inversen Photonenpropagator.
Durch Fouriertransformation erhält man
1
µν
−1
2 µν
b
[D (k)]
= −k η + 1−
kµ kν .
(5.52)
α
Durch Matrixinversion und dem üblichen Hinzufügen des Terms i ε ergibt sich
e µν (k) = −
D
1
k2 + i ε
kµ kν
µν
η + (α − 1) 2
.
k
(5.53)
Dies ist dann der freie Photon-Propagator im Impulsraum. Durch Fourier-Rücktransformation ergibt sich
Dµν (x − y) = −
Z
d4 k −i k·(x−y) η
e
(2π)4
µν
+ (α − 1)
k2 + i ε
kµ kν
k2 .
(5.54)
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
86
Bis auf einen Faktor −i entspricht dieser freie Photon-Propgator wieder der Zweipunktfunktion,
(5.55)
Dµν (x − y) = − i − T Aµ (x) Aν (y) − .
Für den Feldoperator des Photons macht man den Ansatz
µ
A (x) =
Z
3 h
X
∗ i k·x i
1
d3 k
r r
−i k·x
r †
r
p
.
e
a
ε
(k)
e
+
(a
)
ε
(k)
k
µ
k
µ
(2π)3 2ω~k r=0
(5.56)
Hierbei ist {εrµ }0≤r≤3 eine Basis von Polarisationsvektoren.
Wie bereits diskutiert, haben physikalische Photonen nur zwei Freiheitsgrade. Man kann dieser
Tatsache dadurch Rechnung tragen, dass man
fordert, dass physikalische Photonen beschrieben
werden durch Polarisationsvektoren
ε
µ
= (0, ~ε)
mit ~k · ~ε = 0 .
Polarisierte Photonen werden durch komplexe Linearkombinationen dieser Polarisationsvektoren
beschrieben.
Wählt man das Bezugssystem so, dass
k = (kz , 0, 0, kz ) ,
so lauten diese
1
εµ± = √ (0, 1, ±i, 0) .
2
Anschaulich entsprechen diese den Spin-Einstellungen
Sz = +1 und Sz = −1.
Beispiele für die Eichfixierung:
(1) α = 1: Feynman-Eichung:
e µν (k) =
D
−η µν
.
k2 + i ε
(2) α = 0: Landau-Eichung:
kµ kν
− η µν
2
µν
k
e
.
D (k) =
k2 + i ε
+1
~k
0
(unphysikalisch)
−1
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
5.4
87
QED: Störungsentwicklung
Lagrangedichte der QED. Mit dem Photon-Feld Aµ und dem geladenen Dirac-Feld
Ψ lautet die Lagrangedichte der QED
1
LQED = Ψ(x) (i γ µ Dµ − m) Ψ(x) − F µν Fµν + Eichfixierung .
4
(5.57)
Hierbei verwenden wir die eichkovarianten Ableitung
Dµ = ∂µ + i e Aµ (x) .
(5.58)
Diese ist nach Konstruktion invariant unter der Eichtransformation
Ψ(x) →
Ψ† (x) →
Aµ (x) →
e−i e Λ(x) Ψ(x) ,
Ψ† (x) e+i e Λ(x) ,
(5.59)
(5.60)
Aµ (x) + ∂ µ Λ(x) .
(5.61)
Die Ersetzung der partiellen Ableitung durch eichkovariante Ableitung ist die einzige Wahl
(solange man linear in dem Feld A bleibt), die die U(1)-Invarianz von L garantiert.
Erzeugendes Funktional. Man setzt
Z
Z
Z
R 4
µ
2
i
Z[η, η, J] = N DΨ DΨ DA e− 2α d x (∂µ A (x)) ·
Z
1
· exp i d4 x − Fµν F µν + Ψ(i γ µ (∂µ + i e Aµ ) − m)Ψ
4
,
−Jµ Aµ + η Ψ + Ψ η
(5.62)
wo
N −1 = Z[η = 0, η = 0, J = 0] .
Mit dem Trick von Seite 66 gelingt es wieder, den Wechselwirkungsanteil in der Lagrangedichte,
Lint = i e Ψ γ µ Aµ Ψ ,
aus dem Funktionalintegral zu ziehen,
Z[η, η, J] = N ·
Z
1 δ
1 δ
1 δ
· exp i d4 x e −
γµ −
Z0 [η, η, J] . (5.63)
i δη(x)
i δJµ (x) i δη(x)
Hierbei ist Z0 das wechselwirkungsfreie erzeugende Funktional,
Z
i
Z
Z
Z
Z
d4 x (∂µ Aµ (x))2
−
Z0 [η, η, J] =
exp i d4 x L0
DΨ DΨ DA e 2α
(5.64)
mit
1
L0 = − Fµν F µν + Ψ (i γ µ ∂µ − m) Ψ − Jµ Aµ + η Ψ + Ψ η .
4
5
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
Z0 wiederum kann ausgedrückt werden in der Form
Z
Z
i
4
Z0 [η, η, J] = exp −
d x d4 y Jµ (x) Dµν (x − y) Jν (y)
2
Z
Z
4
4
−i d x d y η(x) SF (x − y) η(y) .
88
(5.65)
Aus den Zwei- und Drei-Punktfunktionen des erzeugenden Funktionals kann man die Feynmanregeln der QED herleiten. Diese Regeln lassen sich dazu verwenden, Übergangsamplituden in Streuprozessen zu berechnen.
6
STREUTHEORIE
6
6.1
(i)
89
Streutheorie
Streuprozesse
S- und T -Matrix
S-Matrix.
Das S-Matrix-Element Sf i ist definiert über
Sf i = hf | S |ii ,
(6.1)
wobei der Operator S die Propagation des asymptotisch freien Anfangszustand |ii beschreibt, der dann auf den ebenfalls asymptotisch freien Endzustand |f i projiziert wird.
Die Wechselwirkungen werden zu endlichen Zeiten ein“- und ausgeschaltet“.
”
”
Bemerkung: Auf die Schwierigkeiten, die sich aus der den asymptotisch freien Zuständen
ergeben, soll hier nicht näher eingegangen werden. Man fordert letztlich für φ(x) die sogenannte schwache asymptotische Bedingung, nämlich dass für beliebige Vektoren im Fockraum |ai und |bi gilt
lim ha| Φ(x) |bi = a| φout
in (x) |b .
t→±∞
T -Matrix. Die T -Matrix wird mit dem konventionsabhängigen Normierungsfaktor N
definiert durch
Sf i = δf i + i N hf | T |ii .
| {z }
(6.2)
:=Tf i
Der Grund für ist die Normierung ist: Sf i soll für die Übergangsamplitude stehen. Die
Zustände haben in unserer Konvention die Kontinuumsnormierung. Für eine Interpretation
als Übergangsamplitude benötigt man aber auf 1 normierte Zustände.
Mit (6.2) enthält die T -Matrix den nicht-trivialen Anteil der Propagation, sie erzeugt
nur noch zusammenhängende Diagramme. Die S- und die T - Matrixelemente sind Lorentzinvariant. Das T -Matrixelement hängt eng mit dem invarianten Matrixelement Mf i und
den n-Punkt Greensfunktionen zusammen.
Der Normierungsfaktor ist in der hier verwendeten Konvention
Y 1 Y 1
√
p
.
(6.3)
N =
2Ei f
2Ef
i
(ii)
Das erzeugende Funktional S[J, φ0 ]
Es geht darum, die S- und T -Matrixelemente im Pfadintegralformalismus zu berechnen.
Der Weg, diese Matrixelemente zu berechnen, soll nun kurz skizziert werden. Zunächst
erinnert man sich, dass das Pfadintegral mit festen Anfangs- und Endfeldkonfigurationen,
Z
Z
4
(6.4)
I[φin , φout ] =
Dφ exp i d x L0 + Lint ,
φin
φout
gerade die Übergangsamplitude von φin nach φout wiedergibt. Könnte man dieses Pfadintegral einfach berechnen, hätte man bereits die S-Matrix-Elemente bestimmt.
6
STREUTHEORIE
90
Das ist nun leider nicht der Fall. Daher bedarf es einiger Anstrengungen, um hier weiterzukommen (vgl. [BL93] S. 55 ff.). Ein wesentlicher Schritt ist, ein erzeugendes Funktional
mit festen Grenzen zu definieren,
Z
Z
4
S[J, φ0 ] =
Dφ exp i d x L0 + L1 + J φ .
(6.5)
φ0
φ0
Den Wechselwirkungsterm kann man auf die übliche Weise herausziehen.
Bemerkung: Im Operatorkalkül wählt man als Ausgangspunkt die Formel für den T Operator in einem Formalismus, der sich aus Überlegungen der kanonischen Quantisierung
und der Pfadintegraldarstellung zusammensetzt (vgl. z.B. [Ryd96], S. 217 ff.). Man erhält
im Fall von Skalarfeldern14
T =

Z
: exp  dx φin (x) K

δ 
: W [J]J=0 .
δJ(x)
(6.6)
Das Funktional W [J] erzeugt nur die zusammenhängenden Greensfunktionen und K ist
der Differentialoperator der Klein-Gordon-Gleichung
K = + m2 .
Außerdem ist φin (x) der Feldoperator für asymptotisch freie Teilchen.
Zusammenhang S ↔ Z. Die Bedingung der festen Grenzen des Funktionalintegrals
kann umgeschrieben werden. Man erhält für S[J, φ0 ]
Z
δ
Z[J] .
(6.7)
S[J, φ0 ] = exp
d4 x φ0 (x) ( + m2 )
δJ(x)
Damit kann man einen Zusammenhang zwischen den n-Punkt Funktionen τ (n) (x1 , . . . xn )
und den Streuamplituden, bei denen n Teilchen beteiligt sind, finden. Zumeist formuliert man die Übergangsamplituden im Impulsraum, sodass die folgenden Überlegungen
benötigt werden.
(iii)
Betrachtungen im Fourierraum
Zunächst erinnern wir uns an (4.75),
Z
Z
Z
b J(−k)
b
i
d4 k J(k)
i
.
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y) = −
−
4
2
2
2
(2π) k − m2 + i ε
Dafür kann man genausogut schreiben
Z
Z
Z
Z
d4 q b (2π)4 δ (4) (p + q) b
d4 p
J(p)
J(q) .(6.8)
d4 x d4 y J(x) ∆F (x−y) J(y) =
4
(2π)
(2π)4
k 2 − m2 + i ε
14 Die
Verallgemeinerung auf Diracfelder führt auf analoge Resultate.
6
STREUTHEORIE
91
Dies kann man in das erzeugende Funktional der wechselwirkungsfreien Theorie einsetzen,
Z
Z
d4 p
d4 q b (2π)4 δ (4) (p + q) b
i
J(p) 2
J(q) .
(6.9)
Z0 [J] = exp −
2
(2π)4
(2π)4
p − m2 + i ε
Das zeigt, dass die Zwei-Punkt-Funktionen im Fourierraum automatisch eine δ-Distribution
enthalten. Dazu führt man die Funktionalableitung formal durch,
τb(2) (p1 , p2 )
:=
=
δ
δ
b 1 ) i δ J(p
b 2)
i δ J(p
i
Z0 [J]
δ (4) (p1 + p2 )
.
p21 − m2 + i ε
(6.10)
Hier tritt offensichtlich die δ-Distribution auf. Diese impliziert Viererimpulserhaltung, d.h.
Energie und räumliche Impulserhaltung. Diese Tatsache rührt daher, dass der Propagator
nur eine Funktion des Abstands der Variablen x und y ist.
∆F (x, y) = ∆F (x − y) .
Dies wiederum ist eine Folge der Translationsinvarianz.
Green’sche Funktionen G (n) . Offensichtlich ist die in den n-Punkt-Funktionen auftretende δ-Funktion störend. Daher definiert man die Greensfunktionen in einer Weise,
dass diese bereits herausgekürzt ist. Man setzt spezifisch
G (n) (2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn ) :=
Z
d4 x1 · · · d4 xn τ (x1 , . . . xn ) e−i (p1 x1 +···+pn xn ) .
(6.11)
Green’sche Funktionen G(n) . Völlig analog transformiert man auch die zusammenhängenden n-Punktfunktionen in den Fourierraum,
G(n) (2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn ) :=
Z
d4 x1 · · · d4 xn Φ(x1 , . . . xn ) e−i (p1 x1 +···+pn xn ) .
(iv)
(6.12)
S-Matrix und Green’sche Funktionen
Wir interessieren uns nun konkret für einen Prozess, in dem im Anfangszustand m asymptotisch freie Teilchen mit Impulsen {pi }m
i=1 und im Endzustand n − m asymptotisch freie
Teilchen mit den Impulsen {pi }ni=m+1 auftreten. Hierfür wird erst eine Formel (vgl. [BL93]
(6.50a) auf S. 69. Für die Herleitung siehe [BL93], S. 54 ff.) zitiert:
δ n S[φ0 ]
−1
, (6.13)
Sf i = {ρ(p1 ) · · · ρ(pn )}
δa(p1 ) · · · δa(pm ) δa∗ (pm+1 ) · · · δa∗ (pn ) a=a∗ =0
wobei
ρ(p) = (2π)−3 (2p0 )−1 ,
Z
d3 p 1
φ0 =
a(p) e−i p·x + a∗ (p) ei p·x
(2π)3 2ωp
(6.14)
(6.15)
6
STREUTHEORIE
und
S[φ0 ] = exp
Z
92
d4 x φ0 (x) ( + m2 )
δ
δJ(x)
Die S-Matrix ergibt sich als
Z[J]
.
(6.16)
J=0
Sf i = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 + . . . pm − pm+1 − · · · − pn ) Mf i ,
(6.17)
wobei Mf i gegeben ist durch
Mf i = (−i)n (p21 − m2 ) · · · (p2n − m2 ) G (n) (p1 , . . . pm , −pm+1 , · · · − pn ) .
(6.18)
In diesem Matrixelement sind noch die trivialen Anteile enthalten, in denen anschaulich
die Teilchen ohne Wechselwirkung aneinander vorbeifliegen.
Die Berechnung dieser Übergangsamplitude entspricht üblicherweise nicht der Problemstellung, vielmehr ist man an der T -Matrix (vgl. (6.2)) interessiert. Es lässt sich nun
zeigen, dass diese bei der Betrachtung spezieller Prozesse (siehe [BL93], S. 70), auf die wir
uns im Folgenden beschränken, mit den zusammenhängenden n-Punktfunktionen G(n) im
Zusammenhang steht. Es gilt


X
X
Tf i = (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  Mf i ,
(6.19)
i
f
wobei
Mf i = (−i)n
n
Y
i=1
(p2i − m2 ) G(n) (p1 , . . . pm , −pm+1 , · · · − pn ) .
(6.20)
Das hier definierte invariante Matrixelement Mf i hängt wie oben angegeben mit den
zusammenhängenden n-Punkt-Greensfunktionen in der Fourierdarstellung zusammen.
Man kann damit die Feynmanregeln ablesen, mit denen dann die Konstruktion der Matrixelemente für spezielle Terme der n-Punkt Funktion möglich ist.15
Anschauliche Interpretation. Die graphische Veranschaulichung zeigt, dass jede äußere Linie in den n-Punkt-Funktionen einem Propagator entspricht. Die Multiplikation mit
−i (p2i − m2 ) kürzt gerade diesen Propagator, sodass man die S- bzw. T -Matrix erhält,
indem man die Propagatoren aus den äußeren Beinen entfernt.
Dieses Ergebnis lässt sich auch auf den Fall von Dirac-Feldern übertragen.
6.2
Berechnung messbarer Größen
Übergangswahrscheinlichkeiten dwf i .
durch
dwf i =
|Tf i |2
dNf
T
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist gegeben
(6.21)
mit der Zeit T , die der Prozess in Anspruch nimmt, und dem infinitesimalen Phasenraumelement dNf im Endzustand. Hierbei sind zwei Dinge zu beachten:
15 Die negativen Vierer-Impulse können – wie üblich – in positive ‘umgewandelt’ werden, indem man
von der Teilchen- in die Anti-Teilchen-Sprache wechselt, d.h. (Teilchen-)Lösungen zu negativer Energie als
Anti-Teilchen mit positiver Energie (um-)interpretiert.
6
STREUTHEORIE
93
(1) Der Ausdruck für dwf i krankt an einem Term der Form:

2
X
X
(2π)4 δ (4) (
pi −
pf ) .
i
f
(2) Letztlich will man den Prozess charakterisieren durch Größen, die nicht von T
abhängen.
Fermis Trick. Um den Ausdruck


2
X
X
(2π)4 δ (4) 
pi −
pf  .
i
f
zu behandeln, benutzt man Fermis Trick für große V und T ,


2
Z Y
X
X
d4 pf (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  F (pf )
pf
→
=
i
Z Y
4
d pf
pf
Z
4
d xe
i
pi −
P
pf ) x
f
4
(2π) δ
(4)


X
X

pi −
pf  F (pf )
i
V,T
V T (2π)4
i(
f
P
Z Y
pf

d4 pf δ (4) 
X
i
pi −
X
f
f

pf  F (pf ) ,
(6.22)
für beliebige Funktionen F (pf ).
Formal können wir also schreiben:



2



X
X
X
X
Fermis
Trick
(2π)4 δ (4) 
−−−−−−−−→ V T (2π)4 δ (4) 
pi −
pi −
pf 
pf  .(6.23)


i
i
f
f
Man sieht sofort, dass das auftretende T mit dem T in der Definition von dwf i kürzt.
Das Phasenraumelement (im Impulsraum) für den Endzustand ist
Y d3 pf 1
Se ,
(6.24)
dNf =
(2π)3 2Ef
f
wobei
Se =
Y 1
µf
µf : Vielfachheit der Teilchen im Endzustand
f
ein kombinatorischer Symmetriefaktor ist. Damit gewinnt man für die Übergangsrate den
Ausdruck:


X
X
Y d3 pf 1
Se .
(6.25)
dwf i = V (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  |Mf i |2
3 2E
(2π)
f
i
f
f
Dieser ist aufgrund der verwendeten Normierung der Zustände proportional zum betrachteten Volumen V . Um eine davon unabhängige Größe zu erhalten, teilt man durch die
über das Volumen integrierte Flussdichte der einlaufenden Teilchen.
6
STREUTHEORIE
94
Fluss. Die Flussdichte eines Teilchens in einem Bezugssystem ist
|~
p|
(6.26)
E
mit der Teilchendichte ρ. Bei der Betrachtung zweier Teilchen ist die Verallgemeinerung
dieser Formel gegeben durch:
φ = ρ·v
mit v =
φ = ρ1 ρ2 · vrel
mit vrel = |~v1 − ~v2 | .
(6.27)
Die Dichten ρi sind dabei durch die 0-ten Komponenten der Stromdichte gegeben,
ρi = 2Ei .
Der Gesamtfluss ist die über das Volumen integrierte Flussdichte,
Φ = φ·V .
Streuquerschnitt.
Der Streuquerschnitt ist definiert durch
dwf i
.
(6.28)
Φ
Man sieht, dass V kürzt.
Betrachtet man speziell zwei Teilchen im Anfangszustand, so ist der Streuquerschnitt
dσ gegeben durch
wf i
dσ(a1 + a2 → f ) =
dNf
(6.29)
φi
dσ =
mit der Übergangswahrscheinlichkeit (. . . nach Anwendung von Fermis Trick)


X
X
wf i = (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  |Mf i |2 ,
i
(6.30)
f
und der Flussdichte
1/2
.
φi = 2E1 2E2 vrel = 4 (p1 · p2 )2 − m21 m22
Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem.
und 2 Endzustände (C, D), d.h. der Prozess ist
(6.31)
Hat man 2 Anfangszustände (A, B)
A+B → C +D ,
so lässt sich dieser Ausdruck im Schwerpunktsystem p~A = −~
pB vereinfachen und es lässt
sich der differentielle Wirkungsquerschnitt in folgender Form angeben (mit: ECM = (EA +
EB )):
1
|~
p1 |
dσ
=
| Mf i |2 .
(6.32)
dΩ CM
2EA 2EB |~vA − ~vB | (2π)2 4ECM
Im Falle gleicher Massen aller vier Teilchen wird daraus
|Mf i |2
dσ
=
(vier identische Massen) .
2
dΩ CM
64 π 2 ECM
(6.33)
Zerfallsraten. Die Zerfallsrate dΓ ist ein Spezialfall von dwf i mit nur einem einlaufenden Teilchen (siehe z.B. [PS95]).
6
STREUTHEORIE
6.3
95
Feynmanregeln der QED
Mit den Feynmanregeln kann man das invariante Matrixelement Mf i für Streuprozesse, wie
z.B. für den rechtsstehenden,
a1
b1
b2
•
•
a1 + a2 → b1 + b2 + . . . bn ,
berechnen. Die Prozesse werden graphisch so dargestellt, dass die Anfangszustände |ai links und
die Endzustände |bi rechts sind.
•
•
a2
Faktor
bn
Einlaufende Fermionlinie
u(s) (p)
- im Anfangszustand
p
- im Endzustand
p
v (s) (p)
Auslaufende Fermionlinie
v (s) (p)
- im Anfangszustand
p
- im Endzustand
p
u(s) (p)
Einlaufendes Photon
Auslaufendes Photon
εµ
ε∗µ
Vertex
−i e γ µ
Innere Fermionlinie
Innere Photonlinie
Fermionring
p
q
i SF (p) = i
p
+m
p 2 − m2 + i ε
i Dµν (q) = − i
η µν + (α − 1)
qµ qν
q2
q2 + i ε
(−1)
Vorgehensweise:
• Die Elemente (Spinoren, γ-Matrizen, Propagatoren, Spinoren) werden so angeordnet,
dass sie, von links nach rechts gelesen, die Reihenfolge entgegengesetzt der Pfeile der
Feynmangraphen bilden.
• Für jede Fermion-Schleife nimmt man die Spur über die Spinor-Indizes.
• Jeden Impuls
q, der nicht durch Viererimpulserhaltung festgelegt ist, integriert man
R
(2π)−4 d4 q.
• Ein Faktor (−1) zwischen zwei Graphen, die sich nur durch Vertauschung zweier
äußerer Fermionlinien unterscheiden.
6
STREUTHEORIE
6.4
(i)
96
QED auf Tree-Level: Beispiele
Der Prozess e+ e− → µ+ µ−
In führender Ordnung Störungtheorie trägt zum Prozess der durch das folgende FeynmanDiagramm dargestellte Term zum Matrixelement bei:
µ−
e+
k
′
p
q=p+p′ =k+k′
µ
ν
.
p
k′
e−
µ+
Bei der Berechnung des unpolarisierten Wirkungsquerschnitts geht man wie folgt vor:
Vom Diagramm zum Matrixelement Mf i . Nach den Feynman-Regeln wandelt man
das Diagramm in einen Ausdruck für das Matrixelement um:
• Man verfolgt die Pfeile entgegen der Pfeilrichtung.
′
• Das auslaufende e+ im Anfangszustand erhält einen Faktor v̄ s (p′ ), der Vertex liefert
−i eγ µ und das einlaufende e− us (p).
• Die innere Photonenlinie trägt den Photonenpropagator i Dµν bei.
• Mit den auslaufenden Fermionen verfährt man wie mit den einlaufenden.
Man erhält also in erster Ordnung Störungsentwicklung


qµ qν
−i
η
+
(α
−
1)
µν

′
q2 
 v̄ (s′ ) (p′ ) (−i eγ µ ) u(s) (p) .
i Mf i = ū(r) (k) (−i eγ ν ) v (r ) (k ′ ) 


2
q + iε
(6.34)
Spinmittelung und weitere Vereinfachungen. Um einen unpolarisierten Wirkungsquerschnitt zu erhalten, mittelt man über die Spins der Anfangszustände und summiert
über die Spins der Endzustände. Desweiteren verwenden wir Feynman-Eichung, d.h. α = 1.
Dabei ist zu beachten: Zuerst wird |Mf i |2 gebildet und dann summiert bzw. gemittelt. Dies bedeutet anschaulich, dass die einzelnen Prozesse mit definiertem Spin nicht
miteinander interferieren.
Zu berechnen ist somit
1 X 1 XXX
|Mf i |2 .
(6.35)
2 s 2 ′ r ′
s
r
6
STREUTHEORIE
97
Bei der Berechnung von |Mf i |2 = Mf i M†f i hat man Terme der Form (v̄ Γ u)† auszuwerten,
(v̄ Γ u)† = u† Γ† (v † γ 0 )†
(γ 0 γ 0 =1)
=
u† γ 0 γ 0 Γ† γ 0 v = ū Γ v .
| {z } | {z }
=ū
Man erhält also
(v̄ Γ u)† = ū Γ̃ v
(6.36)
:=Γ
mit Γ̃ := γ 0 Γ† γ 0 .
(6.37)
Das Verwenden der Vollständigkeitsrelationen führt auf die Form
1 X
|Mf i |2
4 ′ ′
=
ss rr
e4
′
µ
ν
tr [(p
− me ) γ (p
+ me ) γ ] ·
4 [q 2 + i ε]2
· tr (k′ − mµ ) γµ (k + mµ ) γν .
(6.38)
Auswerten der Spur. Die Rechenregeln für diese Art von Spuren sind in Anhang E
beschrieben. Damit erhält man
8e4
1 X
[(p · k) (p′ · k ′ ) + (p · k ′ ) (p′ · k)
|Mf i |2 =
4 ′ ′
[q 2 + i ε]2
ss rr
(6.39)
+ m2µ (p · p′ ) + m2e (k · k ′ ) + 2 m2e m2µ .
Mandelstam-Variablen.
Speziell für Prozesse der Form
A+B → C +D ,
d.h. mit jeweils zwei Teilchen im Anfangs- bzw. Endzustand, lohnt es sich, lorentzinvariante
Größen einzuführen,
s = (pA + pB )2 = (pC + pD )2 ,
t = (pA − pC )2 ,
u
= (pA − pD )2 .
(6.40a)
(6.40b)
(6.40c)
Diese sind nicht unabhängig voneinander, denn es gilt (vgl. Übung)
s + t + u = m2A + m2B + m2C + m2D .
(6.41)
Wesentlich ist, dass man einige Streuquerschnitte alleine durch die Mandelstam-Variablen
ausdrücken kann.
Interpretation der Mandelstam-Variablen im ultrarelativistischen Limes. Während
man s immer als Quadrat der Schwerpunktenergie interpretieren kann, ist im ultrarelativistischen Grenzfall eine Deutung der anderen beiden Variablen in Abhängigkeit des
Streuwinkels:
6
STREUTHEORIE
98
ϑ∗ = ∢(~
pA , p~C )
p~C
im Schwerpunktsystem möglich,
t
u
= −s sin2 ϑ∗ /2 ,
= −s cos2 ϑ∗ /2 .
ϑ∗
~pA
Die Spinsumme (6.39) lässt sich alleine durch die Mandelstam-Variablen ausdrücken,
( )
2
u 2
1 X
t
8e4
2
.
(6.42)
+
|Mf i | = 2
4 ′ ′
s
2
2
ss rr
Kreuzungssymmetrie. Man kann sich allgemein überlegen, was passiert, wenn man in
einer Reaktion ein einlaufendes Teilchen durch ein auslaufendes Antiteilchen ersetzt. Es
zeigt die Formel (6.13)
M φ(p) + · · · → . . .′
= M · · · → . . .′ + φ(−p)
= M · · · → · · · + φ(p) ,
(6.43)
=
φ(−p) ≡ φ(p)
.
φ(p)
Man beachte, dass mit p niemals −p ein physikalischer Impuls sein kann. (6.43) besagt,
dass zwei Übergangsamplituden durch analytische Fortsetzung zusammenhängen. Diese
Betrachtung zeigt eine Symmetrie die S- bzw. T -Matrix als analytische Funktion der Impulsvariablen. Man spricht von Kreuzungssymmetrie.
Kreuzungssymmetrie und Mandelstamvariablen.
Will man z.B. anstatt
A+B → C +D
den gekreuzten Prozess16
A+C → B+D
diskutieren, so lauten die Mandelstam-Variablen dafür
s′
=
(pA + pC )2
t′
u′
=
=
(pA − pB )2 ,
(pA − pD )2 .
Ersetzt man die Impulse der Antiteilchen durch das Negative der Teilchenimpulse, so gehen
diese Variablen durch Permutation aus den ursprünglichen hervor,


 t → s′ 
pC → −pB ≡ pB
s → t′
.
=⇒
pB → −pC ≡ pC


u → u′
Die Kreuzungssymmetrie bringt somit den Vorteil, bei der Berechnung der Steuquerschnitte von gekreuzten Reaktionen viel Zeit sparen zu können.
16 Dieser Prozess wird beschrieben durch Feynmandiagramme, die gegenüber denen des Ausgangsprozesses um 90◦ gedreht sind.
6
STREUTHEORIE
99
Anwendung: e− -µ− -Streuung. Durch Kreuzen, d.h. durch Ausnutzen der Kreuzungssymmetrie, kann man sich durch Permutation der Mandelstamvariablen s ↔ t die Spinsumme für die e− - µ− -Streuung besorgen,
µ−
µ−
:
8e4 s 2 u 2
1 X
.
+
|M|2 = 2
4 ′ ′
t
2
2
ss rr
e−
e−
Einsetzen der kinematischen Größen.
Prozess e+ e− → µ+ µ− .
Betrachten wir wieder den ursprünglichen
Wir setzten uns in das Schwerpunktsystem von e+ e− . Die Impulse p und p′ kann man wie oben schreiben aufgrund der Näherung p2 =
m2e = 0 und der Wahl des SchwerpunktSystems als Bezugssystem. Für den
Impuls des Myons gilt
q
p = (E, E ~ez )
E 2 − m2µ
|~k| =
k = (E, ~k)
•
ϑ
p′ = (E, −E ~ez )
und
~k · ~ez = |~k| cos ϑ .
k ′ = (E, −~k)
Natürlich muss man als Bedingung
für den Prozess E > mµ fordern,
d.h. die Schwerpunktsenergie muss
ausreichen, um 2 · mµ zu erzeugen.
Um den Ausdruck (6.39) umformen zu können, benötigt man die Produkte der 4erImpulse p, p′ , k, k ′ und den Impulsübertrag q 2 . Man erhält
q2
p · p′
p·k
p · k′
=
(p + p′ )2 = 4E 2 ,
= 2E 2 ,
= p′ · k ′ = E 2 − E |~k| cos ϑ ,
= p′ · k = E 2 + E |~k| cos ϑ .
(6.44)
Von Mf i zum Wirkungsquerschnitt. Hier ist der differentielle Wirkungsquerschnitt
von Interesse. Das Matrixelement erhält man durch Einsetzen von (6.44) in (6.39) und
daraus berechnet sich der differentielle Wirkungsquerschnitt nach der Formel (6.32). In
der Näherung E ≫ mµ kann die vereinfachte Form (6.33) verwendet werden und man
erhält
α2
dσ
2
=
(6.45)
2 (1 + cos ϑ) .
dΩ
4ECM
6
STREUTHEORIE
100
Interpretation des Ergebnisses. Für ϑ = 90◦ ist der Wirkungsquerschnitt unterdrückt. Das lässt sich mit der Forderung nach Helizitätserhaltung plausibel machen (s.
auch [PS95, S. 131 ff.]).
(ii)
Compton-Streuung
Die elastische Streuung eines Elektrons an einem Photon heißt Compton-Streuung. Wir
betrachten also
γ(k) + e− (p) → γ(k ′ ) + e− (p′ ) .
In niedrigster Ordnung gibt es zwei relevante Diagramme,
ε′
ε
ε
k′
ε′
k′
k
k
q=p+k
+
p
p
′
p
q=p−k′
p′
Für den Wirkungsquerschnitt im Ruhessystem des Elektrons im Anfangszustand ergibt
sich nach Rechnung die Klein-Nishina-Formel ,
′ 2 ′
dσ
α2
ω
ω
ω
′ 2
·
=
+
+
4
(ε
·
ε
)
−
2
.
(6.46)
dΩ
2m2 ω
ω
ω′
Dabei ist ε bzw. ε′ der Polarisationsvektor des Photons im Anfangs- bzw. Endzustand;
m ist die Masse des Elektrons. Bei diesem Streuquerschnitt wurde also nicht über die
Photonenspins – wohl aber über die Elektronenspins – gemittelt.
~k ′
Man kann auch über die Spins der Photonen gemittelten Streuquerschnitt angeben:
~k
ϑ
2 ′
•
dσ
α2 ω ′
ω
ω
2
·
=
+ ′ − sin ϑ .
dΩ
2m2 ω
ω
ω
Dabei ist ϑ der Ablenkwinkel des Photons im Ruhesystem des einlaufenden Elektrons.
(iii)
p~ ′
Paarvernichtung
Die Annihilation eines Elektrons und eines Positrons in zwei Photonen17 wird als Paarvernichtung bezeichnet:
e− (p) + e+ (p′ ) → γ(k) + γ(k ′ ) .
17 Annihilation
in ein Photon ist aus Gründen der Energie-Impulserhaltung nicht möglich.
6
STREUTHEORIE
101
In niedrigster Ordnung tragen zwei Diagramme bei,
ε′
k′
ε′
k
p′
′
p′
+
q=p−k
p
.
q=p−k
p
k
k
ε
ε
Für den Wirkungsquerschnitt ergibt sich nach Rechnung
′
α2 (m + E ′ )
ω
ω
dσ
′ 2
=
·
+ ′ − 4(ε · ε ) + 2 .
dΩ
8|~
p ′ | (m + E ′ − |~
p ′ | cos ϑ)2
ω
ω
~k
Dabei ist ε bzw. ε′ der Polarisationsvektor des
Photons mit Impuls k bzw. k ′ . m ist die Masse des Elektrons. E ist die Energie des Positrons
und schließlich ϑ der Winkel zwischen den Impulsen des Positrons und eines der Photonen im
Ruhesystem des Elektrons.
(iv)
(6.47)
p~ ′
ϑ
•
~k ′
Møller-Streuung
Die Streuung von Elektronen an Elektronen wird als Møller-Streuung bezeichnet,
e− (p1 ) + e− (p2 ) → e− (p′1 ) + e− (p′2 ) .
In niedrigster Ordnung tragen zwei Diagramme bei,
p′2
p′2
p2
p2
−
q=p1 −p′1
.
q=p1 −p′2
p1
p1
p′1
p′1
Das relative Vorzeichen −“ entsteht aus den Feynman-Regeln; es bewirkt, dass die S”
Matrix antisymmetrisch unter dem Austausch der beiden Elektronen, d.h. antisymmetrisch
′
′
unter p1 ↔ p2 , ist.
Das Übergangsmatrixelement Mf i ist gegeben durch
1
2
Mf i = e
u(p′1 ) γµ u(p1 )
u(p′2 ) γ µ u(p2 )
(p1 − p′1 )2 + i ε
1
′
′
µ
− u(p2 ) γµ u(p1 )
u(p1 ) γ u(p2 ) .
(6.48)
(p1 − p′2 )2 + i ε
6
STREUTHEORIE
102
Durch Rechnung (vgl. Übungen) ergibt sich der Streuquerschnitt
α2 dσ
=
(s − 2m2 )2 (t2 + u2 ) + u t (−4m2 s + 12m4 + u t) .
(6.49)
2
2
dΩ
st u
Im Schwerpunktsystem erhält man für den Streuquerschnitt die Møllersche Formel
4
α2 (2E 2 − m2 )2
4
dσ
3
(E 2 − m2 )2
1+
=
−
+
. (6.50)
dΩ
4E 2 (E 2 − m2 )2 sin4 ϑ sin2 ϑ (2E 2 − m2 )2
sin2 ϑ
p~1 ′
Dabei ist ϑ der Winkel zwischen den einlaufenden und auslaufenden Teilchen im Schwerpunktsystem. Im ultrarelativistischen Limit E → ∞
reduziert sich die Formel auf
p~1
p~2
ϑ
4
2
1
dσ
α2
•
−
+
.
=
dΩ
E 2 sin4 ϑ sin2 ϑ 4
D.h. die Einheiten des Streuquerschnittes sind
dσ
nicht mehr
1/(Energie)2 . Die Tatsache, dass s dΩ
von s abhängt, d.h. das triviale Skalenverhalten,
~p2 ′
ist Konsequenz der Tatsache, dass es für verschwindende Massen keine ausgezeichnete Skala
gibt. Für kleine E hingegen ergibt sich
3
dσ
α2 1
4
−
.
=
dΩ
m2 4v 2 sin4 ϑ sin2 ϑ
Man kann die Formel im ultrarelativistischen Grenzfall auch durch Mandelstamvariablen
ausdrücken,
2
dσ
α2
s + u2
2s2
s2 + t2
.
(6.51)
=
+
+
dΩ
2s2
t2
ut
u2
Verwendet man die Formeln
t
u
= −s sin2 ϑ/2 ,
= −s cos2 ϑ/2 ,
mit dem Ablenkwinkel ϑ im Schwerpunktsystem, so kann man den Streuquerschnitt auch
folgendermaßen aufspalten:
dσ
α2 n 1 + cos4 ϑ/2
2
1 + sin4 ϑ/2 o
=
+
+
.
(6.52)
dΩ
8E 2
cos4 ϑ/2
sin4 ϑ/2
sin2 ϑ/2 cos2 ϑ/2
{z
}
{z
} |
{z
} |
|
direkter
Beitrag
InterferenzTerm
ϑ
AustauschBeitrag.
ϑ
Im nichtrelativistischen Grenzfall |~
p| ≪ m ergibt sich
1
1
α 2 m2
1
dσ
−
+
.
=
dΩ
16|~
p|2 sin2 ϑ/2 sin2 ϑ/2 cos2 ϑ/2 cos2 ϑ/2
(6.53)
6
STREUTHEORIE
103
Desweiteren weist der Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von ϑ eine
Achsensymmetrie bzgl. des Winkels
ϑ = 90◦ auf. Das ist eine offensichtliche Konsequenz der Symmetrien
des Problems.
(v)
dσ
dΩ
ϑ
|
90◦
Bhabha-Streuung
Die Streuung von Elektronen an Positronen,
e− (p1 ) + e+ (p2 ) → e− (p′1 ) + e+ (p′2 ) ,
heißt Bhabha-Streuung. In niedrigster Ordnung tragen wieder zwei Diagramme bei,
p′2
p′2
p2
p2
q=p1 +p2
−
p1
.
q=p1 −p′1
p1
p′1
p′1
Nach Rechnung (vgl. Übungen) ergibt sich für den Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem
die längliche Formel von Bhabha,
α n5
8E 4 − m4
(2E 2 − m2 )2
dσ
=
−
+
dΩ
2E 2 4 E 2 (E 2 − m2 ) (1 − cos ϑ) 2(E 2 − m2 )2 (1 − cos ϑ)2 )
1 h 4
2E (−1 + 2 cos ϑ + cos2 ϑ)
+
16E 4
io
+4E 2 m2 (1 − cos ϑ) (2 + cos ϑ) + 2m4 cos2 ϑ
.
(6.54)
Im ultrarelativistischen Limes wird der Vorteil der Mandelstam-Variablen offenkundig:
Durch die Vertauschung s ↔ u kann man den Streuquerschnitt aus der Møllerschen Formel
gewinnen,
2
dσ
α2
s + u2
2u2
u 2 + t2
.
(6.55)
=
+
+
dΩ
2s2
t2
st
s2
Im Schwerpunktsystem wird dies zu
dσ
α2
1 + cos4 ϑ/2
cos4 ϑ/2 1
2
=
−2 2
+ (1 + cos ϑ) ,
dΩ
8E 2
σ 4 ϑ/2
2
sin ϑ/2
im nichtrelativistischen Limes erhält man
dσ
1
α2
=
.
dΩ
m2 16 v 4 sin4 ϑ/2
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
7
7.1
104
Nicht-abelsche Eichtheorien
Grundlegende Eigenschaften von Lie-Gruppen
Lie-Gruppe. Lie-Gruppen sind ‘kontinuierliche’ Gruppen, d.h. Gruppen, bei denen die
Gruppenelemente durch kontinuierliche Variablen parametrisiert werden können,
G ∋ g = g(θ1 , . . . θd ) ,
θa ∈ R .
(7.1)
Mit anderen Worten, eine Lie-Gruppe ist eine Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit kann die Parametrisierung so gewählt werden, dass g(0) =
1.
Lie-Algebra und Generatoren. Zu jeder Lie-Gruppe gehört eine Lie-Algebra g, deren
Generatoren den Tangentialraum der Lie-Gruppe am Ursprung aufspannen,
∂g(θ1 , . . . , θd ) .
(7.2)
Xa =
∂θa
θ1 =···=θd =0
Die Gruppen-Elemente der Lie-Gruppe G, die in der gleichen Zusammenhangs-Komponente
wie das Einheitselement liegen, gehen durch die Exponential-Abbildung aus den Generatoren hervor,
g(θ) = exp (θa Xa ) .
(7.3)
In der Physik werden die Generatoren Xa üblicherweise reskaliert und mit i-Faktoren
verziert, d.h.
g(θ) = exp (i θa Ta ) .
(7.4)
Wir werden im Folgenden mit den Generatoren Ta arbeiten, die der Normierung
tr(Ta Tb ) ∝ δab
(7.5)
genügen. Die Generatoren und ihre Darstellungs-Matrizen werden synonym verwendet.
Eine grundlegende Eigenschaft von Lie-Algebren ist, dass sich der Kommutator (oder
die Lie-Klammer) zweier Generatoren als Linearkombination der Generatoren schreiben
lässt, d.h.
[Ta , Tb ] = linear in T .
Die Strukturkonstanten sind dann über
c
[Ta , Tb ] = i fab
Tc
(7.6)
definiert; dabei wird jetzt wie im Folgenden über zweifach auftretende Indizes a, b, c, . . .
von 1 bis d summiert.
Ist insbesondere G = SU(N ), so sind die Generatoren Ta spurfrei und hermitesch; desweiteren ist d = N 2 −1. Speziell für die SU(2) wählt man in der Physik für die Generatoren
bis auf einen Faktor 1/2 die Pauli-Matrizen,
σa
,
2
und für die SU(3) bis auf einen Faktor 1/2 die Gell-Mann-Matrizen λa (vgl. Anhang F),
Ta =
Ta =
λa
,
2
(1 ≤ a ≤ 8) .
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
7.2
105
Yang-Mills-Theorie
Es wird nun diskutiert, wie die abelsche Eichtheorie auf nicht-abelsche Symmetriegruppen
verallgemeinert werden kann. Der Ausgangspunkt ist wieder ein (Fermion-)Feld


Ψ1 (x)


..
(7.7)
Ψ(x) = 
 ,
.
ΨN (x)
wo die Ψi für 4-komponentige Dirac-Felder stehen.
(Lokale) SU(N )-Eichtransformation.
man
Als lokale SU(N )-Eichtransformation definiert
Ψ(x) → U (x) Ψ(x) ,
(7.8)
U (x) = exp {i αa (x) Ta }
(7.9)
wo
für jedes x ein Gruppenelement der nicht-abelschen Gruppe SU(N ) (N ≥ 2) ist. In diesem
Fall sagt man, Ψ transformiere als N -dimensionale oder fundamentale Darstellung unter
der SU(N ), oder einfach als N -plet.
Betrachte zunächst die Lagrangedichte für freie Fermionen,
L0 = Ψ(x) {i γ µ ∂µ − m} Ψ(x) =
N
X
i=1
Ψi (x) {i γ µ ∂µ − m} Ψi (x)
(7.10)
mit Ψ wie in (7.7). L0 ist nicht invariant unter G, d.h. L0 ist nicht invariant unter den
Eichtransformationen
Ψ(x) →
Ψ(x) →
U (x) Ψ(x) ,
†
Ψ(x) U (x) .
(7.11a)
(7.11b)
Ähnlich wie im abelschen Fall ist L0 invariant unter globalen Transformationen, d.h.
U (x) = U0 . Ziel ist es nun, eine Lagrangedichte zu konstruieren, die invariant unter lokalen
Transformationen U (x) ist.
In Analogie zum abelschen Fall führt man d Eichbosonenfelder Aa mit Komponenten
a
Aµ (x) ein. Mit diesen Feldern konstruiert man die eichkovariante Ableitung
Dµ =
1N ∂µ − i g Aaµ (x) Ta .
(7.12)
Man beachte, dass im Gegensatz zum abelschen Fall hier die kovariante Ableitung eine
nicht-triviale Matrix-Struktur aufweist. Im nächsten Schritt setzt man als Yang-MillsLagrangedichte:
1 a
µ
µν
LYM
g = Ψ(x) {i γ Dµ − m} Ψ(x) − Fµν (x)Fa (x)
4
(7.13)
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
106
mit dem Feldtensor
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf a bc Abµ Acν
(7.14)
[Dµ , Dν ] = − i g Fµν a Ta .
(7.15)
bzw.
Nun muss noch das Transformationsverhalten der Eichbosonenfelder festgelegt werden.
Wir wollen erreichen, dass für die transformierten Fermionfelder Ψ′ (x) = U (x) Ψ(x) und
die transformierten Eichbosonenfelder gilt
(Dµ Ψ)′
= ∂µ Ψ′ − i g A′µ a Ta Ψ′
!
= U ∂µ Ψ + (∂µ U ) Ψ − i g A′µ a Ta U Ψ = U Dµ Ψ .
Der Term, der Probleme bereitet, ist (∂µ U ) Ψ. Er kann beseitigt werden, indem man
i
A′µ a Ta = − (∂µ U ) U † + U Aaµ Ta U †
g
(7.16)
setzt. Benutzt man noch:
0 = ∂µ (U U † )
y
(∂µ U ) U † = − U (∂µ U † ) ,
so kann man das gewünschte Transformationsverhalten von Dµ ψ erreichen durch die Forderung, dass die Eichbosonenfelder sich unter Eichtransformationen folgendermaßen verhalten sollen:
Aaµ (x) Ta → U (x)
i
Aaµ (x) Ta + ∂µ U † (x) .
g
(7.17)
Durch Zusammenzählen lässt sich zeigen, dass die Lagrangedichte (7.13) invariant ist
unter der lokalen nicht-abelschen Eichtransformation (7.8) bzw. (7.17).
7.3
Klassische Bewegungsgleichungen der Yang-Mills-Theorie
Es sollen nun Yang-Mills-Theorien auf dem klassischen Niveau diskutiert werden. Dazu
erarbeitet man sich die Euler-Lagrange-Gleichungen für die Yang-Mills-Lagrangedichte
(7.13).
Für das Fermion-Feld ergibt sich einfach die Dirac-Gleichung mit eichkovarianter Ableitung
(i γ µ Dµ − m) Ψ(x) = 0 .
(7.18)
Dabei ist zu beachten, dass Ψ ein N -plet ist und Dµ einen nicht-triviale Matrix-Struktur
im SU(N ) Darstellungs-Raum besitzt. Zusätzlich treten noch die Felder der Eichbosonen
auf,
a
c
∂ µ Fµν
(x) + g f a bc Aµ b (x) Fµν
= − g jνa (x)
(7.19)
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
107
mit den Noetherströmen der Fermionen
jνa (x) = Ψ(x) γν Ta Ψ(x) .
(7.20)
Diese Strömen folgen aus den d globalen Symmetrien, entsprechend den d Generatoren.
Gemäß dem Noether’schen Theorem genügen die j a den Kontinuitätsgleichungen
∂µ j µ a (x) = 0 .
(7.21)
Bemerkungen:
(1) Es tritt ein neues Phänomen auf: In einer nicht-abelschen Eichtheorie gibt es Wechselwirkung zwischen den Eichbosonen.
(2) Als reine“ Eichtheorie bezeichnet man die Theorie ohne Fermionfelder, d.h. mit der
”
Lagrangedichte
1 a µν
LYM = − Fµν
Fa .
4
Hier folgen die Bewegungsgleichungen:
a
c
c
∂ µ Fµν
= − g fab
Aµ b (x) Fµν
(x) ,
welche wegen der nichtverschwindenden rechten Seite die Wechselwirkung der Eichbosonen untereinander implizieren.
Schreibweise.
Abkürzend setzt man
Aµ (x) :=
Aaµ (x) Ta ,
Fµν (x) :=
a
Fµν
(x) Ta .
(7.22)
Mit dieser Notation lautet die Yang-Mills-Lagrangedichte (7.13)
L = Ψ (i γµ Dµ − m) Ψ −
1
tr (Fµν F µν )
2
(7.23)
und die eichkovariante Ableitung
Dµ = ∂µ − i g Aµ .
(7.24)
(i γ µ Dµ − m) Ψ(x) = 0
(7.25)
Die Bewegungsgleichungen (7.18) und (7.19) bekommen die Gestalt
und
[Dµ , Fµν ] = − g jν ,
wobei in Analogie zu (7.22)
jν = jνa Ta
gesetzt wird.
(7.26)
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
7.4
108
Faddeev-Popov-Methode für nicht-abelsche Eichtheorien
Fragestellung. Es geht darum, die Pfadintegralquantisierung einer nicht-abelschen Eichtheorie durchzuführen. Dazu betrachten wir nur die Eichfeldtheorie, die Fermionen können
später hinzugenommen werden.
Ausgangspunkt ist das Funktionalintegral
Z
Z
1 a µν
,
(7.27)
DA exp i d4 x − Fµν
Fa
4
wobei der Exponent bis auf einen Faktor i der Wirkung entspricht,
Z
1 a µν
.
Fa
S[A] =
d4 x − Fµν
4
Das Eichfeld A transformiert sich unter den lokalen Eichtransformationen gemäß
i
µ a
µ
a
Aa T → U (x) Aa (x) T + ∂µ U † (x) ,
g
(7.28)
(7.29)
mit
U (x) = exp (i Λa (x) Ta ) .
Die Theorie ist invariant unter solchen Transformationen. Insbesondere ist die Wirkung
invariant unter infinitesimalen Transformationen
Aµa
Aµa (Λ1 , . . . Λd )
1
:= Aµa (x) + ∂µ Λa (x) + Λc (x) f c ab Abµ (x) ,
g
→
(7.30)
wo d die Dimension der Lie-Gruppe ist, d.h.
S[A(Λ)] = S[A] .
(7.31)
Felder A, welche durch eine Eichtransformation auseinander hervorgehen, sind physikalisch äquivalent. Wie im abelschen Fall will man erreichen, dass das Pfadintegral sich nur
über die Anteile der Felder erstreckt, die nicht durch eine Eichtransformation mit anderen
Feldern in Beziehung stehen. Das Pfadintegral über die so reduzierten Feldkonfigurationen
bezeichnen wir mit
Z
DA .
Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der abelschen Theorie. Eine Eichung wird fixiert
durch die d Bedingungen:
!
F a A(Λ) = ∂ µ Aaµ (Λ) − ω a = 0 .
(7.32)
Damit ergibt sich analog zu (5.47)
Z
Z
4
a µ
Z = ∆FP DA exp i d LYM + Jµ Aa δ(∂ µ A1µ − ω 1 ) · · · δ(∂ µ Adµ − ω d ) .(7.33)
Die Abhängigkeit von den beliebigen Funktionen ω a beseitigt man analog zu (5.48) durch
Pfadintegration mit Gauß-förmiger Gewichtsfunktion.
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
109
Der wesentliche Unterschied ergibt sich bei der Auswertung der Faddeev-Popov-Determinante,
∆FP =
d
Y
a=1
det
δF 1 A(Λ)
δΛ
,
(7.34)
denn hier ist das Verhalten von A unter der Eichtransformation durch (7.17) gegeben.
Fordern wir die verallgemeinerte Lorentz-Bedingung
!
F a A = ∂µ Aµa (x) − ωa (x) = 0 ,
(7.35)
und setzen die infinitesimale Transformation (7.30) ein, so folgt nach Rechnung
1
δF a A(Λ)
a
= δba ∂ µ ∂µ + ∂ µ Acµ fcb
.
b
δΛ
g
Damit wiederum ergibt sich die Faddeev-Popov-Determinante zu
Z
Z
1 a µ
4
µ c a
∆FP =
Dη Dη exp i d x η a − δb ∂ ∂µ + ∂ Aµ f bc η b .
g
(7.36)
(7.37)
Um den üblichen kinetischen Term zu erhalten, muss man die Felder η und η reskalieren,
√
√
η → g η und η → g η .
Diese Reskalierung kann in der Normierung des Pfadintegrals absorbiert werden.
Fazit:
Das erzeugende Funktional kann geschrieben werden in der Form:
Z
Z
Z
Z[J] =
DA Dη Dη
( Z
"
1 X
1
4
(∂µ Aµa )2
exp i d x − tr (Fµν F µν ) + Jµa Aµa −
2
2ξ a
+ η a (−δba ∂ µ ∂µ + g ∂ µ Acµ f a bc ) η b .
(7.38)
Der Eich-Fixierungsterm ist hat die selbe Form wie im abelschen Fall. Fixiert man
die Eichung durch eine spezifische Wahl von ξ spricht man auch von den Rξ -Eichung.
Wie zuvor kann die Faddeev-Popov-Determinante als Pfadintegral über a-Zahl-wertige
Skalarfelder geschrieben werden. Der wesentliche Unterschied zur abelschen Theorie ist
jedoch, dass die Geistfelder η und η an die Eichfelder koppeln, d.h. es gibt eine neue
Wechselwirkungen und ein zusätzliches propagierendes Feld.
Die Geist-Felder η und η repräsentieren keine physikalischen Freiheitsgrade, sondern
sind Hilfsfelder . Insbesondere tauchen diese nicht in Anfangs- oder Endzuständen auf.
Andererseits werden, wie wir später sehen werden, nur durch die Geist-Beiträge die Übergangswahrscheinlichkeiten eichinvariant.
7.5
Feynman-Regeln
Mit den üblichen Funktionalmethoden erhält man die folgenden Feynman-Regeln:
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
110
(1) Fermion-Eichboson-Vertex:
i
µ, a
i g γµ (Ta )ij
:
j
(2) Eichbosonen-Dreier-Vertex:
ν, c
k
p
λ, a
:
q
g f abc [(k − q)λ ηµν +
(q − p)ν ηλµ + (p − k)µ ηνλ ]
µ, b
(3) Eichbosonen-Vierer-Vertex:
ρ, c
σ, d

abe cd µρ νσ
2
µσ νρ
 −i g f fe (η η − η η )
ace bd
µν ρσ
+ f fe (η η − η µσ η νρ ) 
+ f ade febc (η µν η σρ − η µσ η νρ )
:
µ, a
ν, b
(4) Eichboson-Geist-Vertex:
b
µ, c
:
g fabc pµ
p
a
(5) Eich-Propagator:
k
µ, a
ν, b
:
−i δ ab
kµ kν
µν
η − 2 (1 − ξ)
k2 + i ε
k
7
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
111
(6) Geist-Propagator:
b
q
a
:
i δ ab
+ iε
q2
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
8
112
Spontane Symmetriebrechung
8.1
Gebrochene diskrete Symmetrie
Betrachte die φ4 -Theorie eines reellen Skalarfeldes mit der Lagrangedichte
L =
1
1
λ
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 − φ4 .
2
2
4!
(8.1)
Ersetzt man den Parameter m2 durch −µ2 , so entsteht
L
1
λ
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) + µ2 φ2 − φ4
2
2
4!
= T −V
=
(8.2)
mit
1
λ
V (φ) = − µ2 φ2 + φ4 .
2
4!
(8.3)
Das Potential und somit auch die Lagrangedichte besitzen eine diskrete Symmetrie
V
φ → −φ.
Das Potential V hat zwei Minima bei
r
6
φ0 = ± v = ±
µ.
λ
−v
v
φ
Man nennt v den Vakuumerwartungswert
von φ.
Nun kann man V um eines der beiden
Minima, etwa φ = v, entwickeln,
φ(x) = v + σ(x) .
(8.4)
Setzt man (8.4) in (8.2) ein, ergibt sich für die Lagrangedichte bis auf eine Konstante
r
λ 3 λ 4
1
1
µ
2 2
L = (∂µ σ)(∂ σ) − (2µ )σ −
µσ − σ .
(8.5)
2
2
6
4!
Das Hinzunehmen der Konstante hat keine Konsequenzen für die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen.
√
Diese Lagrangedichte beschreibt ein massives Skalarfeld mit Masse 2µ und σ 3 - bzw. σ 4 Wechselwirkung. Sie ist offensichtlich nicht mehr invariant unter der Symmetrie σ → −σ.
Man sagt, die diskrete Symmetrie sei spontan gebrochen, d.h. während die Theorie die
Symmetrie aufweist, respektiert der Grundzustand diese nicht.
8.2
Das lineare Sigma-Modell
Anstatt des reellen Skalarfeldes betrachte nun das reelle N -plet
 1 
φ
 .. 
φ =  .  .
φN
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
113
Die zugehörige Lagrangedichte sei18
λ
1
1X
(∂µ φi )(∂ µ φi ) + µ2 φ2 − (φ2 )2
L =
2 i
2
4
(8.6)
mit dem Skalarprodukt
φ2 =
N
X
(φi )2 .
(8.7)
i=1
Diese ist invariant unter SO(N )-Transformationen
φ→R·φ,
φi → Ri j φj ,
(8.8)
wo R eine orthogonale N × N -Matrix ist.
Das Potential
1
λ
V (φ) = − µ2 φ2 + (φ2 )2
2
4
ist minimal für Felder φ0 mit
µ2
.
λ
Für N = 2 hat es das rechtsstehende, som”
brerohafte“ Aussehen.
Eines dieser Felder ist gegeben durch


0
 .. 
µ


φ0 =  . 
mit v = √ .
 0 
λ
v
φ20 =
V
Φ1
Wir parametrisieren nun beliebige φ durch Fluktuationen um φ0 ,


π 1 (x)


..


.
φ(x) = 
 .
 π N −1 (x) 
v + σ(x)
Φ2
(8.9)
(8.10)
Damit erhalten wir durch Einsetzen die Lagrangedichte in Abhängigkeit von den Feldern
N −1
{π k }k=1
und σ,
N −1
1 X
1
1
(∂µ π k ) (∂ µ π k ) + (∂µ σ) (∂ µ σ) − (2 µ2 )σ 2
2
2
2
k=1
√
√
λ
λ
λ
− λ µ σ3 − λ µ π2 σ − σ4 − π2 σ2 − π4 ,
(8.11)
4
2
4
wobei eine Konstante
beschreibt ein massives
√ weggelassen wurde. Diese Lagrangedichte
N −1
. Die SO(N )-Symmetrie ist
Feld σ der Masse 2µ und N − 1 masselose Felder {π k }k=1
verborgen; offensichtlich ist nur eine SO(N − 1)-Symmetrie der Felder π k .
Das Verhalten des Grundzustands, nicht die volle Symmetrie der Lagrangedichte zu
besitzen, bezeichnet man als spontane Symmetriebrechung. Im obigen Beispiel sagt man,
die Symmetrie sei spontan von SO(N ) auf SO(N − 1) gebrochen.
L
=
18 Beachte: Anstatt 4! steht hier im Bruch unter λ nur 4, um in den weiteren Ergebnissen keinen Faktor
6 mitschleppen zu müssen.
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
8.3
114
Das Goldstone-Theorem
Betrachte eine Theorie mit N Feldern {φa }N
a=1 und eine Lagrangedichte der Form
L = (Ableitungsterme) − V (φ) .
(8.12)
Es sei φ0 ein konstantes Feld, welches V minimiert, d.h.
∂
= 0,
V a
∂φ
φ=φ0
∂2
V
=: m2ab ist positiv semi-definit .
a
b
∂φ ∂φ (8.13a)
(8.13b)
φ=φ0
Entwicklung von V um das Minimum φ0 führt auf
1X 2
mab (φ − φ0 )a (φ − φ0 )b + . . . .
V (φ) = V (φ0 ) +
2
(8.14)
a,b
Betrachte nun eine allgemeine, einparametrige Symmetrietransformation
φ → ℓ(α, φ) ,
ℓ(0, φ) = φ
(8.15)
mit der Entwicklung
φ → φ + α ∆φ + O(α2 ) .
(8.16)
Hierbei sind die Komponenten von ∆φ gegeben durch
X
∆φa = ∂ξ ℓa (ξ, φ)|ξ=0 = i
Ta b φb (1 ≤ a ≤ N )
b
mit dem Generator der Symmetrietransformation T = (Ta b ).
Dabei soll Symmetrietransformation heißen, dass L invariant unter (8.15) ist. Spezialisiert man sich auf konstante Felder, so verschwinden die Ableitungsterme, und V muss
invariant unter (8.15) sein, d.h. die Bedingung der Invarianz kann geschrieben werden als
X ∂
V (φ) ∆φa = 0 .
(8.17)
a
∂φ
a
Durch Differenzieren nach φc und Einsetzen von φ = φ0 ergibt sich
2
X ∂V ∂ V
a
a
.
0 =
T
+
∆φ
|
c
φ
∂φa φ0
∂φa ∂φc φ0
| {z }0
a
{z
}
=Ta b (φ0 )b |
(8.18)
=m2ac
Der erste Term verschwindet, da φ0 ein Minimum von V ist. Also muss auch der zweite Term verschwinden. Lässt die Symmetrietransformation φ0 invariant, d.h. φ0 ist im
Kern von T a b , kann man keine weiteren Schlüsse ziehen. Ist aber ∆φ|φ0 6= 0, d.h. der
Grundzustand φ0 besitzt nicht die Symmetrie der Lagrangedichte, so ist ∆φa ein nichtverschwindender Eigenvektor der Massenmatrix m2ac = m2ca zum Eigenwert 0.
Goldstone-Theorem: Für jede spontan gebrochene kontinuierliche Symmetrie erhält
man ein Feld, welches ein masseloses Teilchen beschreibt. Dieses Teilchen nennt man
Goldstone-Boson.
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
8.4
115
Spontan gebrochene Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus)
Es geht darum, zu studieren, was passiert, wenn eine Eichsymmetrie, d.h. eine lokale
Symmetrie, gebrochen wird.
(i)
Higgs-Mechanismus für die abelsche Eichtheorie
Der einfachste Fall ergibt sich bei der Betrachtung einer abelschen Eichgruppe, also bei
der Invarianz der Lagrangedichte unter lokalen U(1)-Transformationen
φ → ei Λ(x) φ .
(8.19)
Als Lagrangedichte wählt man
1
L = (Dµ φ)(Dµ φ)∗ + µ2 φ∗ φ − λ(φ∗ φ)2 − Fµν F µν
4
(8.20)
mit
Dµ = ∂µ + i e Aµ ,
wobei gegenüber der Lagrangedichte der (skalaren) QED das Vorzeichen von m2 geändert
und der Term −λ(φ∗ φ)2 hinzugefügt wurde.
In Abwesenheit des Eichfeldes Aµ ist die Vakuumkonfiguration von φ derart, dass
r
µ2
v
|φ| =
(8.21)
=: √ .
2λ
2
φ ist darin wieder√nicht eindeutig bestimmt; wir wählen das Feld der Vakuumkonfiguration
reell, d.h. φ = v/ 2.
Nun ist es üblich, das komplexe Feld φ durch die reellen Felder σ und ξ auszudrücken,
φ(x) = ei ξ(x)/v
=
v + σ(x)
√
2
1
√ (v + σ(x) + i ξ(x) + . . . ) .
2
(8.22)
Wenn man dies in die Lagrangedichte einsetzt, sieht man, dass ξ ein masseloses Feld ist.
Dies ist ein “Möchte-Gern-Goldstone-Boson”, denn wäre die U(1) Symmetrie global, wäre
ξ das Goldstone-Boson.
Nun führen wir eine Eichtransformation mit eben diesem ξ durch,
φ(x) →
Aµ (x) →
φ′ (x) = e−i ξ(x)/v φ(x) =
A′µ (x) = Aµ (x) −
v + σ(x)
√
,
2
1
∂µ ξ(x) .
ev
(8.23)
Mit diesen neuen Feldern lautet die Lagrangedichte,
L
1 ′ µν ′ 1
1
= − Fµν
F
+ ∂µ σ ∂ µ σ + e2 v 2 A′µ Aµ′
4
2
2
1 2 ′ 2
1 2
1
+ e (Aµ ) σ (2v + σ) − σ (3λv 2 − µ2 ) −λv σ 3 − λ σ 4 .
|
{z
}
2
2
4
=2µ2
Man kann zwei wichtige Resultate ablesen:
(8.24)
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
116
(1) Es erscheint hier das Feld ξ nicht mehr; es wurde mit (8.23) weggeeicht“. Man sagt
”
auch, das Feld ξ wurde vom Eichfeld A aufgegessen“.
”
(2) Das Eichfeld A erhält durch den dritten Term 21 e2 v 2 A′µ A′µ Masse.
Man beachte, dass die Zahl der Freiheitsgrade erhalten bleibt: Zwar fehlt das Feld ξ, aber
das massiv gewordene Vektorfeld verfügt nun zusätzlich über eine longitudinale Polarisationsrichtung.
Der oben vorgestellte Mechanismus trägt den Namen Higgs-Mechanismus. Wir wollen
den Unterschied zur gebrochenen globalen Symmetrie noch kurz herausstellen:
Globale U(1)-Symmetrie
2 massive∗ Skalarfelder
⇓


 1 massives Skalarfeld 
+


1 masseloses Skalarfeld

 Lokale U(1)-Symmetrie
 2 massive∗ Skalarfelder 
+


1 Photon
⇓


 1 massives Skalarfeld 
+


1 massives Photon
Der hochgestellte Stern ∗ soll jeweils andeuten, dass es sich nicht wirklich um massive“
”
Felder handelt, sondern dass der der Parameter m2 das falsche Vorzeichen hat.
(ii)
Higgs-Mechanismus für nicht-abelsche Symmetrien
Exemplarisch soll ein SO(3)-Modell betrachtet werden. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
L =
2
1
~ · (Dµ φ)
~ +µ φ
~·φ
~ − λ(φ
~ · φ)
~ 2 − 1 F~µν · F~ µν
(Dµ φ)
2
2
4
mit den reellen Feldern


φ1
~ =  φ2  ,
φ
φ3
den Eichbosonenfeldern
 µ 
A1
~ µ =  Aµ  ,
A
2
Aµ3
der eichkovarianten Ableitung
~µ · L
~ ,
Dµ = ∂µ + g A
wo die Li die Generatoren der SO(3) sind, explizit


0 0 0
L1 = Lx = i  0 0 1  ,
0 −1 0
(8.25)
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
L2
= Ly
L3
= Lz
117


0 0 −1
= i 0 0 0  ,
1 0 0


0 1 0
= i  −1 0 0  ,
0 0 0
und den Feldstärketensoren
~ ν − ∂ν A
~µ + g A
~µ × A
~ν .
F~µν = ∂µ A
Das Vakuum ist wieder entartet, wir wählen das Feld für den Grundzustand


0
µ
φ0 =  0 
mit v = √ .
2 λ
v
Wiederum ist es vorteilhaft, die Felder {φi }3i=1 durch die Felder ξ1 , ξ2 und σ auszudrücken,


0
i
 ,
0
φ(x) = exp
(ξ1 (x) L1 + ξ2 (x) L2 ) 
(8.26)
v
v + σ(x)
Nun führen wir wieder eine Eichtransformation durch, welche, wie sich zeigen lässt, die
ξ-Felder beseitigt,
φ →
~µ · L
~ →
A
wobei
φ′ = Ω φ ,
~µ ′ · L
~ = ΩA
~µ · L
~ Ω−1 − i (∂µ Ω) Ω−1 ,
A
g
i
Ω = exp − (ξ1 L1 + ξ2 L2 ) .
v
(8.27)
(8.28)
Die Terme der Lagrangedichte mit den Eichbosonenfeldern lauten dann
1 ′ ~ ′µν 1 2 2 1 1µ
·F
+ g v (Aµ A + A2µ A2µ )
L (A) = − F~µν
4
2
(8.29)
Die Felder A1 und A2 haben Masse erhalten, A3 nicht. Dies bringt zum Ausdruck, dass
das (willkürlich festgelegte) Vakuum keine Drehsymmetrie bzgl. der 1- bzw. 2-Achse mehr
aufweist, aber die Drehsymmetrie bzgl. der 3-Achse erhalten bleibt.
In der übrigen Lagrangedichte
L (σ)
=
1
∂ µ σ ∂ µ σ + m2 σ 2 − λ σ 4
2
+höhere Terme in σ + Konstanten
(8.30)
treten die Felder ξ1 und ξ2 nicht mehr auf.
Auch hier halten wir den Unterschied zu einer gebrochenen globalen Symmetrie fest.
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
Globale SO(3)-Symmetrie
3 massive∗ Skalarfelder
⇓



1 massives Skalarfeld 
+


2 masselose Skalarfelder
118

 Lokale SO(3)-Symmetrie
 3 massive∗ Skalarfelder 
+


3 Eichfelder
⇓


1
massives
Skalarfeld 







+


2 massive Vektorfelder




+






1 masseloses Vektorfeld
Man beachte auch, dass die Zahl der Freiheitsgrade wieder konstant bleibt, d.h. die zwei
weggegessenen“ Freiheitsgrade der ξ-Felder erscheinen nun als zusätzliche longitudinale
”
Polarisationsrichtungen der Felder A1 bzw. A2 .
(iii)
Ein ‘makroskopisches’ Modell für den Higgs-Mechanismus: Supraleitung
Die makroskopische (effektive) Beschreibung eines Typ II Supraleiters erfolgt durch die
Ginzburg-Landau-Theorie. Die supraleitende Phase wird beschrieben durch ein komplexes
Ordnungsparameterfeld“ φ, das die Cooper-Paare beschreibt.
”
Ausgangspunkt ist eine die U(1)-eichkovariante Lagrangedichte für ein Skalarfeld φ im
stationären Fall, d.h. alle Zeitableitungen seien Null. Man betrachtet also
2
~ ×A
~ .
~ + ieA
~ φ∗ − m2 |φ|2 − λ|φ|4 − 1 ∇
~ − ieA
~ φ· ∇
(8.31)
L = − ∇
2
Bemerkungen:
(1) Der letzte Term ergibt sich aus dem Quadrat des Feldstärketensors:
2
1
1 ~
~
Fµν F µν =
∇×A
4
2
im statischen Fall
(2) Die Größe
−L =
2 2
1 ~
~ + ∇
~ − ieA
~ φ + m2 |φ|2 + λ|φ|4
∇×A
2
heißt Ginzburg-Landau freie Energie.
(3) In der Nähe der kritischen Temperatur Tc gilt:
m2 = a (T − Tc ) .
Die Symmetriebrechung erfolgt also für T < Tc .
Für m2 < 0 ist das Minimum der freien Energie gegeben durch
|φ|2 = −
m2
>0.
2λ
(8.32)
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
119
Der Grundzustand kann beispielsweise reell gewählt werden, d.h. er bricht die lokale U(1)~ in der Lagrangedichte. Für konstante
Symmetrie. Dies führt zu einem Massenterm für A
~
Felder φ folgen letztlich Bewegungsgleichungen für A
~ 2 − µ2 A
~ = 0,
∇
(8.33)
~ führen:
welche auf ein exponentielles Verhalten von A
~
~0 .
A(x)
∼ e−µ x A
Dies impliziert insbesondere auch ein exponentielles Abfallen von:
~ = ∇
~ ×A
~,
B
also den Meissner-Effekt.
8.5
Allgemeine Systematik beim Higgs-Mechanismus
Betrachte eine Theorie mit einer N -dimensionalen Eichgruppe G. Ausgangspunkt ist die
Lagrangedichte
1 a µν 1
Fa + (∂µ − i g Aaµ Ta ) φ (∂ µ − i g Aµ b Tb ) φ − V (φ) ,
L = − Fµν
4
2
(8.34)
wobei V so beschaffen sein soll, dass Symmetriebrechung erfolgt. Ferner ist φ ein L-Tupel
von reellen Skalarfeldern.19 Sei φ = φ0 eine Wahl von φ, die V minimiert.
Dieses Vakuum φ0 sei invariant unter einer M -dimensionalen Untergruppe H von G,
d.h. wählt man ohne Einschränkung als Generatoren von H die letzten M Generatoren
von G: {Ta }N
a=N −M +1 , so ist φ0 invariant unter
)
(
N
X
a
(8.35)
α Ta φ0 = φ0
φ0 → exp i
a=N −M +1
für beliebige αa .
Das Skalarfeld φ wird zweckmäßig parametrisiert durch
( N −M
!
)
N
X
i X a
φ = exp
ξ Ta
σa (x)
φ0 +
v a=1
(8.36)
a=N −M +1
mit linear unabhängigen σa und v = |φ0 |.
Durch die folgende Eichtransformation werden die ξ-Felder eliminiert,
)
(
N −M
i X a
′
ξ Ta φ = U φ .
φ → φ = exp −
v a=1
(8.37)
Setzt man diese Parametrisierung in die Lagrangedichte ein, so kann man Massenterme
für die Vektorfelder aufsammeln,
1
1 a
Aµ (M 2 )ab Aµ b = (g Ta φ0 |g Tb φ0 ) Aaµ Aµ b ,
2
2
(1 ≤ a, b ≤ N − M )
(8.38)
19 Wir können uns auf reelle Felder beschränken, da komplexe Felder immer in Real- und Imaginärteil
zerlegt werden können, und SU(n) ⊂ SO(2n).
8
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
120
wo mit den Klammern (·|·) das Skalarprodukt der L-komponentigen Spalten Ta φ0 bzw.
Tb φ0 gemeint ist. Das Objekt (m2 )ab ist die Massenmatrix für die Eichbosonen. Sie ist
von der Form
m2ab = ua · ub
(8.39)
mit ua = g Ta φ0 . Sie ist symmetrisch und somit diagonalisierbar. Die Diagonalelemente sind durch das Betrags-Quadrat der (transformierten) u-Vektoren gegeben, somit ist
(m2 )ab positiv definit.
Somit gibt es N − M massive Vektorfelder, die übrigen M Stück bleiben masselos.
Fazit: Spontane Symmetriebrechung bei einer N -dimensionalen Eichgruppe G, wobei
das Vakuum invariant ist unter der M -dimensionalen Symmetriegruppe H ⊂ G, lässt sich
wie folgt zusammenfassen:
L massive∗ Skalarfelder
+ N masselose Eichfelder



L − N + M massive Skalarfelder 
+ M masselose Vektorfelder
=⇒


+ N − M massive Vektorfelder
9
RENORMIERUNG
9
121
Renormierung
9.1
Strategie
Erinnern wir uns zunächst an die “φ4 Theorie”. Die Lagrangedichte sei also
L =
1
1
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 − g φ4 .
2
2
4!
(9.1)
Wir hatten bereits in Abschnitt 4.5 (iii) gesehen, dass man das Diagramm
: g
Z
d4 q
1
= ∆F (0) ,
4
2
(2π) q − m2
wobei
∆F (x) =
Z
1
d4 q i q·x
e
= − i − T φ(x) φ(0) − ,
4
2
2
(2π)
q − m + iε
wegdiskutieren kann. Wir werden uns diesem Diagramm später nochmal widmen.
Hier soll zunächst das die Vertex-Korrektur
p1
p3
p4
p2
= g2
|
Z
1
d4 q
4
2
2
(2π) (q − m ) ((q − p2 − p1 )2 − m2 )
{z
}
(9.2)
=: g 2 I
angesehen werden. Wir werden sehen, dass das Integral nicht konvergiert.
Es treten zweierlei Fragestellungen auf:
(1) Technisch: Wie berechnet man solche Diagramme, konkret wie kann man die Integration über den Schleifenimpuls q durchführen?
(2) Konzeptionell: Wie kann man Sinn aus divergierenden Integralen machen?
Das erste Ziel ist es, explizit zu sehen, dass I divergiert. Dazu müssen wir einige RechenSchritte durchführen, die bei der Renormierung häufig wiederkehren.
Feynman-Parametrisierung.
1
AB
=
=
Z1
Wir benutzen zunächst die Formel
dx
0
1
[A x + B (1 − x)]2
Z1
dx
Z1
0
0
dy
1
δ(x + y − 1) .
[A x + B y]2
(9.3)
9
RENORMIERUNG
122
Damit erhalten wir für den Integranden (mit der Abkürzung P = p1 + p2 )
1
=
(q 2 − m2 + i ε) [(q − P )2 − m2 + i ε]
=
Z1
dx
0
Z1
dx
0
1
[x q 2
1
[q 2
−
m2
+ 2(1 − x) P · q + (1 − x) P 2 ]
2
−
x m2
2
+ (1 − x) (q − P )2 + (x − 1) m2 ]
.
(9.4)
Nach quadratischer Ergänzung bekommt man für den Ausdruck in den eckigen Klammern
2
(9.5)
[. . . ] = (q + (1 − x) P ) − P 2 x (1 − x) + m2 ,
{z
} |
|
{z
}
=:p2
=:∆
d.h. da eine Verschiebung der Integrationsvariable irrelevant ist
I =
Z1
0
dx
Z
1
d4 p
.
(2π)4 [p2 − ∆]2
(9.6)
Wick-Rotation. Der nächste Schritt besteht darin, eine sog. Wick-Rotation durchzuführen, d.h. anstatt die 0-te Komponente entlang der reellen Achse zu integrieren (s.
Abb. 3). Das führt dann auf einen euklidischen Viererimpuls pE wobei
Im p0
−
p
p~ 2 + ∆ + i ε
Re p0
p
p~ 2 + ∆ − i ε
Abbildung 3: Wick Rotation.
9
RENORMIERUNG
123
p0 = i p0E .
Damit hat man (für allgemeine Potenzen von [. . . ])
Z
Z
1
1
i
1
d4 p
=
d4 pE 2
n
4
2
n
n
4
(2π) (p − ∆)
(−1) (2π)
[pE + ∆]
Z∞
Z
ρ3
i (−1)n
dρ 2
=
dΩ
.
4
4
(2π)
[ρ + ∆]n
(9.7)
0
Für den betrachteten Fall n = 2 divergiert das Integral; streng genommen hätten wir die
Wick-Rotation nicht durchführen dürfen.
Jetzt können wir den Grund der Divergenz hinterfragen. Dazu erinnern wir uns daran, dass wir das Skalarfeld zunächst zur Beschreibung der schwingenden Saite eingeführt
haben. Die φ4 Theorie kann auch zur Beschreibung von Mesonen verwendet werden. In
beiden Fällen macht es offensichtlich wenig Sinn, die Impulsintegration hierbei bis ∞
durchzuführen. Bei höheren Impulsen (oder, äquivalent dazu, kleineren Abständen) macht
diese Beschreibung keinen Sinn mehr. Bei der Saite würde man sehen, dass sie sich aus
Atomen zusammensetzt, und die Mesonen würden in Quarks ‘aufbrechen’. Eine Möglichkeit ist nun, den Bereich der Impulsintegration ad hoc einzuschränken, etwa indem wir in
(9.7)
ZΛ
Z∞
dρ
dρ →
(9.8)
0
0
mit einem Abschneide- oder Cut-Off-Parameter Λ ersetzen. Ein plausibler Wert für Λ
wäre beispielsweise die Energie- (bzw. inverse Längen-)Skala, bei der die Beschreibung der
schwingenden Saite (oder was auch immer) zusammenbricht. Das “Endlich-Machen” der
divergenten Integrale wird als Regularisierung bezeichnet.
Mit dieser ad hoc Methode haben wir nun erreicht, dass die Übergangsamplitude auf
dem 1-Loop Niveau gegeben ist durch
p1
p3
p1
p3
p2
p4
=
p2
p4



p1

+

 p2


p3
p1
p3
p2
p4
+
p4
p1
p4
p2
p3
+
= g + g 2 [I(Λ, p1 , . . . p4 ) + Permutationen der pi ] .










(9.9)
Für die gegenwärtige Diskussion brauchen wir I(Λ, p1 . . . p4 ) nicht explizit auszurechnen.
Aber aus den Symmetrien des Problems und der Struktur des Integrals (9.7) können wir
9
RENORMIERUNG
124
schließen, dass
[. . . ] ∝ ln
Λ2
s
+ ln
Λ2
t
+ ln
Λ2
u
(9.10)
mit den Mandelstam-Variablen s, t und u. Die Relation (9.9) hat einige wichtige, unmittelbare Konsequenzen.
(1) Wir sehen, dass die 4-Punkt Amplitude nicht durch die Kopplung g, die in der
Lagrangedichte auftritt, gegeben ist, sondern durch (9.9). Das bedeutet, dass die
Parameter der Lagrangedichte nicht unmittelbar den Kopplungsstärken, die in Experimenten zugänglich sind, entsprechen.
(2) Die Amplitude ist abhängig von Λ. Allerdings ist der Parameter Λ ist nicht wirklich bestimmt. Man könnte Λ als 1/10 der Skala setzen, bei der die Beschreibung
zusammenbricht.
(3) Das Ergebnis ist abhängig von der Regularisierung. Mit unserer Diskussion konnten
wir irgendwie rechtfertigen, dass wir die Impulsintegration abschneiden. Aber was
ist mit Quanteneffekten von Moden mit Impulsen größer Λ?
Um nun weiterzukommen, erinnern wir uns daran, dass das Ziel der Theorie ist, Vorhersagen für Experimente zu machen. Wie können wir das bewerkstelligen? Wir können
einen Wert für Λ wählen, der uns sinnvoll erscheint, und dann fordern, dass für eine Impulskonstellation (ausgedrückt durch s, t und u) die Messung reproduziert wird. M.a.W.,
wir müssen die Kopplung g in der Lagrangedichte so wählen, dass die Amplitude mit der
Messung konsistent ist, d.h.
g = g(s, t, u, Λ) .
(9.11)
Diese Bedingungen werden wir später als Renormierungsbedingungen bezeichnen. Die
Theorie ist dann vorhersagekräftig in dem Sinn, dass man, wenn man g für eine Impulskonstellation an das Experiment anpasst, die Amplituden für alle anderen (sinnvollen)
Konstellationen berechnen kann. Allerdings ist es nicht-trivial, dass das auch funktioniert.
Man könnte sich vorstellen, dass man mehr ‘Anpassungen’ an das Experiment benötigt
als man Parameter in der Lagrangedichte hat. Später werden wir Theorien, in denen das
ohne Weiteres funktioniert, als ‘renormierbar’ bezeichnen.
Pauli-Villars Regularisierung. Bevor wir nun die Renormierung der QED diskutieren, soll eine Alternative zu dem oben diskutierten ad hoc Anschneiden der Impulsintegration erwähnt werden. Als ‘Pauli-Villars Regularisierung’ bezeichnet man eine Vorgehensweise, in der die Propagatoren ersetzt werden gemäß der Vorschrift
1
1
m2 − Λ 2
1
→
−
=
.
k 2 − m2
k 2 − m2
k 2 − Λ2
(k 2 − m2 )(k 2 − Λ2 )
Diese Struktur würde sich ergeben, wenn es weitere Freiheitsgrade mit großen Massen
(Λ) geben würde, die auf Schleifenkorrekturen mit entgegengesetzten Vorzeichen führen
würden. Dann würden die Strahlungskorrekturen für k 2 > Λ2 verschwinden, insbesondere
wären die Strahlungskorrekturen insgesamt endlich. Obwohl diese Methode eine einfache
Interpretation hat, stellt sich leider heraus, dass sie mit Eichtheorien nicht harmoniert.
Deswegen wird davon hier nicht Gebrauch gemacht.
9
RENORMIERUNG
9.2
(i)
125
Renormierung in der QED
Fragestellung
In der QED gibt es Schleifendiagramme, z.B. die Strahlungskorrekturen aus Abb. 4.
γ
γ
γ
γ
γ
(a) Vakuumpolarisation.
(b) Selbstenergie.
(c) Vertex-Korrektur.
Abbildung 4: Beispiele für Schleifendiagramme in der QED.
Die Frage ist nun, was die Implikationen dieser Strahlungskorrekturen sind. Diese Frage
zu beantworten ist Wir werden sehen, dass die entsprechenden analytischen Ausdrücke
(formal) divergieren. In diesem Abschnitt werden wir die Divergenzen beseitigen und die
physikalischen Implikationen der Strahlungskorrekturen diskutieren.
Vakuum-Polarisation.
Als Polarisationstensor bezeichnet man
γ µ
i Πµν (k) =
q
ν γ
q−k
k
k
i (q − k + m)
i (q + m)
d q
µ
ν
. (9.12)
tr (−i e γ )
(−i e γ ) 2
= −
(2π)4
(q − k)2 − m2 + i ε
q − m2 + i ε
Hierbei betrachten wir das amputierte Diagramm, d.h. die analytischen Ausdrücke für
die Teilchen im Anfangs- bzw. Endzustand werden weggelassen. In dem betrachteten Fall
entspricht Πµν (k) bis auf die Polarisationsvektoren der ein- bzw. auslaufenden Photonen
dieser der Übergangsamplitude für die “Vakuumspolarisation”,
Z
4
µν (f )
Mf i = ε(i)
εν .
µ · iΠ
Dieser Ausdruck für den Polarisationstensor ist so, wie er in (9.12) angegeben ist, nicht
wohldefiniert, denn das Integral divergiert quadratisch.
Man kann jetzt versuchen, den tieferen Grund für das Auftreten der Divergenz zu identifizieren. Wie bereits diskutiert, ist dafür ausschlaggebend, dass sich das Integral in (9.12)
bis ∞ erstreckt. D.h. wir betrachten das Elektron und das Photon als punktförmige Teilchen. Die Divergenzen werden mit Impulsmoden assoziiert, deren Komponenten beliebig
große Einträge besitzen können. Wir könnten argumentieren, dass die Schleifenkorrekturen
endlich sind, wenn man die Integration auf gewisse Bereiche im Impulsraum einschränkt.
Andererseits hängen dann die Ergebnisse von dem Abschneide-Parameter ab. Wir werden
später eine Alternative diskutieren, die gewisse (technische) Vorteile hat.
Das Verfahren der Renormierung, das wir im Folgenden diskutieren, erfordert einige
Schritte, die auf den ersten Blick nur schwer zu verdauen sind. Wir werden aber zum guten
Schluss eine Prozedur entwickelt haben, deren Ergebnisse sehr gut mit den Experimenten
übereinstimmen. Es wird sich erweisen, dass durch Umparametrisierung die Theorie endlich gemacht werden kann. Dies hat zur Folge, dass man die Werte für die Parameter Masse
m, Ladung e etc. nicht als diejenigen ansehen darf, die man in die Lagrangedichte steckt.
Sie werden durch Normierungsbedingungen mit den n-Punkt-Funktionen in Verbindung
gebracht.
9
RENORMIERUNG
126
Regularisierung. Da die Übergangsamplitude Mf i nicht divergieren darf, sollte es ein
Verfahren geben, einen regularisierten Polarisationstensor Πµν
R zu konstruieren, der die
Physik richtig beschreibt.
Jetzt gehen wir davon aus, bereits den regularisierten Polarisationstensor Πµν
R zu kennen.
Aus den bekannten Eigenschaften kann man einige Folgerungen ziehen.
Man kann zeigen:
Z
µν
i Π (k) =
d4 x h− |T (j µ (x)j ν (0))| −i e−i k·x ,
(9.13)
mit dem Operator der (elektromagnetischen) Stromdichte
j µ = e Ψγ µ Ψ .
Wegen der Stromerhaltung,
∂µ j µ = 0 ,
und der Form (9.13) kann man schließen, dass
kµ Πµν = 0 .
(9.14)
Diese Eigenschaft soll sich auf den regularisierten Polarisationstensor übertragen, d.h.
kµ Πµν
R = 0.
(9.15)
Wegen der Lorentzkovarianz kann man folgern
2 µν
Πµν
− k µ k ν ) · Π(R) (k 2 )
(R) (k) = (k η
(9.16)
mit einer skalarwertigen Funktion Π(R) (k 2 ).
Für den vollen“ Photon-Propagator, der alle Aneinanderreihungen von Schleifen berück”
sichtigt,20
=
+
+
+ ... .
Damit ergibt sich
i Dµν (k) = i D0µν (k) + i D0µκ (k) i Πκλ i D0λν (k) + . . . ,
wobei
D0µν (k)
1
= − 2
k
η
µν
kµ kν
+ (α − 1) 2
k
(9.17)
der Photonpropagator (5.53) ist.
20 Für einen wirklich vollen Propagator müsste man alle Diagramme mitnehmen, nicht nur die Aneinanderreihung von Schleifen.
9
RENORMIERUNG
127
Betrachte z.B. α = 1. Dann ist
= −i
=
−i
(−i) η λν
i η µκ η µν
i k 2 η κλ − k κ k λ Π(k 2 )
+ ...
− 2
+ iε k + iε
k2
k2
η µν
η µκ
η µκ
−i 2
∆νκ Π(k 2 ) − i 2
∆λ ∆ν [Π(k 2 )]2 + . . . ,
+ iε
k + iε
k + iε κ λ
k2
(9.18)
wobei
kκ k ν
k2
ein Projektor auf Vektoren, die ‘senkrecht’ auf k sind, ist. Der Projektor ∆νκ hat die
offensichtliche Eigenschaft
∆νκ = ηκν −
∆λκ ∆νλ = ∆νκ .
Somit ergibt sich
= −i
=
−i
(k 2 + i ε) [1 − Π(k 2 )]
η µν
i η µκ
− 2
2
k + iε k + iε
ηκν −
kκ k ν
k2
Π(k 2 ) + Π2 (k 2 ) + . . . )
kµ kν
i
kµ kν
µν
η −
−
.
k2
(k 2 + i ε) k 2
Für allgemeine Eichfixierungsparameter α erhält man
kµ kν
kµ kν
1
i
µν
µν
η −
+α 2
.
i D (k) = − 2
k + i ε 1 − Π(k 2 )
k2
k
(ii)
(9.19)
(9.20)
Regularisierung
Dimensionale Regularisierung. Hierbei wird die Feldtheorie in d Dimensionen untersucht, wobei sich erweisen wird, dass d 6= 4 sind die Ausdrücke endlich sind. Dann wird
der Limes d → 4 gebildet.
Dimensionale Analyse.
Betrachte die Lagrangedichte
1
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ − e Ψ γ µ Ψ Aµ − F µν Fµν + Eichfixierung .
4
In d Dimensionen ergibt sich für die Lagrangedichte die Massendimension:
dim[L ] = d ,
denn die Wirkung
Z
S =
dd x L
ist dimensionslos. Man kann leicht die folgenden Relationen ableiten:
dim[∂µ ] = 1 ,
dim[Ψ] =
d−1
,
2
9
RENORMIERUNG
128
d
−1,
2
dim[Aµ ] =
dim[Aµ Ψ γ µ Ψ] =
3
d−2.
2
(9.21)
Damit der Wechselwirkungsterm ebenfalls die Massendimension 1 erhält, ersetzt man die
Ladung
e → e µ2−d/2 ,
dim[µ] = 1 .
Darin ist der zusätzliche Parameter µ willkürlich, er muss lediglich die Massendimension
1 haben.
Damit lautet der Wechselwirkungsterm
Lint = − e µ2−d/2 Ψ γ µ Ψ Aµ .
(9.22)
Bemerkung zur Dirac-Algebra in d Dimensionen: Im Allgemeinen konstruiert man
die Spinor-Darstellung in d Dimensionen analog zu der vierdimensionalen Version. Speziell für Renormierungszwecke, d.h. für dimensionale Regularisierung, hat sich ein Rezept
etabliert, das auf besonders wenig Komplikationen führt (das aber auch nicht wirklich die
d-dimensionale Physik wiedergibt). Die Clifford-Algebra wird weiterhin von Objekten γ µ
gebildet, die
{γ µ , γ ν } = 2 η µν
erfüllen, wobei allerdings

1 0
 0 −1

η µν =  0 0

..
..
.
.
(9.23)
hier

0 ···
0 ··· 

−1 · · · 

..
..
.
.
(9.24)
ist. Die Spur dieses metrischen Tensors ist
ηµ µ = d ,
die Spur der Einheitsmatrix im Spinor-Raum ist eine Funktion von d:
tr 1 = f (d) ,
mit f (4) = 4 .
Wir werden im Folgenden
f (d) = 4
wählen, wofür die Ausdrücke besonders einfach werden. Somit ist
tr(γµ γν ) = f (d) ηµν = 4 ηµν
(9.25)
und die Spur einer ungeraden Anzahl an γ-Matrizen verschwindet. Desweiteren gilt
tr (γµ γκ γν γλ ) = 4 {ηµκ ηνλ − ηµν ηκλ + ηµλ ηκν }
γ µ γ ν γµ = (2 − d) γ ν ,
µ ν ρ
γ γ γ γµ = 4 η νρ − (4 − d) γ ν γ ρ ,
γ µ γ ν γ ρ γ σ γµ
= −2 γ σ γ ρ γ ν + (4 − d) γ ν γ ρ γ σ .
(9.26a)
(9.26b)
(9.26c)
(9.26d)
9
RENORMIERUNG
(iii)
129
Dimensionale Regularisierung des Vakuum-Polarisations-Tensors
In d Dimensionen ist der Vakuum-Polarisationstensor gegeben durch
µ
Z
γ (q + m) γ ν (q − k + m)
dd q
,
tr
Πµν (k) = i e2 µ4−d
(2π)d
(q 2 − m2 ) [(q − k)2 − m2 ]
(9.27)
wobei die i ε-Terme im Nenner bereits weggelassen wurden.
Mit der Feynman-Parametrisierung (9.3),
1
=
AB
Z1
dx
0
1
[A x + B (1 − x)]2
wird mit
A = (q − k)2 − m2
und B = q 2 − m2
und der Substitution
p = q −kx
der Nenner symmetrischer,
µν
Π (k)
=
2
4−d
tr
ie µ
Z
dd p
(2π)d
Z1
dx
0
ν
γ µ (p
+ k x + m) γ (p
− k (1 − x) + m)
[p2 − m2 + k 2 x (1 − x)]2
.
(9.28)
Nach einigen Umformungen (siehe Übung) wird daraus:
µν
Π (k)
=
2
4−d
ie µ
4
Z1
0
−
dx
Z
dd p
(2π)d
2 pµ pν
[p2 − m2 + k 2 x (1 − x)]2
2x (1 − x) [k µ k ν − η µν k 2 ]
η µν
− 2
2
2
2
p − m + k x (1 − x)
[p − m2 + k 2 x (1 − x)]2
Wir interessieren uns nun für die Berechnung von Integralen der Form
Z
f (p2 )
Id =
dd p 2
.
[p − ∆]n
.
(9.29)
(9.30)
Der erste Schritt ist eine Wick-Rotation, d.h. anstatt die 0-te Komponente entlang der
reellen Achse zu integrieren (s. Abb. 3). Damit erhalten wir für den Fall f (p2 ) = 1
Z
Z
1
i
1
dd pE 2
=
dd p 2
n
n
(p − ∆)
(−1)
[pE + ∆]n
Z
Z∞
ρd−1
n
= i (−1)
dΩd dρ 2
.
(9.31)
[ρ + ∆]n
0
Im letzten Schritt haben wir ρ = |pE | gesetzt. Für das Oberflächenintegral ergibt sich (s.
Übung)
Z
2π d/2
.
(9.32)
dΩd =
Γ( d2 )
9
RENORMIERUNG
Γ-Funktion.
130
Die Γ-Funktion ist erklärt durch
Z∞
dt tz−1 e−t ,
Γ(z) =
(9.33)
0
besitzt die Eigenschaft
Γ(1 + z) = z Γ(z) ,
(9.34)
d.h. Γ ist eine ‘kontinuierliche Erweiterung der Fakultät,
Γ(1 + n) = n!
für n ∈ N0 .
(9.35)
Eine wesentliche Eigenschaft der Γ-Funktion ist, dass Γ(z) Pole besitzt für z = 0, −1, −2, . . . .
Das ρ-Integral lässt sich weiter umformen, speziell für n = 2 ergibt sich
Z∞
dρ
ρd−1
2
[ρ + ∆]n
=
1
2
Z∞
(ρ2 )d/2−1
d(ρ2 ) 2
[ρ + ∆]2
0
0
=
1
2
1
∆
2−d/2 Z∞
dy y 1−d/2 (1 − y)d/2−1 ,
(9.36)
0
2
wobei y = ∆/(r + ∆). Es lässt sich damit auf die Euler’sche Beta-Funktion
B(n, m) =
Z1
0
dy y n−1 (1 − y)m−1 =
Γ(n) Γ(m)
Γ(n + m)
zurückführen. Insgesamt erhalten wir
2−d/2
Z
Γ(2 − d/2) 1
1
i
dd p
.
=
(2π)d [p2 − ∆]2
Γ(2)
∆
(4π)d/2
Dieser Ausdruck kann verallgemeinert werden (s. [PS95, S. 807]),
n−d/2
Z
1
i (−1)n Γ(n − d/2) 1
dd p
,
=
(2π)d [p2 − ∆]n
Γ(n)
∆
(4π)d/2
n−d/2−1
Z
dd p
p2
i (−1)n−1 d Γ(n − d/2 − 1) 1
=
.
(2π)d [p2 − ∆]n
Γ(n)
∆
(4π)d/2 2
(9.37)
(9.38a)
(9.38b)
(9.38c)
Man beachte, dass diese Ausdrücke auch für nicht-ganzzahlige Werte von d definiert sind.
Mit solchen Überlegungen kommt man auf
Πµν (k) = (k µ k ν − η µν k 2 ) Π(k 2 ) ,
(9.39)
wobei
e2 Γ(εd /2) εd
−Π(k ) =
µ
2π 2 (4π)−εd /2
2
Hierbei ist
Z1
0
dx
x (1 − x)
.
[m2 − k 2 x (1 − x)]εd /2
(9.40)
9
RENORMIERUNG
131
εd = 4 − d .
Mit den Entwicklungen
aεd = exp(εd ln a) = 1 + εd ln a + . . .
und
Γ(εd /2) =
2
− γ + O(εd ) ,
εd
wo γ = 0, 57722 . . . die Euler-Mascheroni-Konstante ist, erhält man


Z1

2
2
2 
1
m
−
k
x
(1
−
x)
γ
e
dx
x
(1
−
x)
ln
+
O(ε
)
−
−
3
−Π(k 2 ) =
d

6π 2  εd
2
4π µ2
0

√
5 1 k2
γ

 1
|k 2 | ≫ m2 ,
e2  εd + ln 4π − 2 + 6 − 2 ln µ2 ,
=
(9.41)
√
1 m2
k2
1
γ
6π 2 
2
2

+ ln 4π − − ln 2 +
,
|k
|
≪
m
.

εd
2 2
µ
10m2
Fazit:
Die Divergenz von Πµν lässt sich also auf einen einfachen Pol in εd zurückführen.
Interpretation:
Betrachte den Prozess
p+k
Dµν (k)
k
e0
P −k
k
e0
P
p
Hierbei verwenden wir α = 1, d.h. der Photon-Propagator ist
i Dµν (k) = −
k2
i
1
η µν .
+ i ε 1 − Π(k 2 )
Der Nenner dieses Propagators divergiert. In diesem Streuprozess kann man nicht den
Propagator des Photons für sich messen, sondern nur die Kombination:
i e20 Dµν (k) = −
k2
i
e20
η µν .
+ i ε 1 − Π(k 2 )
Dabei ist e0 die Kopplungskonstante der elektromagnetischen Wechselwirkung, die nicht
direkt experimentell zugänglich ist. Man fordert, dass der physikalisch beobachtbare Ladung gegeben ist durch
e2 =
e20
,
1 + Π(k 2 )
9
RENORMIERUNG
132
d.h. man kann entweder mit e0 rechnen und alle Schleifen berücksichtigen oder die Schleifen weglassen und mit der effektiven Konstante“ e2 arbeiten. Der Parameter Kopp”
”
lungsstärke“ geht also nicht direkt in der Lagrangedichte in die Theorie ein, sondern erst
später.
Insbesondere ist wegen der k-Abhängigkeit des Nenners 1+Π(k 2 ) die Ladung e ebenfalls
k-abhängig; für k ≈ 0 ergibt sich der bekannte Wert
4π
.
137
e2 (0) =
Für endliche k spaltet man den Polarisationstensor auf,21


Z1

2 
2
2
e
1
m − k x (1 − x)
γ
Π(k 2 ) = − 02
+
O(ε
)
− − 3 dx x (1 − x) ln
d

6π  εd
2
4πµ2
0
=
mit
Π(0) − ∆Π(k 2 ) ,
(9.42)


Z1

γ
m2
e20  1
− − 3 ln
dx
x
(1
−
x)
Π(0) = − 2

6π  εd
2
4πµ2
(9.43)
0
und
e2
∆Π(k ) = − 02
2π
2
Z1
0
dx x (1 − x) ln
m2 − k 2 x (1 − x)
.
m2
(9.44)
Damit erhält man
e2 (k 2 )
e20
e20
=
1 + Π(k 2 )
1 − Π(0) + ∆Π(k 2 )
2
e0
∆Π(k 2 )
=
1−
+ ...
1 − Π(0)
1 − Π(0)
e2 k 2
= e2 1 −
für |k 2 | ≪ m2 .
60π 2 m2
=
(9.45)
Dieses Ergebnis, das die Änderung der Kopplungsstärke impliziert, wird später diskutiert.
(iv)
Selbstenergie des Elektrons
Das Fermion kann nicht nur frei propagieren, sondern auch mit sich selbst wechselwirken. Für die Übergangsamplitude ergibt sich nach den Feynman-Regeln (für
den Eichfixierungsparameter α = 1)
Σ(p)
= −i e2 µ4−d
Z
p+k
p
p
k
1
η µν
dd k
γµ
γν 2
d
(2π)
k
p
+ k − m
21 Die Aufspaltung ist natürlich willkürlich. Die Art, wie man solche Größen wie den Polarisationstensor
in divergente und nichtdivergente Anteile aufteilt, wird später als Renormierungschema bezeichnet werden.
9
RENORMIERUNG
2
133
4−d
= −i e µ
Z
µ
dd k γµ (p
+ k + m) γ .
(2π)d [(p + k)2 − m2 ] k 2
(9.46)
Analog zur Vakuumpolarisation findet man
Σ(p)
=
e2
e2
{p(1 + γ) − 2m (1 + 2 γ)}
(4
m
−
p)
+
8π 2 εd
16 π 2 Z1
p2 x (1 − x) − m2 x
+ 2 dx {p
.
(1 − x) − 2 m} ln
4π µ2
(9.47)
0
“Voller Propagator”.
Anstatt des freien Propagators betrachte
=
+
+
SF (p)
(0)
+ ...
(0)
(0)
= SF (p) + SF (p) Σ(p) SF (p) + . . .
1
(0)
= SF (p)
(0)
1 − Σ(p) SF (p)
−1
1
1
=
1 − Σ(p)
p
(p
− m0
− m0 )
1
=
.
p
− m0 − Σ(p)
(9.48)
Man spricht von der Ein-Schleifen-Ordnung, um tatsächlich den vollständigen Propagator
zu erhalten, müsste man noch Diagramme vom Typ
und deren Verallgemeinerungen betrachten. Es zeigt sich jedoch, dass diese auf nichts
qualitativ Neues führen.
Spaltet man die Selbstenergie auf,
Σ(p) = A(p) p + B(p) ,
(9.49)
so erhält man für den Propagator
SF (p) =
Z(p)
1
=
,
p
−
1 − A(p) p
−
m
+
B(p)
0
m(p)
(9.50)
9
RENORMIERUNG
134
wobei
und m(p) = Z(p) m0 + B(p) .
1
1 − A(p)
Z(p) =
Die Größe m(p) entspricht der physikalischen Masse, durch Z(p) wird die Wellenfunktion
renormiert. D.h. die Vorschrift der (kanonischen) Normierung von Zuständen wird durch
Quantenkorrekturen modifiziert.
(v)
Vertex-Korrektur
Betrachte das Diagramm
p′
ν
p′ −k
q
=: i e Λµ (p′ , p)
µ
k
p−k
ν
p
Nach den Feynman-Regeln ergibt sich für die Übergangsamplitude
Z
−i
i
i
dd k
ν
γ
γ
γ
Λµ (p′ , p) = − e2 µ4−d
ν
µ
′
(2π)d k 2
p
− k − m p
− k − m
(9.51)
mit p′ = pi − q und p + k = pi . Dies ist die erste Korrektur zu einem “vollen” Vertex,
p′
p+q
p+q
q
q
q
=
+
+ ... ,
p
p
p
i e Γµ (p′ , p)
= i e γ µ + i Λµ (p′ , p) + . . . .
Man kann mit der dimensionalen Regularisierung diesen Term auf die folgende Form bringen (vgl. Übung),
′
2
4−d
Λµ (p , p) = − 2i e µ
Z1
0
dx
1−x
Z
dy
0
Z
dd k
(2π)d
′
′
ν
γν [p
(1 − y) − p
x − k + m] γµ [p
(1 − x) − p
y − k + m] γ .
[k 2 − m2 (x + y) + p2 x (1 − x) + p′2 y (1 − y) − 2 p · p′ x y]3
(9.52)
Dieses Integral beinhaltet – im Gegensatz zum Vorangegangenen – divergente und konvergente Anteile. Die konvergenten Anteile sind diejenigen ohne k-Terme im Zähler; sie
werden später behandelt (s. (vii)).
9
RENORMIERUNG
135
Für den divergenten Anteil von (9.52) ergibt sich ein ähnlich komplizierter Ausdruck.
Allerdings kann man sich seine Berechnung schenken, wie das folgende zeigt:
Bisher konnten die Divergenzen im Propagator des Photons bzw. Elektrons beseitigt
werden, indem die beiden Parameter der Theorie, die Ladung und die Masse des Elektrons,
renormiert wurden. Auf den ersten Blick würde man erwarten, dass die Beseitigung der
Divergenz nach dem Schema
i e0 Γµ → i ephysikalisch γ µ
auf eine zweite Renormierung der Ladung führen würde. Dies ist aber nicht der Fall, wie
der folgende Abschnitt zeigt.
(vi)
Ward-Takahashi-Identitäten
Wegen (s. Übung)
1
1
1
∂
= −
γµ
−
m
p
−
m
p
−
∂pµ p
m
′
gilt für q = p − p → 0 die Ward-Identität (auf Tree-Level)
Λµ (p, p) = −
∂Σ(p)
.
∂pµ
(9.53)
(9.54)
Diese deutet schon an, dass man die Vertex-Korrektur und die Selbstenergie nicht getrennt betrachten kann. Diese Aussage lässt sich weiter fassen.
Aus
−i e qµ γ µ = − i e {(p
+ q − m) − (p
− m)}
sieht man
i
i
i
i
.
(i e q)
= e
−
p
p
p
+ q − m
−m
−m p
+ q − m
Diese Formel entspricht graphisch


p+q
qµ ·
µ
q
p




= e·




p
−
p
(9.55)



 .



p+q
p+q
Dazu wollen wir eine Verallgemeinerung finden in der Form


p+q
µ
q ·
µ
q
p




= e·




p
−
p
p+q 



 .



p+q 
(9.56)
9
RENORMIERUNG
136
Dies ist ein Spezialfall der sog. Ward-Takahashi-Identität.
Um (9.56) zu zeigen, betrachtet man das erzeugende Funktional der QED,
Z
Z
Z[J, η, η] = N DA DΨ DΨ exp i d4 x LQED + LQuellen ,
mit
LQED
LQuellen
1
1
= − F µν Fµν + i Ψ γ µ (∂µ + i e Aµ ) Ψ − m Ψ Ψ −
(∂µ Aµ )2 ,
4
2α
= Jµ Aµ + η Ψ + Ψ η .
Der Eichfixierungsterm und auch die Quellterme zerstören die Eichinvarianz der Lagrangedichte. Die n-Punktfunktionen müssen aber unabhängig von der Wahl von A sein. Betrachte nun die folgende (infinitesimale) Eichtransformation
Aµ →
Ψ →
Ψ →
Aµ + ∂µ Λ ,
Ψ − ieΛΨ ,
Ψ + ieΛΨ .
(9.57)
Unter ihr bleibt Z invariant, denn sie entspricht lediglich einer Verschiebung der Integrationsvariablen, deshalb sollte in Analogie zu:
Z∞
Z∞
dx f (x) =
dx f (x + a)
−∞
−∞
das Pfadintegral invariant bleiben, da auch hier über alle Feldkonfigurationen integriert
wird.
Durch Einsetzen der Transformation entsteht ein zusätzlicher Faktor im Argument des
Funktionalintegrals,
Z
1
1 µ
2
µ
4
( Λ) + J ∂µ Λ − i Λ (η Ψ − Ψ η)
exp i d x − (∂ Aµ ) Λ −
α
2α
Z
1
µ
µ
4
≈ 1 + i d x − (∂ Aµ ) − ∂ Jµ − i e (η Ψ − Ψ η) Λ ,
(9.58)
α
nach Entwicklung in Λ und partieller Integration. Diesen Faktor ziehen wir mit den üblichen Ersetzungen
δ
δ
δ
, Ψ →
, Aµ →
Ψ →
i δη
i δη
i δJ µ
vor das Pfadintegral und erhalten für infinitesimale, aber sonst beliebige Λ
Z
δ
i
δ
4
µ
µ δ
1 + i d xΛ
Z[J, η, η] = Z[J, η, η]
− ∂ Jµ − e η
∂
−η
α
δJ µ
δη
δη
wegen der Invarianz.22 Da nun Λ beliebig ist, erhalten wir
δ
i
∂ µ µ − ∂ µ Jµ − e
α
δJ
δ
δ
η
Z[J, η, η] = 0 .
−η
δη
δη
Diese Gleichung gilt in der selben Form auch für
W = − i ln Z .
22 Beachte,
dass das Spinorprodukt symmetrisch ist, ψ χ = χ ψ.
(9.59)
9
RENORMIERUNG
137
Effektive Wirkung in der QED. An diesem Punkt führt man eine effektive Wirkung
durch Legendretransformation ein
Z
(9.60)
Γ[Ψ, Ψ, A] = W [J, η, η] − d4 x η Ψ + Ψ η + J µ Aµ .
Diese generiert wieder die OPI-Diagramme. Man findet durch Nachrechnen
δΓ
= − J µ (x) ,
δAµ (x)
δΓ
= − η(x) ,
δΨ(x)
δΓ
= − η(x) ,
δΨ(x)
δW
= Aµ (x) ,
δJµ (x)
δW
= Ψ(x) ,
δη(x)
δW
= Ψ(x) .
δη(x)
Durch Einsetzen von (9.60) in (9.59) entsteht:
δΓ
δΓ
δΓ
= 0.
− ∂ µ Aµ (x) + i ∂ µ µ
+ i e Ψ(x)
− i e Ψ(x)
α
δA (x)
δΨ(x)
δΨ(x)
(9.61a)
(9.61b)
(9.61c)
(9.62)
Funktionalableitung nach Ψ(y) und Ψ(z) und anschließendes Setzen von A = Ψ = Ψ = 0
führt auf:
δ 2 Γ[0, 0, 0]
δ 2 Γ[0, 0, 0]
δ 3 Γ[0, 0, 0]
=
e
δ(x−z)
−e
δ(x−y)
.(9.63)
−i ∂xµ
δΨ(y) δΨ(z) δAµ (x)
δΨ(y) δΨ(x)
δΨ(x) δΨ(z)
Die OPI-n-Punkt-Funktionen23 im Fourierraum werden wieder so definiert, dass die ‘EnergieImpuls-erhaltende δ-Funktion’ herausgekürzt wird. Die einzige nichtverschwindende 2Punkt-Funktion lautet beispielsweise
Z
′
δ 2 Γ[0, 0, 0]
(2π)4 δ (4) (p − p′ ) Γ(2) (p, p′ ) =
d4 x d4 y ei (p ·x−p·y)
,
(9.64)
δΨ(x) δΨ(y)
oder die 3-Punkt-Funktion
′
(2π)4 δ (4) (p′ − p − q) Γ(3)
µ (p, p , q)
Z
′
=
d4 x d4 y d4 z ei (p ·y−p·z−q·x)
δ 3 Γ[0, 0, 0]
.
δΨ(y) δΨ(z) δAµ (x)
(9.65)
Durch Fouriertransformation von (9.63) ergibt sich eine der Ward-Takahashi-Identitäten24
(2)
−q µ Γ(3)
(p + q, p + q) − Γ(2) (p, p)
µ (p, p + q, q) = e Γ
oder eben graphisch:
p+q
µ
q ·
23 Beachte:
µ
q
p





= e·





p
−
p
(9.66)
p+q 



 .



p+q 
Die Bezeichnung n-Punkt-Funktion ist hier nicht eindeutig, da es drei verschiedene Felder
gibt, nach denen man funktional differenzieren kann.
24 Weitere Identitäten lassen sich durch höhere Funktionableitungen herleiten.
9
RENORMIERUNG
138
Diese Identität wird nun verwendet, wobei die schraffierten Kreis andeuten sollen, dass
alle OPI-Korrekturen in der Ein-Schleifen-Ordnung berücksichtigt sind. D.h. in (9.55) sind
folgende Ersetzungen vorzunehmen:
−i e γ µ
1
p
−
m
→
→
−i e Γµ (p + q, p) ,
1
.
p
−
m
− Σ(p)
Damit ergibt sich aus der Takahashi-Ward-Identität
i SF (p + q) {−i e qµ Γµ (p + q, p)} i SF (p) = i e {SF (p) − SF (p + q)}
(9.67)
mit dem renormierten Propagator
SF (p) =
1
.
p
− m − Σ(p)
Durch Linksmultiplikation mit SF−1 (p+q) und Rechtsmultiplikation mit SF−1 (p) erhält man
−qµ Γµ (p + q, p) = SF−1 (p) − SF−1 (p + q) ,
(9.68)
d.h. die q µ ·Vertex-Korrektur ist alleine durch die renormierten Propagatoren gegeben.
Definiere den Renormierungsfaktor Z1 durch
Γµ (p, p + q) →
1 µ
γ
Z1
für q → 0 .
Setze weiter für p nahe bei der Massenschale für den Propagator
SF (p) =
Z2
,
p
−m
wo m bereits die renormierte Masse ist. Das entspricht einer impliziten Definition des
Faktors Z2 , d.h.
Z2 = Z(p)
für p → (m, 0, 0, 0) ,
mit Z(p) aus (9.50). Durch Entwickeln von (9.68) auf beiden Seiten ergibt sich für sehr
kleine q die Relation
−qµ γ µ Z1−1 = − q Z2−1 .
M.a.W., die Takahashi-Ward-Identität (9.67) impliziert
Z1 = Z2 ,
d.h. man benötigt keine zusätzliche Renormierung der Ladung. Letztlich lässt sich
also das gesamte Renormierungsprogramm auf die Ladungs- und die Massenrenormierung
zurückführen.
Dabei ist zu beachten, dass obige Betrachtung lediglich zeigt, dass sich die Unendlichkeiten bei der Vertexkorrektur auf Unendlichkeiten in dem Elektronpropagator zurückführen
lässt. Endliche Korrekturen müssen getrennt betrachtet werden. Tatsächlich führt der endliche Korrekturterm Λkonv.
auf das sog. anomale magnetische Moment.
µ
9
RENORMIERUNG
(vii)
139
Das anomale magnetische Moment
Die Dirac-Theorie sagt ein magnetisches Moment des Elektrons von g = 2 voraus. In der
QED müssen Vertex-Korrekturen berücksichtigt werden.
Zunächst wird der Begriff magnetisches Moment“ erklärt. Dazu betrachte ein Elektron
” ~
im äußeren magnetischen Feld B;
das Bezugssystem sei so gewählt, dass das elektrische
25
Feld verschwindet. Jetzt untersuche den Prozess in niedrigster Ordnung:
p′
q=p′ −p
A(q) :
u(p′ ) (−i e γµ ) u(p) Aµ (q)
p
Dann verwende die Gordon-Identität (s. Übung)
u(p′ ) γµ u(p) =
1
u(p′ ) {(p + p′ )µ + i σµν q ν } u(p) ,
2m
(9.69)
wobei q = p′ − p ist.
Die Behauptung ist nun, dass das magnetische Moment von dem zweiten Term in der
geschweiften Klammer,
1
u(p′ ) i σµν q ν u(p) ,
2m
kommt. Das sieht man folgendermaßen ein:
Z 4
d x i q·x µ
ν µ
ν
σµν q A (q) = σµν q
e
A (x)
(2π)4
Z 4
d x i q·x ν µ
1
e
∂ A (x)
(σµν − σνµ ) i
=
2
(2π)4
Z 4
i
d x i q·x ν µ
=
σµν
e (∂ A (x) − ∂ µ Aν (x)) .
|
{z
}
2
(2π)4
=−F µν (x)
~ ≡ 0):
Nun lässt sich durch explizites Nachrechnen zeigen (für E
1 ~σ 0
µν
~
~
~
σµν F
= − 4S · B , mit S =
.
0 ~σ
2
(9.70)
Insgesamt erhalten wir für den zweiten Kopplungsterm
e
~ u(p) ,
u(p′ ) i σµν q ν u(p) Aµ = u(p′ ) (−~
µ · B)
2m
wobei
µ
~ = g
e ~
S
2m
mit dem Dirac’schen magnetischen Moment g = 2.
25 Natürlich
muss A so gewählt sein, dass es ein solches Bezugssystem gibt.
(9.71)
9
RENORMIERUNG
140
Im Folgenden wird skizziert, wie die Vertex-Korrektur
p′
ν
q=p′ −p
µ
:
u(p′ ) (−i e Λµ (p, p′ )) u(p) Aµ (q)
ν
p
eine Abweichung von g = 2 ergibt.
Die divergente Vertexkorrektur wird gemäß der Takahashi-Ward-Identität in der Renormierung der Masse und der Ladung absorbiert. Es muss also nur der Term
u(p′ ) Γµ u(p) = u(p′ ) (γµ + Λkonv.
) u(p)
µ
(9.72)
durch (s. Übung)
diskutiert werden, wobei Λkonv.
µ
Λkonv.
(p′ , p)
µ
e2
=
16π 2
Z1
0
dx
1−x
Z
dy
0
′
′
ν
γν [p
(1 − y) − p
x + m] γµ [p
(1 − x) − p
y + m] γ
2
2
′2
′
m (x + y) − p x (1 − x) − p y (1 − y) + 2p · p x y
′
gegeben ist. Die p bzw. p
-Faktoren im Zähler lassen sich wegen der ”Sandwich-Struktur“
u Λ u durch m ersetzen (vgl. Übung). Durch sukzessives Anwenden der Vertauschungsregeln der γ-Matrizen und Integration erhält man
u(p′ ) Λkonv.
(p′ , p) u(p) = u(p′ )
µ
e2
i σµν q ν u(p) .
16π 2 m
Insgesamt ergibt sich also für (9.72) das folgende Ergebnis:
α i σµν q ν
(p + p′ )µ u(p) .
+ 1+
u(p′ ) Γµ u(p) = u(p′ )
2m
2π
2m
(9.73)
(9.74)
Daher erwartet man einen g-Faktor
g
α
= 1+
+ O(α2 ) .
2
2π
Dies stimmt mit dem Experiment hervorragend überein: Man misst
g = 2 · (1.001159652184 ± 0.000000000004) .
Für α = 1/137.035999(46) hat man
α
= 0.00116141 ,
2π
d.h. Übereinstimmung bis auf Terme der Größenordnung α2 .
(9.75)
9
RENORMIERUNG
141
Anschaulich (bzw. etwas naiv) lässt sich das Resultat folgendermaßen deuten: Das Elektron emittiert und reabsorbiert laufend Photonen, ist also von einer Wolke von Photonen
umgeben. Dabei wird ein Teil der Energie und damit der Masse von den Photonen getragen. Im Vertex-Korrektur-Diagramm schleust also das Elektron einen Teil seiner Masse
am Wechselwirkungspunkt vorbei, das Verhältnis Ladung zu Masse wird erhöht. Somit
vergrößert sich das magnetische Moment, was sich einen größeren g-Faktor ausdrückt.
(viii)
Quantenkorrekturen zum Coulomb-Potential
Als Beispiel soll Coulomb-Streuung von Elektronen an sehr viel schwereren, positiv geladenen Teilchen diskutiert werden,
p+q
q
P −q
q
e0
q
P
p
q
= e0
e0
q
+ e0
e−
P
+ ... .
e−
P
Dabei soll der Impulsübertrag klein und raumartig sein, d.h.
q µ = (0, ~q)
und |~q| ≪ m
2
Man erhält für Π(q ) aus (9.16),
Πµν (q) = (q 2 η µν − q µ q ν ) · Π(q 2 ) ,
für kleine q:
e20 |~q|2
.
60π 2 m2
Damit lautet die |~q|-Abhängigkeit der Kopplungskonstanten:
e2 (0) |~q|2
.
e2 (|~q|2 ) = e2 (0) 1 +
60π 2 m2
Π(q 2 ) = Π(0) −
D.h. die Kopplung ist Impuls-abhängig,
e2 → e2 (|~q|2 ) .
Das Coulomb-Potential im Ortsraum erhält man durch Fourier-Transformation,
Z
e2 (0) |~q|2
d3 q i q~·~x −Z e2 (0)
1+
V (~x) =
e
(2π)3
|~q|2
60π 2 m2
4
2
e (0) 4 Z (3)
Z e (0) 1
δ (~x) .
(9.76)
−
= −
4π |~x| (4π)2 15 m2
Man spricht vom Uehling-Potential .
Dadurch verschieben sich beispielsweise die Energieeigenwerte für S-Zustände im Wasserstoffatom
Z
α2
(3)
δ
(~
x
)
∆E =
d3 x |Ψ(~x)|2 −4
15 m2
4 α2
|Ψ(0)|2 < 0 .
(9.77)
= −
15 m2
9
RENORMIERUNG
142
Bemerkung: Diese Verschiebung macht einen Teil dessen aus, was üblicherweise als
Lamb-Shift“ bezeichnet wird. Die gesamte Lamb-Shift hebt die S-Niveaus an, überkom”
pensiert also diese Verschiebung.
(ix)
Laufende Kopplungsstärke der QED
Betrachte – im Gegensatz zum Vorangegangenen – große Impulsübertrgäge −q 2 ≫ m2
und bezeichne Q2 = −q 2 > 0. Dann ist
e20
2
5
Q2
2
Π(Q ) = −
+ ln 4π − γ + − ln 2 + O(εd ) .
12π 2 εd
3
µ
Man erhält nun
e2 (Q2 ) =
e20
e20
=
2
1 − Π(Q )
1 − Π(µ2 )
e2 (µ2 ) =
e20
1 − Π(µ2 )
1
.
e20
1
Q2
1−
ln 2
1 − Π(µ2 ) 12π 2
µ
Mit
ergibt sich für Q2 > µ2 :
e2 (Q2 ) =
e2 (µ2 )
e2 (µ2 )
Q2
1−
ln 2
2
12π
µ
Diese Formel hat eine praktische Anwendung:
Man bestimme e2 (Q21 ) an einem beliebig wählbaren Impulsübertrag Q21 durch das Experiment
und wählt den Parameter
µ2 = Q21 .
Diese Wahl von µ definiert den sog. Renormierungspunkt. Für alle anderen Werte von Q2 kann
man dann e2 (Q2 ) bzw. α aus der Formel bestimmen,
e2 (Q22 ) =
e2 (Q21 )
.
Q22
e (Q21 )
ln 2
1−
12π 2
Q1
2
(9.78)
e2
4π
•
1 −
137
•
|
ln Q21
|
ln Q22
(9.79)
Insbesondere ist dann die Q2 -Abhängigkeit durch die µ2 -Abhängigkeit bestimmt. Wir werden später systematisch sehen, warum das so ist.
Die Formel ist insofern selbstkonsistent, als dass man von einem Wert e2 (Q21 ) ausgehend
einen zweiten Wert e2 (Q22 ) berechnen kann, den man wiederum dazu verwendet, um e2 (Q23 )
zu bestimmen. Das selbe Ergebnis erhält man, wenn man direkt e2 (Q21 ) als Grundlage zur
Berechnung von e2 (Q23 ) benutzt.
RENORMIERUNG
143
+ −
−
−
+
+
+
+
−
−
+
+ −
+ −
–
+
+
+ −
−
+
−
−
+
−
+ −
−
+
−
(x)
−
+
+
Anschauliche Interpretation.
Die ElektronPositron-Paare wirken als Dipole, welche die nackten Ladungen abschirmen. Für einen sehr kleinen Abstand der Wechselwirkungspartner, was
einem größeren übertragenem Impuls ~q entspricht,
werden die Abschirmungseffekte geringer und die
Kopplungs- Konstante“ größer. Dieser Effekt hat
”
stärkere Auswirkungen bei der Betrachtung größe2
rer Q .
−
+ −
9
Kurz-Zusammenfassung
In diesem Abschnitt haben wir gesehen, dass Quantenkorrekturen auf divergente Ausdrücke führen. Es war jedoch möglich, die Divergenzen in einer Redefinition der Parameter der Theorie, m und e, (und der Normierung der Wellenfunktion) zu absorbieren“.
”
Insbesondere hat es sich erwiesen, dass der Abgleich der der Parameter der Theorie mit
der Beobachtung nicht auf dem Niveau der Lagrangedichte sondern auf dem Niveau von
Observablen (Amplituden) zu erfolgen hat. Der Abgleich bei einer spezifischen (Impuls)Konfiguration, dem Renormierungspunkt, ermöglicht es, Vorhersagen bei anderen Konfiguration zu machen. Neben den endlichen Quanten-Korrekturen treten Quanteneffekte
auf, die von der Energie-Skala abhängen, und die durch das Konzept der ‘laufenden Kopplungen’ interpretiert werden können. Wir hatten auch gesehen, dass gewisse Relationen
Quantenkorrekturen überleben“, so z.B. die Takahashi-Ward-Identität, und andere Re”
lationen durch Quanteneffekte Modifikationen erfahren, so z.B. die klassische Relation
g = 2.
9.3
(i)
Systematik der Renormierung
Fragestellung
Exemplarisch soll die Renormierung der φ4 -Theorie diskutiert werden. Die LagrangeDichte sei also
L =
1
g
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 − φ4 .
2
2
4!
(9.80)
Auf dem Ein-Schleifen-Niveau haben wir es mit zwei divergenten irreduziblen Diagrammen
zu tun:
(1) Selbstenergiediagramm:
: g
Z
1
d4 q
= ∆F (0) ,
4
2
(2π) q − m2
wobei
∆F (x) =
Z
d4 q i q·x
1
e
= − i − T φ(x) φ(0) − .
4
2
2
(2π)
q − m + iε
9
RENORMIERUNG
144
(2) Vertex-Korrekturen:
q
p2
= g2
p1
Z
d4 q
1
.
(2π)4 (q 2 − m2 ) ((p1 + p2 − q)2 − m2 )
q−p1 −p2
(ii)
Divergenzgrad
Zunächst wird der oberflächliche Divergenzgrad , der ein Maß für die Divergenz von Schleifendiagrammen liefert, bestimmt.
Der Divergenzgrad des Selbstenergie-Diagramms ist zwei, da im Zähler d4 q vier und im
Nenner nur zwei Potenzen von q vorkommen. Das Diagramm zur Vertex-Korrektur hat
hingegen den Divergenzgrad 0, da sowohl im Zähler als auch im Nenner vier Potenzen von
q vorkommen.
Allgemein: Mit den Bezeichnungen:
n : Ordnung des Diagramms (= Zahl der Vertizes)
E : Zahl der äußeren Linien
I : Zahl der inneren Linien
L : Zahl der Schleifen
d : Zahl der Raum-Zeit-Dimension
ergibt sich für den oberflächliche Divergenzgrad D die Relation
D = d · L − 2I ,
da jede innere Linie auf einen Propagator und somit auf einen Faktor 1/q 2 führt.
Die n Vertizes liefern n Bedingungen der Vierer-Impuls-Erhaltung. Eine Linearkombi”
nation“ dieser Bedingungen entspricht der Vierer-Impuls-Erhaltung der äußeren Impulse.
Folglich hat man
L = I − (n − 1) .
In der φ4 -Theorie hat jeder Vertex 4 Beinchen und jede innere Linie verbindet zwei Vertizes,
daher
4n = E + 2I .
Durch Elimination von I ergibt sich
D = d + n · (d − 4) + E (1 − d/2) .
Für d = 4 ist insbesondere D = 4 − E.
Eine Theorie heißt renormierbar , falls D nur von E und nicht von n abhängt (und D
mit wachsendem E sinkt), da dann in einer Störungsentwicklung in der Kopplungsstärke
g der Divergenzgrad mit wachsender Ordnung Störungstheorie nicht anwächst. Sinkt D
sogar mit n, so heißt die Theorie superrenormierbar .
9
RENORMIERUNG
145
Bemerkung: Wir haben bisher von dem oberflächlichen Divergenzgrad gesprochen, da D nicht
notwendigerweise den tatsächlichen Divergenzgrad eines Diagramms wiedergibt. Ein Diagramm
kann, obwohl D < 0, divergente Subdiagramme
haben, wie etwa im rechtsstehenden Beispiel.
(iii)
Schleifen und Quanteneffekte
Behauptung:
wicklung in ~.
Eine Entwicklung in der Zahl der Schleifen L ist äquivalent zu einer Ent-
Begründung:
Funktional:
Wenn man alle Faktoren ~ mitnimmt, ergibt sich für das erzeugende
Z[J] =
Z
Dφ exp
i
~
Z
d x [L + ~ J φ] .
4
(9.81)
Den Wechselwirkungsterm Lint aus
L = L0 + Lint
kann man vor das Funktionalintegral ziehen,
Z
δ
i
Z0 [J] ,
d4 x Lint
Z[J] = exp
~
i δJ(x)
wobei
Z0 [J]
(9.82)
Z
i
4
=
Dφ exp
d x (L0 + ~ J φ)
~
Z
Z
~
= N exp −i
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y) .
2
Z
(9.83)
Man sieht
• an (9.82), dass jeder Vertex ~−1 beiträgt, und
• an (9.83), dass jeder Propagator ~ beiträgt.
Insgesamt hat dann ein beliebiges Diagramm einen Faktor ~I−n . Unter Benutzung von
I −n = L−1
ergibt sich für ein Diagramm mit L Schleifen ein Faktor ~L−1 . Insbesondere berücksichtigt
eine klassische Theorie, d.h. eine Theorie mit ~ = 0, keine Schleifen.
(iv)
Renormierung und dimensionale Regularisierung der φ4 -Theorie
Dimensionale Analyse. In d Dimensionen sollen der kinetische und der Massenterm
die Massendimension d haben, dies impliziert
!
2 + 2 dim[φ] = d
y
dim[φ] =
d−2
.
2
9
RENORMIERUNG
146
Nun soll der Kopplungsterm ebenfalls Massendimension d aufweisen, somit
!
dim[g] + 2(d − 2) = d
y
dim[g] = 4 − d .
Damit lautet die Lagrangedichte in d Dimensionen
L =
1
g
1
(∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2 − µ4−d φ4 .
2
2
4!
(9.84)
Im nächsten Schritt bezeichnen wir die Kopplungs- und Massen-Parameter bzw. die Felder
mit gB , mB φB , da wir bereits aus unserer in Abschnitt 9.2 gesammelten Erfahrung wissen, dass die Parameter der Lagrangedichte nicht die physikalischen Parameter sind, d.h.
diejenigen, die durch die Messung zugänglich sind, und dass die Wellenfunktion renormiert
wird. Der Index ‘B’ steht für ‘bare’, d.h. ‘nackt’. D.h., die nackte“ Lagrangedichte ist
”
1
1
g
B
LB = (∂µ φB )(∂ µ φB ) − m2B φ2B −
µ4−d φ4B .
(9.85)
2
2
4!
gB
Selbstenergie in O(g). Zunächst berechnen wir die
Selbstenergie in erster Ordnung in der Kopplungskonstanten. Damit ist gemeint, dass alle Diagramme, die
durch Aneinanderreihung der rechtsstehenden Schleife
entstehen, berücksichtigt werden.
Z
1
dd p
(2π)d p2 − m2B
ε /2 4π µ2 d
d
gB
2
m
Γ
1
−
=
32 π 2 B −m2B
2
2
2
gB mB
4πµ2
gB mB
+ O(εd ) .
= −
1
−
γ
+
ln
−
16π 2 εd
32π 2
m2B
Σ =
gB 4−d
µ
2
(9.86)
“Voller” Propagator. Analog zur Selbstenergie des Elektrons (vgl. S. 132) können die
Schleifen durch einen modifizierten Propagator berücksichtigt werden,
i ∆F,B (p) =
p2
1
.
− m2B − Σ
(9.87)
Die 2-Punkt-Funktion ist durch den inversen Propagator gegeben,
(2)
i ΓB (p) = p2 − m2B − Σ .
1-Loop Renormierung von m. Die Renormierung besteht darin,
m2 = m2B + Σ
als das Quadrat der physikalischen Masse zu betrachten. Damit ist
i Γ(2) (p) = p2 − m2
und
m2 = − i Γ(2) (p = 0) .
(9.88)
9
RENORMIERUNG
147
Zwei-Punkt-Vertexfunktion: Allgemeine Diskussion. Im Allgemeinen kann man die renormierte Masse m nicht mehr so einfach ablesen, da Σ i.A. von p
abhängt (siehe Gleichung (9.50)). So ergibt sich die
Impulsabhängigkeit in der φ4 -Theorie auf dem ZweiSchleifen-Niveau (siehe rechtsstehende Abbildung). Man
bezeichnet
i
i ∆F (p) =
p2
−
m2B
(9.89)
− Σ(p)
als unrenormierten Propagator und
(2)
i ΓB (p) = p2 − m2B − Σ(p)
(9.90)
als unrenormierte Zwei-Punkt-Vertex-Funktion. Die physikalische Masse m ist dann
implizit gegeben durch
m2 = m2B + Σ(m) .
(9.91)
Σ kann hierbei um m entwickelt werden,
e
Σ(p) = Σ(m) + Σ′ (m)(p2 − m2 ) + Σ(p)
,
e
wobei Σ(p)
= O (p2 − m2 )2 . Damit ist
i ∆F,B (p) =
=
(9.92)
i
(p2
p2
−
−
m2 )(1
m2
i Zφ
e
− Σ′ (m)) − Σ(p)
e
− Zφ · Σ(p)
=: i Zφ ∆F (p) ,
(9.93)
wo ∆F renormierter Propagator heißt und
Zφ =
1
1 − Σ′ (m)
(9.94)
ist. Entsprechend lautet die renormierte Zwei-Punkt-Funktion
i Γ(2) (p)
e
= p2 − m2 − Zφ Σ(p)
=
(2)
i Zφ ΓB (p, mB , gB ) ;
(9.95)
diese entspricht dann dem Vakuum-Erwartungswert des Produktes zweier Feldoperatoren φ. Die Selbstenergie-Korrekturen liefern also i.A. eine Renormierung der Felder bzw.
Feldoperatoren,
p
p
Zφ φ bzw. φ →
Zφ φ .
(9.96)
φ →
9
RENORMIERUNG
148
Vertex-Renormierung in führender Ordnung In führender Ordnung in gB muss ein
weiteres Diagramm mitgenommen werden,
gB
=
+
gB
gB
+ Permutationen .
Betrachte nun der Einfachheit halber eine Situation, in der die äußeren Impulse verschwinden, pi = 0. Die 4-Punkt-Funktion ist gegeben durch
Z
1
dd p
g2
(4)
i ΓB (pi = 0) = gB + B (µ2 )4−d
4
2
2
(2π) (p − m2B )2
3 gB
2
= gB 1 −
− γ + F (mB , µ)
.
(9.97)
32π 2 εd
Man beachte das Auftreten eines kombinatorischen Faktors 3.
Vierpunkt-Vertex-Funktion.
schreiben als
Wegen (9.96) lässt sich die renormierte Vierpunkt-Funktion
(4)
i Γ(4) ({pi }) = Zφ2 i ΓB ({pi }; mB , gB ) .
(9.98)
Die renormierte Kopplungs konstante“ lautet am Renormierungspunkt pi = 0 (1 ≤ i ≤ 4),
”
(4)
i Γ ({pi = 0}) = g ,
(9.99)
d.h. man normiert die Funktion Γ an der willkürlich gewählten Stelle pi = 0 auf den
‘Messwert’ g.
Die Festlegung hätte ebensogut auch anders erfolgen können. Wir können beispielsweise
festlegen
(4)
i Γ(4) (p, m, g, µR ) = Zφ2 (µR ) i ΓB (p, mB , gB )
(9.100)
mit dem Referenzpunkt
i Γ(4) (~
p2 = µ2R ) = g(µR ) .
n-Punkt-Vertex-Funktionen.
nerung in
Die Formeln (9.95) und (9.98) finden ihre Verallgemei-
n/2
(n)
i Γ(n) ({pi }, m, g, µR ) = Zφ (µR ) i ΓB (p, mB , gB ) .
(9.101)
Die Größe µR ist dabei, wie gesagt, willkürlich. Dies führt uns später auf die sog. Renormierungsgruppengleichung (siehe Abschnitt 9.4).
9
RENORMIERUNG
(v)
149
Gegenterme (“Counter Terms”)
Betrachte wieder als Prototyp die φ4 -Theorie. Desweiteren wollen wir uns auf die EinSchleifen-Ordnung beschränken.
Für die Zweipunkt-Vertex-Funktion ergibt sich in dimensionaler Regularisierung:
=
i Γ(2)
+
p2 − m2B
=
+
,
gB m2B
+
16π 2 εd
endliche
Terme
.
Die Renormierung besteht darin, den divergierenden Term mit εd im Nenner mit der
nackten“ Masse mB zu verrechnen. In gewisser Weise bedeutet das, dass man genausogut
”
den divergierenden Term einfach weglassen“ und die physikalische Masse m einsetzen
”
kann. Alternativ kann man, anstatt den divergierenden Term wegzulassen, sein Negatives
addieren und die physikalische Masse m verwenden. Man setzt also für die renormierte
Zwei-Punkt-Vertexfunktion, die von den renormierten Größen m und g abhängt,
=
i Γ(2)
+
2
p 2 − m2
=
+
gm
+
16π 2 εd
endliche
Terme
+
,
2
+
−g m
.
16π 2 εd
Der letzte Term entsteht, indem man zur Lagrangedichte L den Zusatzterm
C1 = −
δm2 2
φ
2
(9.102)
mit
δm2 =
g m2
16π 2 εd
(9.103)
hinzufügt. Dieser Zusatzterm heißt dann Gegenterm.
Bei der 4-Punkt-Funktion:
=
(4)
iΓ
=
+
εd
gµ
+
,
εd
gµ
−3g
+
16π 2 εd
endliche
Terme
,
wo wir die Permutationen der Loop-Diagramme unterdrückt haben, muss der Term
: µεd
3g 2
16π 2 εd
addiert werden, um die Divergenz zu beseitigen. Dies führt auf den Gegenterm
C2 = −
g µεd B
4!
(9.104)
9
RENORMIERUNG
150
mit
3g
16π 2 εd
B =
(9.105)
in der Lagrangedichte.
Die Feldrenormierung
p
Zφ φ
φ →
führt auf den Zusatzterm
C3 =
A
(∂µ φ) (∂ µ φ)
2
(9.106)
mit
Zφ = 1 + A .
Hierbei entsteht A, wie diskutiert, erst auf dem 2-Loop Niveau. Insgesamt benötigt man
für eine Divergenz-freie Feldtheorie die Lagrangedichte mit Gegentermen,
LB (φB , mB , gB ) = L (φ, m, g) + C (φ, m, g) ,
(9.107)
mit
C = C1 + C2 + C3 ,
die dann explizit folgendermaßen lautet:
LB
=
=
m2 + δm2 2
g µεd 4
1+A
(∂µ φ)(∂ µ φ) −
φ − (1 + B)
φ
2
2
4!
2
1
m
gB 4
(∂µ φB ) (∂ µ φB ) − B φ2B −
φ
2
2
4! B
(9.108)
mit
p
Zφ φ ,
φB
=
mB
= Zm m ,
gB
= µDg εd Zg g ,
Zφ = 1 + A ,
m2 + δm2
,
m2 (1 + A)
1+B
.
Zg =
(1 + A)2
2
Zm
=
In der φ4 -Theorie haben wir Dg = 1, denn der Wechselwirkungsterm ist proportional zu
g µ1·εd , aber i.A. kann eine Wechselwirkungsterm proportional zu g µDg ·εd sein.
In einer renormierbaren Theorie haben L , LB und C die selbe Gestalt abgesehen von
einer endlichen Anzahl an Kopplungen. In einer renormierbaren Feldtheorie lassen also
sich die Gegenterme in multiplikative Faktoren, die sog. Z-Faktoren, absorbieren. Das
Einbringen von Gegentermen, die die Divergenzen beseitigen, lässt also die Form der Lagrangedichte invariant und führt lediglich zu einer Modifikation der Parameter.
Bemerkung: Die Aufspaltung (9.107) ist willkürlich. Sie unterliegt nur der Bedingung,
dass die Größen, die in der renormierten Lagrangedichte auftreten, endlich sind.
9
RENORMIERUNG
151
MS-artige Renormierungs-Schemata. Man kann jedoch eine gewisse Wahl der Aufspaltung (9.107) treffen, indem man fordert, dass der Gegenterm proportional zu ε−1
d ist.
Diese Vorschrift geht unter dem Namen Minimal Subtraction (MS). D.h., im MS-Schema
lauten die Gleichungen (9.109)
φB
=
1+
∞
X
δZφ,k (g, m, µ)
εkd
k=1
m2B
=
Zφ−1
2
m +
= µDg ǫ Zφ−2
φ,
∞
X
δm2,k (g, m, µ)
k=1
gB
! 21
g+
εkd
!
∞
X
δg,k (g, m, µ)
k=1
εkd
(9.110a)
,
!
(9.110b)
.
(9.110c)
Insbesondere hängen die renormierten Größen von µ ab. Im Folgenden werden wir uns
überlegen, was passiert, wenn man µ reskaliert.
9.4
Renormierungsgruppengleichung
Ausgehend von der ‘nackten’ Lagrangedichte LB kann man die N -Punkt-Funktionen bestimmen,
(N )
GB (x1 , . . . xN ) = h− | T {φB (x1 ) · · · φB (xN )} | −i .
(9.111)
−1/2
Unter Benutzung der Relation φ = Zφ φB erhält man den Vakuumerwartungswert für
das zeitgeordnete Produkt der renormierten Felder
−N/2
h− | T {φ(x1 ) · · · φ(xN )} | −i = Zφ
h− | T {φB (x1 ) · · · φB (xN )} | −i
(9.112)
bzw.
N/2
Zφ
(N )
(g, m, µ) G(N ) ({xi }, m, g, µ) = GB ({xi }, mB , gB ) .
(9.113)
Da die rechte Seite von µ nicht abhängt, folgt
o
d n N/2
!
= 0.
Zφ (g, m, µ) G(N ) {xi }, m, g, µ
dµ
(9.114)
Im Folgenden wollen wir uns die entsprechende Beziehungen für die zusammenhängenden Green’schen Funktionen G (N ) und für die eigentlichen Vertexfunktionen Γ(N ) erarbeiten.
Bemerkung zum Skalieren verschiedener Korrelatoren:
(1) Die zusammenhängenden Green’schen Funktionen G (N ) entstehen durch Funktionalableitung des Funktionals W = −i ln Z. Sie können durch zusammenhängende
Diagramme dargestellt werden.
9
RENORMIERUNG
152
(2) Die eigentlichen Vertex-Funktionen werden so definiert, dass die die ‘Energie-Impulserhaltende δ-Funktion’ bereits herausgekürzt ist, d.h.
b (N ) (p1 , . . . pN ) ,
Γ(N ) (p1 , . . . pN −1 ) = δ (4) (p1 + p2 + . . . pN ) Γ
(9.115)
wobei sich die Vertex-Funktionen im Impulsraum durch Fourier-Transformation aus
denen im Ortsraum ergeben,
Γ(N ) (x1 , . . . xN ) = (−i)N
δ N Γ[φc ]
.
δφ(x1 ) · · · δφ(xN )
(9.116)
Sie können durch OPI Diagramme dargestellt werden, bei denen die äußeren Beinchen amputiert.
(3) Man kann sich aus dem oben Gesagten leicht überlegen, dass die Korrelatoren unter
Reskalieren der Felder sich wie folgt verhalten:
G (N ) (x1 , . . . xN )
Γ
(N )
(x1 , . . . xN )
φ→ζφ
−−−−→ ζ N G (N ) (x1 , . . . xN ) ,
(9.117a)
−−−−→ ζ
(9.117b)
φ→ζφ
−N
Γ
(N )
(x1 , . . . xN ) .
Verwendet man nun die Tatsache, dass die renormierten Größen Funktionen von µ sind
und (9.109), so erhält man
o
d n −N/2
Zφ
(µ) Γ(N ) {pi }, m(µ), g(µ), µ
= 0,
dµ
(9.118)
wobei die eigentlichen Vertexfunktionen Γ(N ) betrachtet wurden und (9.117) verwendet
wurde. Es gilt offensichtlich
d
∂
dg ∂
dm ∂
=
+
+
,
dµ
∂µ dµ ∂g
dµ ∂m
(9.119)
wobei man üblicherweise folgende Definitionen verwendet:
β(g, m, µ, εd ) :=
γ(g, m, µ, εd ) :=
m γm (g, m, µ, εd ) :=
dg εd →0
−−−→ β(g, m, µ) ,
dµ
µ d
εd →0
ln Zφ −−
−→ γ(g, m, µ) ,
2 dµ
dm εd →0
−−−→ γm (g, m, µ) .
µ
dµ
µ
(9.120a)
(9.120b)
(9.120c)
β heißt β-Funktion während γm bzw. γ als anomale Dimension der Masse bzw. des Feldes
bezeichnet werden. Mit diesen Definitionen lautet die Renormierungsgruppengleichung
∂
∂
∂
Γ(N ) ({pi }, g, m, µ) = 0 .
+ β(g, m, µ)
− N γ(g, m, µ) + m γm (g, m, µ)
µ
∂µ
∂g
∂m
(9.121)
9
RENORMIERUNG
153
Oft wird anstatt µ die Variable t = ln
gruppengleichung hat die Eigenschaft
Γ(N ) ({pi }, g, m, µ0 )
=
Γ(N ) {pi }, g(t), m(t), et µ0
wobei g(t) und m(t) Lösungen sind von
µ
µ0
verwendet. Die Lösung der Renormierungs-


Zt


· exp −N dτ γ g(τ ), m(τ )
,


(9.122)
0
∂g
(t) = β(g(t), m(t)) ,
∂t
∂m
(t) = m(t) γm t, g(t), m(t) ) ,
∂t
(9.123a)
(9.123b)
mit den Randwerten g(0, g, m) = g und m(0, g, m) = m.
(i)
Die β-Funktion
Um die β-Funktion zu berechnen, verwenden wir
µ
dgB
= 0,
dµ
(9.124)
und setzen den Ausdruck für gB ein. Betrachten wir z.B. den Fall, dass die Relation
zwischen der nackten und renormierten Kopplung wiedergegeben werden kann in der Form
gB = µDg εd Zg g ,
(9.125)
wobei wir im MS Schema arbeiten, d.h.
Zg = 1 +
∞
X
δZg,k
k=1
= 1 + δZg
εkd
(9.126)
und wobei Dg implizit durch (9.125) definiert ist. Durch Ableiten ergibt sich
µ
d
gB
dµ
∂δZg
= β(g, m, µ, εd ) µDg εd Zg + g Dg εd µDg εd Zg + g µDg εd
β(g, m, µ, εd )
∂g
∂δZg
(9.127)
+ g Dg εd Zg ,
= µDg εd β(g, m, µ, εd ) Zg + g
∂g
d.h.
β(g, m, µ, εd )
Zg + g
∂δZg
∂g
!
+ g Dg εd Zg = 0 .
(9.128)
Andererseits ist die β-Funktion endlich für εd → 0. Wir können daher ansetzen
β(g, m, µ, εd ) = β(g, m, µ) + εd β (1) (g, m, µ) + . . . + εnd β (n) (g, m, µ) ,
(9.129)
wobei n eine beliebige ganze Zahl ist, welche nicht direkt mit der Ordnung in der Störungstheorie in Beziehung steht. Durch Einsetzen von (9.129) in (9.128) und anschließendem
Koeffizientenvergleich für εn≥2 findet man zunächst, dass
β (n) (g, m, µ) = 0
für n ≥ 2 .
(9.130)
9
RENORMIERUNG
154
Desweiteren ergibt sich für den linearen Term in εd
β (1) (g, m, µ) = − Dg g .
(9.131)
Durch Einsetzen dieser Relation und durch Koeffizientenvergleich des εd -unabhängigen
Terms erhält man schließlich
β(g, m, µ, εd ) = − εd Dg g + Dg g 2
∂δZg,1
εd ,
∂g
(9.132)
d.h.
β(g, m, µ) = Dg g 2
∂δZg,1
.
∂g
(9.133)
Diese Formel ermöglicht es, β-Funktionen in MS-artigen Renormierungs-Schemata zu
berechnen, in denen multiplikative Renormierung verwendet wird.
Beispiel (1-Loop β-Funktion der φ4 -Theorie).
gB = µεd Zg g
mit
Wir hatten in (9.109a) gesehen, dass
Zg = 1 + B .
Auf 1-Loop Niveau ist
A = 0 und B =
d.h.
gB = µεd g
1+
3g 1
,
16π 2 εd
3g
16π 2 εd
.
(9.134)
Damit bekommen wir
β(g) =
Bemerkung:
Schemata)
3 2
g .
16π 2
(9.135)
Dimensionale Analyse zeigt, dass (in Massen-unabhängigen Renormierungs
µ′
g(µ ) = G g(µ),
µ
′
(9.136)
gilt mit einer entsprechenden Funktion G. Differenzieren nach µ′ liefert am Punkt µ′ = µ
µ
d
g(µ) = β (g(µ)) ,
dµ
wobei
β (g(µ)) =
∂
.
G (g(µ), ζ)
∂ζ
ζ=1
D.h., in Systemen ohne Massen hängt β nicht explizit von µ ab.
(9.137)
(9.138)
9
RENORMIERUNG
Laufende Kopplung.
β(g) = µ
155
Es geht nun darum, anhand der Funktion
∂g
∂µ
qualitative Aussagen über das Verhalten von g(µ) zu treffen. Aus der Kenntnis der βFunktion kann die Variation der Kopplungsstärke mit der Renormierungsskala µ bestimmt
werden, denn Trennung der Variablen
dµ
dg
=
µ
β(g)
führt auf:
µ
=
ln
µ0
g(µ)
Z
dg
.
β(g)
(9.139)
g(µ0 )
Beispiel:
Hat man für kleine g das Potenzgesetz
β(g) = b g n ,
(9.140)
so ergibt sich
ln
−n+1
−1
µ
=
g
(µ) − g −n+1 (µ0 )
µ0
b (n − 1)
und damit
g n−1 (µ) =
g n−1 (µ0 )
,
1 − (n − 1) b g n−1 (µ0 ) ln µµ0
(9.141)
wobei sich für n = 3 bei geeigneter Wahl von b gerade das Laufen der Kopplungsstärke
der QED ergibt (vgl. S. 142), allerdings in Abhängigkeit des Impulsübertrags Q2 und
nicht µ. In den folgenden Überlegungen soll der Zusammenhang zwischen den beiden
Abhängigkeiten erläutert werden.
(ii)
Skalen-Transformation
Wir interessieren uns jetzt dafür, was passiert, wenn man die äußeren Impulse reskaliert,
d.h.
{pi } → {ζ · pi } .
Jeder Green’schen Funktion GN kann eine Massendimension zugewiesen werden, die N
mal der Massendimension des Feldes φ, dim[φ] = dφ , entspricht. Z.B.
dim[G(N ) (x1 , . . . xN )] = dim[h− | T {φ(x1 ) · · · φ(xN )} | −i] = N · dφ .
Entsprechend ergibt sich
h
i
dim Γ(N ) (p1 , . . . pN −1 ) = 4 − N dφ .
Durch Reskalieren aller Variablen, die Massendimension tragen, erhalten wir
Γ(N ) {ζpi }, ζ dg g(µ), ζ m(µ), ζ µ = ζ dΓ(N ) Γ(N ) ({pi }, g(µ), m(µ), µ) ,
(9.142)
(9.143)
(9.144)
9
RENORMIERUNG
156
wobei dg := dim[g] und dΓ(N ) = dim Γ(N ) . Durch Einsetzen der Lösung der Renormierungsgruppengleichung ergibt sich mit ζ = et
Γ(N ) ({et pi }, g, m, µ0 )
(9.122)
=
(9.144)
=


 N Zt

Γ(N ) ({et pi }, g(t), m(t), et µ0 ) exp −
dτ γ g(τ )
 2

0


Zt

 (N )
N
dτ γ g(τ )
Γ
{pi }, e−dg t g (t) , e−t m (t) , µ0 ,
exp dΓ(N ) t −


2
0
(9.145)
d.h. Reskalieren der äußeren Impulse kann kompensiert werden durch einen multiplikativen
Faktor sowie einer Änderung der renormierten Masse m und der renormierten Kopplung g.
Diese Formel ist entscheidend für das Interpretation der Renormierungsgruppengleichung
sowie dem Konzept der laufenden Kopplungen. Sie beschreibt das Verhalten von physikalischen Größen bei einer Änderung der Energie-Skala. Es ist zu beachten, dass eine on-shell
Reskalierung der äußeren Impulse nur möglich ist für masselose Freiheitsgrade.
d
Für Systeme ohne Massen erhält man durch Differentiation die dt
(9.145)
d (N )
N
Γ
{et pi }, g, µ γ(g) Γ(N ) ({pi }, g, µ)
=
dΓ(N ) −
dt
2
t=0
+ [−dg + βg ]
∂Γ(N )
({pi }, g, µ) ,
∂g
(9.146)
wobei g die Kopplung bezeichnet und dg deren Massendimension.
Bemerkung: Die anomale Dimension der Felder, d.h. Faktor γ, wird häufig in die Definition der laufenden Kopplung gesteckt. Betrachte einen Kopplungsterm
Y
g
φni i .
i
Man berechnet die β-Funktion für eine effektive Kopplung, für die gilt
eff
= µDg εd Zgeff g ,
gB
wobei
Zgeff = Zg ·
Y
−ni /2
Zφi
(9.147)
(9.148)
i
die Wellenfunktionsrenormierungskonstanten aller beteiligten Felder φi .
Fazit: Für Systeme mit masselosen Freiheitsgraden beschreibt die µ-Abhängigkeit der
Kopplung g die Abhängigkeit von der Energie- bzw. Impulsskala.
9.5
Beispiel: Das Laufen der Kopplungsstärke in nicht-abelschen
Eichtheorien
Betrachte eine nicht-abelsche Eichtheorie. Die Massendimension der Eichkopplung in d
Dimensionen ist
4−d
dim[g] =
= εd /2 .
2
9
RENORMIERUNG
157
Im Gegensatz zum abelschen Fall (QED), wo sich aufgrund der Takahashi-Ward Identität zwei Beiträge aufheben, müssen im abelschen Fall drei verschiedene Arten von Quantenkorrekturen berechnet werden, um die β-Funktion zu bestimmen. Im Einzelnen sind
das
(1) Selbstenergie der Eichbosonen;
(2) Selbstenergie der Fermionen;
(3) Vertex-Korrekturen.
Im Fall der QED haben sich die beiden letztgenannten Beiträge gegenseitig weggehoben.
(i)
Selbstenergie der Eichbosonen
Man hat für die Eichbosonen- und Geistbeiträge (siehe Übung)
+
µ, a
=
+
ν, b
µ, a
i q 2 η µν − q µ q ν δ ab µεd
µ, a
ν, b
ν, b
2
g 5
c
(G)
Γ(ε
/2)
+
.
.
.
.
2
d
16π 2 3
(9.149)
Bemerkungen:
(1) Für SU(N ) gilt c2 (G) = N (siehe Anhang F).
(2) Durch Nachrechnen sieht man, dass die Summe der drei Diagramme nur transversal,
d.h. proportional zu q 2 η µν − q µ q ν , ist, wenn man die Geistbeiträge mit berücksichtigt.
(3) Die Unendlichkeiten der Diagramme lassen sich relativ bequem mit Tabelle G.1 in
Anhang G extrahieren.
Desweiteren gibt es i.A. noch Fermionen, die nicht-trivial unter der Eichgruppe G transformieren. Ihre Beiträge zur Eichboson-Selbstenergie sind (siehe Übung)
ab −g 2 µεd 4
2 µν
µ ν
= nf ℓ(R) i q η − q q δ
Γ(εd /2) + . . . .
16π 2 3
(9.150)
Hierbei bezeichnet ℓ(R) den Dynkin-Index der Darstellung (siehe Anhang F) und nf ist
die Multiplizität der Darstellung. Wir nehmen in (9.150) also an, dass alle nf Fermionen
Darstellungen mit den selben Dynkin Indizes bekleiden. Das ist beispielsweise der Fall,
wenn sie in einer SU(N ) Theorie als N -plets und N -plets transformieren. Wir haben
ferner angenommen, dass die Fermionen masselos sind.
Wir benötigen also einen Counter-Term
1
tr(Fµν F µν ) δZA ,
2
(9.151)
5
4
c2 (G) − nf ℓ(R) .
3
3
(9.152)
: −
wobei
δZA
g 2 2 εd
µ
=
(4π)2 εd
9
RENORMIERUNG
(ii)
158
Selbstenergie der Fermionen
Für die Selbstenergie des Fermions erhält man (in Feynman-Eichung)
p+k
b
i Σ(p)
=
=
A
p
Z
a
p
k
ab
i (p
dd k
εd /2 2 µ
+ k)ηµν δ γ ν Tb −i .
(i
g
µ
)
γ
T
a
(2π)d
(p + k)2
k2
(9.153)
Wir sind nur an den 1/εd Termen interessiert. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass
2
1
Σ(p) =
p
µ−ε/2 g c2 (R) Γ(εd /2) + endlich ,
(9.154)
2
(4π)
wobei c2 (R) den quadratischen Casimir (siehe Gleichung (F.2b)) bezeichnet. Wir benötigen also einen Counter-Term
: δZΨ Ψ i ∂ Ψ ,
(9.155)
wobei
δZΨ = −
(iii)
g 2 µεd 2
c2 (R) .
(4π)2 εd
(9.156)
Vertex-Korrektur
Es gibt zwei Vertex-Korrektur Diagramme auf dem 1-Loop Niveau. Das erste entsteht als
offensichtliche Verallgemeinerung des QED Diagramms (9.51),
p′
ν, b
p′ −k
i Λ
(1)
a
µ
q
=
µ, a
k
.
(9.157)
p−k
ν, b
p
In Analogie zur QED bekommt zur bekommt man
a
1
g3
3εd /2
c
(R)
−
µ
c
(G)
Ta γµ (Γ(εd /2) + . . . ) .
Λ(1)
=
2
2
(4π)2
2
µ
(9.158)
9
RENORMIERUNG
159
Aufgrund der Wechselwirkungen der Eichbosonen untereinander in abelschen Eichtheorien
gibt es jedoch ein neuartiges, zusätzliches Diagramm,
p′
ν, b
p′ −k
i Λ
(2)
a
µ
q
=
µ, a
k
.
(9.159)
p−k
ν, b
p
Die Rechnung ergibt
a
3
g3
µ3εd /2 c2 (G) Ta γµ (Γ(εd /2) + . . . ) .
Λ(2)
=
(4π)2
2
µ
(9.160)
Wir benötigen also einen Counter-Term
: µεd Zg g Aaµ Ψ γ µ Ta Ψ ,
(9.161)
wobei
δg = −
(iv)
g 2 µεd 2
[c2 (R) + c2 (G)] .
(4π)2 εd
(9.162)
β-Funktion
Gemäß der Vorschrift (9.133) sind für die β-Funktion nur die Pole in εd relevant. Wir
benötigen den Zusammenhang zwischen der nackten Kopplung gB und der renormierten
Kopplung g. Nachdem die nackte Lagrangedichte gegeben ist durch
LB = L + C ,
haben wir
gB (AB )aµ ΨB γ µ Ta ΨB = Zg g Aaµ Ψ γ µ Ta Ψ .
(9.163)
Dabei sind
1/2
ΨB = ZΨ Ψ
und
1/2
(AB )µ = ZA Aµ
(9.164)
und ZA = 1 + δZA .
(9.165)
mit
ZΨ = 1 + δZΨ
9
RENORMIERUNG
160
D.h., der Zusammenhang zwischen nackter und renormierter Kopplung ist
gB
−1/2
−1
= µεd /2 Zg g ZΨ
ZA
1
≃ µεd /2 (1 + δZg ) (1 − δZΨ ) 1 − δZA g
2
1
≃ µεd /2 1 + δZg − δZΨ − δZA g =: µεd /2 Zgeff g .
2
Man erhält mit (9.133)
g3
11
4
β(g) = −
c
(G)
−
n
ℓ(R)
2
f
16π 2 3
3
(9.166)
(9.167)
Mit (9.141) hat man für die laufende Kopplungsstärke einer nicht-abelschen Eichtheorie
g 2 (µ) =
g 2 (µ0 )
2
1 − b g 2 (µ0 ) ln µµ2
,
(9.168)
0
11
4
1
c2 (G) − nf ℓ(R) .
wobei b = −
16π 2 3
3
Für hinreichend kleine nf ℓ(R) ist das Vorzeichen negativ. Dieser Fall ist in der Natur bei
der starken Wechselwirkung realisiert. D.h., man geht davon aus, dass die starke Wechselwirkung durch die sog. Quantenchromodynamik beschrieben wird, die auf der Eichgruppe
SU(3) basiert, wobei die Fermionen (Quarks) als 3-plets bzw. 3-plets transformieren. Das
negative Vorzeichen von b hat weitreichende Implikationen:
(1) Asymptotische Freiheit. Für große µ, was nach der Diskussion in Abschnitt 9.3 (ii)
großen Energieskalen entspricht, strebt die Kopplung gegen 0.
(2) ΛQCD . Für hinreichend kleine µ divergiert gemäß (9.168) die Kopplung. Natürlich ist
das durch eine 1-Loop Rechnung erzielte Ergebnis in diesem Bereich nicht zuverlässig.
Dennoch bekommt man, wenn man vernünftige Werte einsetzt, einen kritischen Wert
von
µ ∼ ΛQCD ∼ 250 MeV .
Es stellt sich heraus, dass dieser Wert (und nicht die Massen der u- und d-Quarks)
die Skala für die Masse des Protons und Neutrons setzt. M.a.W., ΛQCD ist ein Maß
für die Bindungsenergie der u- und d-Quarks, aus denen sich das Proton bzw. das
Neutron zusammensetzt.
10
EFFEKTIVE THEORIEN
10
161
Effektive Theorien
10.1
Schwellen-Näherung
Massenschwellen. Üblicherweise treten im dimensionalen Regularisierungsverfahren Integrale vom Typ (mit Q2 := −q 2 mit dem Impulsübertrag q)
Z1
0
dx x (1 − x) ln
m2 − Q2 x (1 − x)
4π µ2
auf (vgl. etwa (9.41)). m ist dabei die Masse eines Freiheitsgrades, der in einer Schleife
propagiert.
Hier gibt es zwei Grenzfälle:
• Für Q2 ≪ m2 hängt das Ergebnis kaum von Q2 ab.
• Für Q2 ≫ m2 kann man m2 vernachlässigen.
Damit kann man für
• Q2 ≫ m2 die Quarkmasse vernachlässigen und für
• Q2 ≪ m2 den Impulsübertrag Q2 vernachlässigen.
Dies führt dazu, dass die Kopplungsstärke mit Q2 nur im ersten Fall läuft.
Anwendung auf QCD. In der Natur gibt es verschiedene Quarks mit unterschiedlichen Massen. Dieser Tatsache kann man Rechnung tragen, indem man sog. Schwellen“
”
definiert, oberhalb derer sich jeweils nF erhöht. Man hat also
αs (Q) =
αs (µ0 )
,
Q2
(11 − 2 nF /3)
αs (µ0 ) ln 2
1+
4π
µ0
(10.1)
wobei nF von der betrachteten Skala Q abhängt und
αs (Q) =
g 2 (Q)
4π
die Feinstruktur konstante“ der QCD ist.
”
Für beliebige Impulsüberträge Q erhält man α(Q), indem man die einzelnen aus der
Schwellennäherung gewonnenen Ergebnisse zusammensetzt (siehe Abbildung 5). Dies ist
selbstverständlich eine Näherung, d.h. die Unstetigkeiten der Ableitungen sind nicht physikalisch sondern eine Konsequenz unserer Vorgehensweise.
Fazit. Zum Laufen der Kopplungen einer Theorie bei einer Energie-Skala µ bzw. Q
tragen immer nur die Freiheitsgrade mit Massen m < µ bzw. Q bei. M.a.W., die βFunktion an der Skala µ ist sensitiv auf Schleifen, in denen Freiheitsgrade mit Massen
m < µ bzw. Q propagieren und blind“ gegenüber Freiheitsgrade mit größeren Massen.
”
10
EFFEKTIVE THEORIEN
nF = 3
162
nF = 4
nF = 5
•
αs
•
•
|
ms
|
mc
|
mb
•
|
mt ln Q
Abbildung 5: Schwellen-Näherung.
Asymptotische Freiheit. Man sieht, dass im realistischen Fall für die QCD nf =
nF (Q2 ≫ m2t ) = 6 die Kopplungsstärke mit wachsendem Q sinkt. Für sehr große Impulsüberträge Q erwartet man, dass durch die starke Wechselwirkung gebundene Teilchen
sich fast so verhalten wie freie Teilchen.
Dimensionale Transmutation (I). Experimentell findet man
αs Q2 = MZ2 = (91.2 GeV)2 = 0.1187(20) .
Damit kann man Gleichung (10.1) umschreiben,
αs (Q2 ) =
0.1187
.
Q2
(11 − 2 nF /3)
· 0.1187 · ln 2
1+
4π
MZ
(10.2)
Nun sieht man, dass αs divergiert, falls
1 =
(11 − 2 nF /3)
M2
· 0.1187 · ln 2Z .
4π
Λ
Dies passiert an der Renormierungsgruppen-invarianten Skala
4π
MZ ,
Λ = exp −
2 (11 − 2nF /3) α(MZ )
(10.3)
die sich numerisch ergibt zu
Λ = ΛQCD = 200 − 250 MeV .
Λ trägt den Namen Renormierungsgruppen-invarianten Skala“, denn für eine Theorie mit
”
β-Funktion
µ
d
g = b g3
dµ
zeigt man leicht, dass
d
1
µ
µ exp
= 0.
dµ
2b g 2
(10.4)
10
EFFEKTIVE THEORIEN
163
Diese Skala tritt ebenfalls (numerisch leicht verschoben) in einer Theorie auf, in der alle
Quarks masselos sind (oder in einer Theorie ohne Quarks), d.h. in einer Theorie, in der
es auf dem klassischen Niveau keine ausgezeichnete Massenskala gibt. Die Eigenschaft
von Quantenfeldtheorien, Skalen ‘aus dem Nichts’ zu generieren, ist auch als dimensionale
Transmutation bekannt.
Beachte: Der Ausdruck (10.3) ist eine 1-Loop Näherung, d.h. sie ist nur dann robust,
wenn die Kopplung g klein ist. Somit ist (10.2) streng genommen nur aussagekräftig,
falls Q2 ≫ Λ2 gilt. Man hat jedoch starke Hinweise aus Gitter-Simulationen, dass (10.2)
qualitativ die Physik richtig beschreibt.
10.2
Ausintegrieren schwerer Freiheitsgrade
Es soll die Methode des Ausintegrierens von effektiven Theorien erklärt werden. Wir betrachten dazu eine ‘Spielzeug-Lagrangedichte’
M2 2
1
Φ + a(φ) Φ − Lleicht (φ) .
−Ltoy = − (∂µ Φ) (∂ µ Φ) +
2
2
(10.5)
Hierbei ist Φ ein schweres reelles Skalarfeld, φ repräsentiert leichte Skalarfelder, die via
dem a(φ) Φ Term an Φ koppeln. Nun soll die Theorie für Energieskalen E ≪ M untersucht
werden. Für solche Energien kann der kinetische Term von Φ gegen M vernachlässigt
werden,
−Ltoy ≃
M2 2
Φ + a(φ) Φ − Lleicht (φ) .
2
Quadratische Ergänzung liefert
2
M2
a(φ)
a(φ)2
−Ltoy ≃
Φ+
− Lleicht (φ)
−
2
2
M
2M 2
M 2 2 a(φ)2
Φ̃ −
− Lleicht (φ) .
=:
2
2M 2
(10.6)
(10.7)
Die Vorhersagen der Quantenfeldtheorie erhält man aus dem erzeugenden Funktional, d.h.
aus dem Pfadintegral
Z
Z
4
Z[J, j] =
Dφ DΦ exp i d x [Ltoy + J Φ + j φ] ,
(10.8)
wo J bzw. j die Quellen für Φ bzw. φ bezeichnen. Wenn man die kinetischen Terme von
Φ vernachlässigt und J = 0 setzt, ergibt sich
Z
Z
M 2 e 2 a(φ)2
Z[j] ≃
Dφ DΦ exp i d4 x −
Φ +
+
L
(φ)
+
j
φ
.
(10.9)
leicht
2
2M 2
e und die (Gauß’sche) IntegraNun kann man die Integrationsvariable verschieben, Φ → Φ,
e
tion über Φ durchführen mit dem Ergebnis
Z
Z
a(φ)2
Z[j] ≃ N Dφ exp i d4 x
+
L
(φ)
+
j
φ
.
(10.10)
leicht
2M 2
10
EFFEKTIVE THEORIEN
164
N ist eine irrelevante Normierungskonstante. Das schwere Feld Φ ist aus der Theorie
verschwunden, man sagt es sei ‘ausintegriert’ worden. Die Theorie wird nun durch eine
effektive Lagrangedichte beschrieben,
a(φ)2
+ Lleicht (φ) ,
2M 2
Leff =
(10.11)
die nur die leichten Freiheitsgrade betrifft. Es gibt neue Wechselwirkungen zwischen den
leichten Feldern, die durch die Skala M unterdrückt sind, und die nicht-renormierbare
Terme beinhalten kann auch wenn die Ausgangstheorie renormierbar war.
Beispiel:
Betrachte
a(φ) = g φ3
und
Lleicht =
m2 2 λ 4
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) −
φ − φ .
2
2
4!
Dann ist
1
m2 2 λ 4 κ 6
(∂µ φ) (∂ µ φ) −
φ − φ + φ ,
2
2
4!
6!
Leff =
wobei κ = 6! g 2 /(2M 2 ). Der Zusatzterm ist in der Tat nicht renormierbar. Allerdings stellt
das kein Problem dar, denn Schleifen, die den φ6 -Vertex beinhalten, können nicht bis ∞
integriert werden, sondern werden bei µ ≃ M durch die entsprechenden Diagramme der
fundamentale(re) Theorie ersetzt. Dort hat man
1
1
→
,
M2
M 2 − p2
so dass der Divergenzgrad erniedrigt wird. Man kann sich das Ausintegrieren von Φ und den
damit entstehenden, effektiven φ6 -Term auch mit Feynman-Graphen plausibel machen,
p2 ≪M 2
−−−−−→
Φ
.
Der zusätzliche Term in Leff ist gerade so, dass der effektive Vertex reproduziert wird.
Beachte:
!
0 =
Wenn man in den Bewegungsgleichungen von Φ,
∂Ltoy
∂Ltoy
− ∂µ
,
∂Φ
∂(∂µ Φ)
die kinetischen Anteile vernachlässigt, erhält man die algebraische Relation
Φ = −
a(φ)
.
M2
Einsetzen in Ltoy und Vernachlässigen des kinetischen Terms von Φ liefert ebenfalls Leff .
10
EFFEKTIVE THEORIEN
Diese Aussage gilt relativ allgemein:



Ersetzung






 Ausintegrieren 
von Φ durch



schwerer
Bewegungsgleichung
↔
Freiheitsgrade



 unter Vernachlässigung






Φ für E ≪ M

der kinetischen Terme
165











Es gibt Ausnahmen von dieser Regel, wenn man Eichtheorien betrachtet.
Fazit: Theorien erfordern üblicherweise die Spezifikation eines Energiebereiches, in dem
sie gültig sind.
10.3
Das effektive Potential
Das Ziel dieses Abschnittes ist es, zu diskutieren, wie Quantenkorrekturen ein skalares
Potential modifizieren.
Wie üblich betrachten wir das erzeugende Funktional
i
W [J]
Z[J] = exp
~
Z
Z
i
d4 x (L + J ϕ) .
(10.12)
= N Dϕ exp
~
Hierbei haben wir die Planck’sche Konstante ~ wiederauferstehen lassen und N ist so
gewählt, dass Z[0] = 1. Für die Lagrangedichte benutzen wir wieder die ϕ4 Theorie, d.h.
1
g
L = (∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − m2 ϕ2 − ϕ4 ,
2
4!
(10.13)
bzw. die nackte Lagrangedichte ist
LB =
m2 + δm2 2
g µεd 4
1+A
(∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) −
ϕ − (1 + B)
ϕ .
2
2
4!
(10.14)
Aus unserer Diskussion in Abschnitt 9.3 (iii) wissen wir bereits, dass eine Entwicklung
in Schleifen einer Entwicklung in ~ entspricht.
Das klassische Feld ist gegeben durch
ϕc (x)
δW
δJ(x)
Z
Z
1
i
4
=
Dϕ ϕ(x) exp
d x (L + J ϕ)
Z[0]
~
= h−|ϕ|−iJ .
=
Die sog. effektive Wirkung ist
Z
Γ[ϕc ] = W [J] − d4 x J(x) ϕc (x) .
(10.15)
(10.16)
10
EFFEKTIVE THEORIEN
166
Sie hat die offensichtlichen Eigenschaften
δΓ[ϕc ]
= − J(x)
δϕc (x)
(10.17a)
und
Γ[ϕc ] =
Z
∞
X
1
e (n) (x1 , . . . xn ) ϕc (x1 ) · · · ϕc (xn ) ,
d4 x1 · · · d4 xn Γ
n!
n=0
(10.17b)
e (n) (x1 , . . . xn ) die OPI Greensfunktionen im Ortsraum bezeichnen.26 Gleichung (10.17b)
wo Γ
kann graphisch dargestellt werden durch
Z
Z
1
Γ[ϕc ] =
+ d4 x1
· ϕc (x1 ) +
· ϕc (x1 ) ϕc (x2 )
d4 x1 d4 x2
2
1
+
3!
Z
d4 x1 d4 x2 d4 x3
1
4!
Z
d4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4
+
· ϕc (x1 ) ϕc (x2 ) ϕc (x3 )
· ϕc (x1 ) ϕc (x2 ) ϕc (x3 ) ϕc (x4 ) + . . . ,
(10.18)
wo die ‘Blobs’ für alle Diagramme mit der entsprechenden Zahl an Beinchen stehen sollen,
etwa
=
+
+ ... ,
usw.
Effektives Potential. Ziel ist es, ein effektives Potential Veff zu finden, das die Relation
Z
Γ[ϕc ] =
d4 x [−Veff (ϕc ) + Z(ϕc ) (∂µ ϕc )(∂ µ ϕc ) + . . . ]
(10.19)
erfüllt, wo . . .“ Terme mit mehr als zwei Ableitungen bezeichnet. Veff ist dabei eine
”
gewöhnliche Funktion.
Um einen Zusammenhang zwischen Veff und den OPI Green’schen Funktionen herzustellen, erinnern wir uns an
Z 4
d k1
d4 kn (4)
e (n) (x1 , . . . xn ) =
Γ
·
·
·
δ (k1 + · · · + kn )
(2π)4
(2π)4
e−i (k1 ·x1 +···+kn ·xn ) Γ(n) (k1 , . . . kn ) .
26 Wir
(10.20)
verzieren hier die OPI Greensfunktionen im Ortsraum mit einer Schlange, da wir sie von den OPI
Greensfunktionen im Impulsraum unterscheiden möchten, die wir später hauptsächlich verwenden werden.
10
EFFEKTIVE THEORIEN
167
Jetzt können wir in den ki (oder, äquivalent dazu, in Ableitungen) entwickeln, und erhalten
Z 4
X 1 Z
d4 kn
d k1
·
·
·
d4 x1 · · · d4 xn
Γ[ϕc ] =
n!
(2π)4
(2π)4
n
Z
d4 x ei (k1 +···+kn )·x e−i (k1 ·x1 +···+kn ·xn )
h
i
Γ(n) (0, . . . 0) ϕc (x1 ) · · · ϕc (xn ) + . . .
Z
o
X 1 n
n
=
d4 x
Γ(n) (0, . . . 0) [ϕc (x)] + . . . ,
(10.21)
n!
n
wo . . .“ für Terme mit Ableitungen bzw. ki steht.
”
Im Folgenden sind wir an konstanten ϕc und J interessiert,
ϕc (x) = ϕc = konstant
und J(x) = J = konstant .
(10.22)
Damit wird das Funktional Γ[ϕc ] zu einer (J-abhängigen) Funktion Γ(ϕc ), die gemäß
(10.21) gegeben ist durch
Z
X 1
Γ(n) (0, . . . 0) ϕnc .
(10.23)
Γ(ϕc ) =
d4 x
n!
n
Durch Vergleich mit (10.19) erhalten wir
Veff (ϕc ) = −
X 1
Γ(n) (0, . . . 0) ϕnc .
n!
n
(10.24)
Weiter impliziert (10.17a) mit (10.19), dass
′
Veff
(ϕc ) = J .
(10.25)
Insbesondere zeigt diese Relation, dass der Vakuumerwartungswert von ϕc , d.h. der Wert
in Abwesenheit von Quellen, bestimmt ist durch
′
Veff
(ϕc ) = 0 .
(10.26)
Nun wollen wir das effektive Potential auf 1-Loop in der ϕ4 -Theorie bestimmen. Dazu
müssen wir die OPI-Diagramme mit 2n äußeren Beinchen auf 1-Loop berechnen.27 Diese
Diagramme sind
+
+
+ ...
Sie berechnen sich zu
Γ(2n) (0, . . . 0) = − i ~ Sn
27 Diagramme
eine
Z
d4 k
(2π)4
(−i g)
i
k 2 − m2 + i ε
n
.
(10.27)
mit einer ungeraden Zahl an äußeren Beinchen kann es nicht geben, da die ϕ4 Theorie
Z2 Symmetrie besitzt.
10
EFFEKTIVE THEORIEN
168
Hierbei ist der Symmetriefaktor gegeben durch
(2n)!
,
(10.28)
2n 2n
denn es gibt (2n)! Möglichkeiten, die 2n äußeren Beinchen anzubringen, und Vertauschung
zweier Beinchen an dem selben Vertex sowie Rotation der Vertizes führt zu keinem neuen
Beitrag. Die Summe aus 0- und 1-Loop Beiträgen ergibt sich zu
n
Z
∞
g 2
1 2 2
g
d4 k X 1
2 ϕc
Ve (ϕc ) =
m ϕc + ϕ4c − i ~
2
4!
(2π)4 n=1 n k 2 − m2 + i ε
Z
g 2
g
i
d4 k
1 2 2
2 ϕc
,
(10.29)
m ϕc + ϕ4c + ~
ln
1
−
=
2
4!
2
(2π)4
k 2 − m2 + i ε
Sn =
wobei die Entwicklung des natürlichen Logarithmus
ln(1 − x) = − x −
x2
x3
−
− ...
2
3
verwendet wurde.
Der letzte Ausdruck in (10.29) divergiert. In Ve sind jedoch die Counter-Terme nicht
berücksichtigt, die so gesetzt werden, dass die Amplituden physikalische Vorhersagen liefern. Wir werden sehen, dass diese Counter-Terme das effektive Potential endlich machen.
Unter Einbeziehung dieser Terme ergibt sich
Veff (ϕc )
=
g
1
δg
1 2 2
m ϕc + ϕ4c + δm2 ϕ2c + ϕ4c
2
4!
2
4!
#
"
Z
g 4−d 2
d
ϕc
i
d k
2 µ
+ ~
.
ln 1 − 2
2
(2π)d
k − m2 + i ε
(10.30)
Hierbei berechnen wir das divergente Integral in d Dimensionen (und mit ε → 0),
"
#
Z
g 4−d 2
µ
ϕ
dd k
c
ln 1 − 22
(2π)d
k − m2 + i ε
Z
h
−1 i
dd k
g
=
ln −k 2 + m2 + µ4−d ϕ2c −k 2 + m2
d
(2π)
2
"
!
2
#
Z
2
2
−k + (m + g2 µ4−d ϕ2c )
−k + m2
dd k
ln
− ln
.
=
(2π)d
µ2
µ2
Dabei wurde die Skala µ eingeführt, um die Argumente der Logarithmen dimensionslos zu
machen. Die beiden auftretenden Integrale lassen sich mit einem Trick auswerten,
2
2
Z
Z d
dd k
d kE
−k + M 2
kE + M 2
=
i
ln
ln
(2π)d
µ2
(2π)d
µ2







 ∂ Z dd k
1
E
= −i lim
α
2
α→0 

∂α (2π)d kE
+ M2




2
µ
(
!)
Γ α − d2
∂
1
(µ2 )d/2
= −i lim
α→0
∂α (4π)d/2 Γ(α) (M 2 /µ2 )α−d/2
Γ − d2
Γ − d2
(µ2 )d/2
= −i
(M 2 )d/2 ,
(10.31)
= −i
(4π)d/2 (M 2 /µ2 )−d/2
(4π)d/2
10
EFFEKTIVE THEORIEN
169
α→0
wobei verwendet wurde, dass Γ(α) −−−→ α−1 . Die Größe M 2 steht für m2 bzw. m2 +
g 4−d 2
ϕc . Durch Verwenden der Eigenschaft Γ(1 + n) = n Γ(n) entsteht in der Umgebung
2µ
d≃4
1
Γ(−d/2)
(M 2 )d/2
2
(4π)d/2
2 2
3
(M )
1
1
2
2
− ln M /µ + ln(4π) − γ +
+ O(εd ) .
(10.32)
=
+
16π 2
2εd
4
2
Hierbei wurde verwendet, dass
1
3
2
2
1
1
+
=
ε
+
.
.
.
,
d
d d
εd
2
4
εd
2 2 −1
wo . . .“ εd -unabhängige Terme bzw. positive Potenzen in εd bezeichnet. Desweiteren
”
wurde µ im Logarithmus von Hand“ eingeführt, um das Argument dimensionslos zu
”
machen.
Die Terme (10.32) mit M 2 = m2 bzw. M 2 = m2 + g2 µ4−d ϕ2c können in das Potential
eingesetzt werden, es enthält auf den ersten Blick divergente Ausdrücke. Diese können
beseitigt werden, indem man die nackten Kopplungen entsprechend anpasst. Wählt man
beispielsweise
1
1
3 2 1
δm2 =
g
und δg =
g
,
(10.33)
2
16π εd
16π 2 εd
so werden genau die Pole in εd ausgelöscht. Dies entspricht gerade den Counter-Termen,
die in Abschnitt 9.3 (v) eingeführt wurden, um die Divergenzen in den Diagrammen
und
zu beseitigen. Der Faktor 3 in δg ist, wie zuvor, kombinatorischer Natur.
Man erhält mit der Wahl (10.33)
g
3
1
2
2
−γ
+
ln(4π)
−
ln(m
/µ
)
+
Veff (ϕc ) = m2 ϕ2c 1 −
2
32π 2
2
2
3
3g
1 4
−γ + ln(4π) − ln(m2 /µ2 ) +
+ ϕc g −
4!
32π 2
2
"
2 2 1 2 2 #
m + 2 g ϕc
1
1 2
m
2
4
+
m + g ϕc
ln
− m ln
.
2
2
64π
2
µ
µ2
(10.34)
Dies ist das effektive Potential im MS Schema (vgl. Gleichungen (9.110)).
Allerdings kann man sich die Frage stellen, ob es sinnvoll ist, genau die Wahl (10.33)
zu treffen. Man hat noch die Freiheit, die Größen δg und δm2 um endliche Anteile zu
verschieben. Man könnte beispielsweise die Renormierungsbedingungen
d2 Veff = m2 ,
(10.35a)
dϕ2c ϕc =0
d4 Veff = g
(10.35b)
dϕ4c ϕc =µ
wählen. In diesem Fall ergibt sich das häufig zitierte Resultat für das effektive Potential,
10
EFFEKTIVE THEORIEN
g
g 2 ϕ4c
1
Veff (ϕc ) = m2 ϕ2c + ϕ4c +
2
4!
256π 2
170
2
25
ϕc
.
ln
−
µ2
6
(10.36)
Die Renormierungsbedingungen (10.35) legen also die Eigenschaften des Potentials lokal fest, aber globale Eigenschaften werden durch Quanteneffekte modifiziert (siehe auch
Abbildung 6).
Abbildung 6: Effektives Potential. Die gestrichelte (durchgezogene) Kurve zeigt das Potential ohne
(mit) Quantenkorrekturen.
Interpretation und Faustregel. Um die Modifikationen besser zu verstehen zu können,
betrachte
d d4 Veff −3g 2
.
(10.37)
µ
=
4
dµ dϕc
16π 2
ϕc =µ
Das ist bis auf das Vorzeichen genau die rechte Seite β-Funktion der ϕ4 -Theorie (vgl.
Gleichung (9.135)). Insbesondere haben wir
d d4 Veff 3g 2
ϕ
.
(10.38)
=
dϕ dϕ4c ϕc =µ
16π 2
Salopp gesagt könnte man das effektive Potential auch bekommen, indem man in das
Tree-Level Potential die laufenden Größen als Funktion des Feldes anstatt der Renormierungsskala µ einsetzt.28 Dies erlaubt es, ein gewisses Verständnis der Modifikationen durch
Quanten-Effekte zu erhalten.
Dimensionale Transmutation (II). Eine besonders interessante Situation ergibt sich,
wenn man m2 in (10.35) gleich 0 setzt. Man findet, dass das Potential dann trotzdem ein
28 Es stellt sich allerdings heraus, dass die simple Ersetzung µ → ϕ nicht wirklich exakt ist. Vielmehr
stellt sich in vielen Situationen heraus, dass man µ durch die Energieskala zu ersetzen hat. In der Praxis
sollte man also das effektive Potential explizit berechnen.
10
EFFEKTIVE THEORIEN
171
nicht-triviales Minimum aufweisen kann (vgl. Abbildung 7). Dieses Minimum ergibt sich
für ϕc = hϕc i mit
32
hϕc i2
= − π 2 + 11 g ,
(10.39)
g ln
2
µ
3
d.h. für sehr kleine Verhältnisse ϕ2c /µ2 . D.h., obwohl auf dem klassischen Niveau keine
Veff
Vtree
ϕ
(a) Klassisches Potential.
ϕ
(b) Effektives Potential.
Abbildung 7: Quanteneffekte führen zu einem nicht-trivialen Minimum für das klassische Potential
1 4
V = 4!
ϕ .
Massenskala eingebracht wird, wird diese durch Quanteneffekte generiert. Dies wird als
dimensionale Transmutation“ bezeichnet.
”
Nun ist es so, dass die Lösung (10.39) erfordert, dass der Logarithmus groß wird.
Man kann sich fragen, ob auf höherem Loop-Niveau höhere Potenzen dieses Logarithmus’
auftauchen. Dies ist in der Tat der Fall, daher ist die Relation (10.39) nicht vertrau”
enswürdig“. Es lässt sich aber zeigen, dass der Effekt der dimensionalen Transmutation
robust ist. Um dies zu sehen, kann man beispielsweise skalare Elektrodynamik betrachten,
d.h. die Lagrangedichte ist (vgl. Gleichung (8.20)),
L
=
1
(Dµ φ)∗ (Dµ φ) + m2 φ∗ φ − λ (φ∗ φ)2 − Fµν F µν + Eichfixierungs-Terme .
4
(10.40)
Man kann hier zeigen, dass tatsächlich ein neues Minimum entsteht (siehe z.B. [BL93,
S. 207 ff.]). Hierbei wird die U(1) Eichsymmetrie spontan gebrochen, man spricht in diesem
Zusammenhang von radiativer Symmetriebrechung“.
”
11
INSTANTONEN
11
172
Instantonen
Es geht darum, für die Quantenfeldtheorie relevante geometrischen Begriffe anhand des
Instanton-Beispiels zu diskutieren. Wir folgen in weiten Teilen der Argumentation von
Bailin & Love [BL93, Abschnitt 13.10] mit weiteren Anleihen an die Diskussion in dem
Buch von Cheng & Li [CL84]; die mathematischen Begriffe orientieren sich eher an dem
Buch von Nakahara [Nak90].
11.1
Physikalische Fragestellung
Wir betrachten eine Eichtheorie basierend auf der Eichgruppe SU(2). Wir interessieren
uns für Konfigurationen der Eichfelder A = Aa Ta , welche das Wirkungsfunktional extremalisieren. Es zeigt sich, dass es mehrere solche Konfigurationen gibt. Diesen kann über
den Feldstärketensor eine Energie zugeordnet werden.
Zur Diskussion des Vakuums der Theorie betrachtet man üblicherweise die euklidische,
d.h. auf dem R4 erklärte Wirkung
Z
Z
1 a e µν
4 1 a
µν
SE =
d x Fµν Fa =
d4 x Feµν
Fa .
(11.1)
4
4
Dabei wurde der duale Feldstärketensor Fe µν = 21 εµνρσ Fρσ formal eingeführt.
Im euklidischen Raum hat man
Z
2
a
a
≥ 0.
d4 x Fµν
± Feµν
Des Weiteren gilt gemäß (11.1)
Z
Z
i
2
h
a 2
a ea
a
a
= 2 d4 x (Fµν
) ± Fµν
Fµν .
d4 x Fµν
± Feµν
Daraus folgt die Ungleichung
Z
1 4
µν e a d x Fa Fµν .
SE ≥
4
(11.2)
(11.3)
(11.4)
Das =“-Zeichen gilt falls
”
a
a
Fµν
= ± Feµν
;
diese heißen (anti-)selbstduale Konfigurationen. Sie extremalisieren dann die euklidische
Wirkung SE .
Damit eine endliche Wirkung resultiert, muss Faµν für |x| → ∞ schnell genug abfallen.
Für physikalische Konfigurationen ist es sinnvoll, zu fordern, dass sich das Geschehen nur
in einem endlichen Bereich abspielt, etwa in
BR (0) = {x ∈ R4 ; |x| ≤ R} .
Außerhalb der Kugel soll eine reine Vakuumfeldkonfiguration vorliegen, d.h.
!
Aµ = Aaµ Ta =
i
(∂µ U ) U †
g
für x 6∈ BR (0)
(11.5)
mit einer SU(2)-wertigen Funktion U . Falls die Eichfelder A überall auf dem R4 diese
Gestalt haben, kann man sie auf Null transformieren. Gibt man sich jedoch Aaµ Ta wie
11
INSTANTONEN
173
oben im Außenraum“ vor, so ist nicht gesagt, dass es eine überall definierte, SU(2)”
wertige Abbildung U gibt, deren Einschränkung auf den Außenraum die Gleichung (11.5)
liefert.
Es gibt nun zwei Zugänge, um diese Frage anzugehen. Einen etwas physikalischeren“
”
[BL93, CL84] und einen eher mathematischeren“ [Nak90]. Im ersteren folgt man eher der
”
historischen Entwicklung, in der gezeigt wurde, dass man nicht-triviale Eichkonfigurationen, die der Bedingung (11.5) genügen, explizit konstruieren kann. Man kann zeigen, dass
jedes U ∈ SU(2) geschrieben werden kann in der Form
U = a 12 + i
3
X
bj σ j
wobei a2 + ~b 2 = 1
(11.6)
j=1
und σi die Pauli-Matrizen bezeichnet. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass det U = 1 und
U † U = 12 ist. Somit ist SU(2) isomorph zur 3-Sphäre S3 ,
X
SU(2) ≃ S3 = {x ∈ R4 ;
xi = 1} .
(11.7)
i
Betrachte nun
SU(2) ∋ U (x) =
mit ρ =
p
x4 + i ~x · ~σ
ρ
(11.8)
x21 + x22 + x23 + x24 . Daraus gewinnt man die Eichfeldkonfiguration
Aµ (x) =
i
ρ2
U −1 (x) ∂µ U (x) ,
g ρ2 + λ2
(11.9)
die asymptotisch für ρ ≫ λ die Bedingung (11.5) erfüllt. Dabei bezeichnet λ die Größe
”
des Instantons“, denn λ ist ein Maß für die Ausdehnung der nicht-trivialen Eichfeldkonfiguration, die man mit dem Begriff Instanton bezeichnet. Man rechnet leicht nach, dass
A4 (x) =
1 ~x · ~σ
g ρ2 + λ2
1 x0 ~σ − ~x × ~σ
~
und A(x)
=
.
g ρ2 + λ2
(11.10)
Um Konfigurationen zu erhalten, die (11.5) exakt (d.h. nicht nur asymptotisch) erfüllen,
muss man λ gegen 0 gehen lassen. Das führt aber auf Eichkonfigurationen, die für ρ → 0
singulär werden. In der mathematischeren Beschreibung, von der wir im Folgenden Gebrauch machen wollen, tritt dieses Problem nicht auf.
11.2
Geometrische Formulierung
Für die geometrische Formulierung macht man die folgenden Überlegungen: Man kann
durch Wahl einer Eichung im Außenraum A ≡ 0 erreichen. Wie bereits diskutiert, können
solche Eichungen etwas eigentümliche“ Eigenschaften haben können, sprich, sie können
”
singulär werden. Nun kann man den Punkt“ {∞} hinzunehmen und auf diese Weise den
”
4
4
R zur S kompaktifizieren
R4 ∪ {∞} ≃ S4 .
11
INSTANTONEN
174
Die Kompaktifizierung erfolgt beispielsweise über
N
•
die stereographische Projektion. Dabei wird, wie
rechts für den eindimensionalen Fall angedeutet,
ein Punkt in der Ebene Rn mit dem Schnittx∈!
punkt der Verbindung des Punktes mit dem Südpol
•
S und der n-Sphäre identifiziert. Der Südpol selbst
•
ϕ
entspricht dann dem Punkt ∞.
x′ ∈ 1
Mathematiker würden sagen, der Konfigurati•
onsraum sei ein Faserbündel aus dem kompakS
4
2
tifizierten Ortsraum S und dem C als definierende Darstellung der Eichgruppe SU(2), welche zugleich Strukturgruppe ist. Für eine
Einführung dieser Begriffe und eine mathematische Diskussion der Instantonen sei auf das
Buch von Nakahara [Nak90] verwiesen; die Vorgehensweise hier ist teilweise in Anlehnung
an diese Diskussion.
Die S4 kann man durch zwei Karten ( He”
misphären“) überdecken,
UN
US
= {x ∈ R4 ; |x| ≤ R + ε} ,
= {x ∈ R4 ; |x| ≥ R − ε} .























UN
Die Übergangsfunktion tNS : UN ∩ US → SU(2)
wird charakterisiert durch eine auf dem Äquator, US 



der der S3 entspricht, erklärten Abbildung S3 →



SU(2).
3
Die SU(2) ist ihrerseits isomorph zur S . Der
Kartenwechsel kann als Funktion tNS : S3 → S3
aufgefasst werden. Man kann nun zeigen, dass die Abbildungen S3 → S3 in verschiedene
Homotopieklassen zerfallen.
Das Wesentliche an dieser Beschreibung ist, dass man die Singularitäten, die in (11.9)
für λ → 0 auftreten beseitigen kann. Man kann in beiden Hemisphären, d.h. in UN und
US , die Singularitäten vermeiden. Der Preis, den man dafür zahlen muss, ist dass die
Übergangsfunktion topologisch nicht-trivial ist.
11.3
Topologische Begriffe
Homotopie.
Seien f, g : X → Y stetige Abbildungen. Existiert ein stetiges
F : X ×I → Y
wobei I = [0, 1]
mit
F (x, 0) = f (x)
und F (x, 1) = g(x) ,
so heißt f homotop zu g. Die Abbildung F wird Homotopie genannt.
Beispiel:
Betrachte Abbildungen f :
S1 = R/2π Z .
D.h., wir haben die reellen Zahlen
S1 → S1 . Man kann die 1-Sphäre auffassen als
R in Äquivalenzklassen aufteilt,
[x] = {y; x − y = 2π m für ein m ∈ Z} ,
11
INSTANTONEN
175
d.h.
x ∼ y
⇐⇒
x − y = 2π m .
Damit ist klar, dass eine stetige Abbildung
R → R mit f (0) = 0 und f (x + 2π) ∼ f (x)
als Abbildung S1 → S1 aufgefasst werden kann. Das bedeutet, dass
f (x + 2π) = f (x) + 2π n für ein n ∈ Z.
f:
Man nennt n Grad der Abbildung f . Dieses n charakterisiert f in folgendem Sinne (siehe
Abbildung 8):
Besitzen zwei Abbildungen f und g denselben Grad n, so sind sie homotop.
n=2
4π
nicht
homotop
n=1
2π
homotop
2π
Abbildung 8: Homotopie.
Topologie von Eichfeldkonfigurationen am Beispiel der U(1). Betrachte eine
U(1)-Eichtheorie mit R als Ortsraum. Vakuum-Konfigurationen der Eichfelder A besitzen
die Darstellung
A(x) =
i −1
U (x) ∂x U (x)
g
(11.11)
mit
U (x) = ei ϑ(x) .
Gilt
lim U (x) = 1 ,
x→±∞
so kann man den Ortsraum
R ∪ {∞} ≃ S1 ;
R durch Hinzunahme des Punktes {∞} kompaktifizieren,
etwa durch stereographische Projektion (vgl. Abschnitt 11.2).
In diesem Fall muss ϑ für betragsmäßig große x gegen ein Vielfaches von 2π gehen,
x→±∞
ϑ(x) −−−−−→ 2π n± .
(11.12)
11
INSTANTONEN
176
Der Wertebereich von U , also die U(1), kann als S1 aufgefasst werden. Die Eichtransformation ist also im topologischen
Sinn eine Abbildung
U:
S1 → S1 .
Dieser kann gemäß obiger Aussage ein Grad zugeordnet werden, der offensichtlich durch
ϑ
ϕ
n = n+ − n−
gegeben ist.
Die Topologie einer Konfiguration (11.11) kann mittels einer einfachen Skizze verdeutlicht werden: Wenn der kompaktifizierte Ortsraum als Kreis dargestellt wird, kann man an
jedem Punkt einen Feldraum definieren. Man kann den Ort
durch einen Winkel, etwa ϕ, und die Feldausrichtung durch
den Winkel ϑ darstellen. Trägt man in einer Skizze die Winkel
geeignet gegeneinander auf, so entspricht die Konfiguration
mit Grad 0 einem Zylinder, die mit Grad 1 einem Möbiusband
usw. Diese Anschauung motiviert den Begriff Windungszahl
für n.
Wir haben R auf der 1-Sphäre S1 kompaktifiziert, die durch den Winkel ϕ parametrisiert
werden kann. Gleichung (11.12) übersetzt sich dann in
ϕ→0
ϑ(ϕ) −−−→ n−
ϕ→2π
und ϑ(ϕ) −−−−→ n+ .
(11.13)
Diese Abbildungen zerfallen in Homotopie-Klassen gemäß n = n+ − n− (siehe Abbildung 8). Man kann sich nun sofort davon überzeugen, dass sich die Homotopieklasse durch
das Integral (über den ursprünglichen“ Ortsraum R)
”
Z
Z
1
1
′
dx ϑ (x) =
dx U −1 (x) ∂x U (x)
(11.14)
n =
2π
2π i
berechnen lässt.
11.4
Instanton-Zahl
Es stellt sich heraus, dass die Homotopieklassen der SU(2)-Eichfeldkonfiguration tNS :
S3 → SU(2) ≃ S3 ebenfalls durch eine ganze Zahl n charakterisiert werden. Deren Betrag
gibt in gewisser Weise an, wie oft die Bildmenge die S3 überdeckt. Diese sog. Instantonzahl
n wird daher in der Literatur häufig auch als Windungszahl bezeichnet.
Beispiele:
(1) Die konstante Abbildung
t0 :
S3 ∋ x 7→ 1 ∈ SU(2)
hat Windungszahl n = 0.
(2) Die Identität (der Abbildung
t1 : x 7→
S3 → S3 )
1 4
x 12 + i xj σj
ρ
definiert die Klasse 1.
11
INSTANTONEN
177
(3) Abbildungen der Klasse n, tn , sind durch tn1 (d.h. n-fache Hintereinanderausführung
von tNS ) gegeben.
Es ist nun möglich, durch eine Verallgemeinerung von (11.14) die Klasse oder HomotopieZahl einer Abbildung t : S3 → SU(2) zu ermitteln ([Nak90, S. 364] und [BL93, S. 214]),
Z
1 µνρσ
d3 S nµ tr t−1 (∂ν t) t−1 (∂ρ t) t−1 (∂σ t) .
(11.15)
ε
n =
2
24π
S3
Es gilt
tr Fµν Feµν = 2 εµνρσ tr [(∂ µ Aν + i g Aµ Aν ) (∂ ρ Aσ + i g Aρ Aσ )]
=
=
mit
2 εµνρσ tr [(∂ µ Aν ) (∂ ρ Aσ ) + 2i g (∂ µ Aν ) (Aρ Aσ )]
2i g ρ σ
ρ σ
µ
ν
=: ∂ µ Kµ
A A
∂ A +
2 ∂ εµνρσ tr A
3
2
Kµ = εµνρσ tr Aν F ρσ − i g Aρ Aσ
.
3
(11.16)
(11.17)
Das bedeutet, dass man das Integral über tr[Fµν Feµν ] mittels des Stokes’schen Theorems
umformen kann,
Z
Z
d4 x tr[Fµν Feµν ] =
d3 S nµ Kµ
S3
Fµν =0
−−−−→
2
− i g εµνρσ
3
Da auf der Äquator-S
Aν =
Z
S
d3 S nµ tr [Aν Aρ Aσ ] .
(11.18)
3
3
i −1
t ∂ν tNS
g NS
gilt, ist das Integral (11.18) proportional zu der Windungszahl n,
Z
8π 2
d4 x tr F µν Feµν = − 2 n .
g
(11.19)
Physikalisch bedeutsam ist, dass (11.19) nach (11.4) gerade eine untere Schranke für
die euklidische Wirkung SE ist. Die Eichfeldkonfigurationen mit einer solchen extremalen
Wirkung werden als Instantonen bezeichnet. Für die extremalen, d.h. (anti-)selbstdualen
Lösungen, kann man die Wirkung (11.1) durch die Instantonzahl ausdrücken
SE =
8π 2 |n|
.
g2
(11.20)
Im Folgenden wird die Bedeutung dieser Konfigurationen für die Physik im MinkowskiRaum diskutiert.
11
INSTANTONEN
11.5
178
Instanton-Tunneln
Die Kompaktifizierung des R4 zur S4 berücksichtigt u.a. die Drehsymmetrien des R4 .
Zeichnen wir nun eine Richtung, etwa durch x4 parametrisiert, als Zeit“ aus, so können
”
wir uns die verbleibenden räumlichen“ Richtungen zur S3 kompaktifiziert denken. Die
”
3
Instanton-Lösung vermittelt dann zwischen einer auf der S erklärten Konfiguration mit
π3 = m für x4 → −∞ und einer mit π3 = m + n für x4 → +∞. Allerdings ist der
Wert m nicht charakteristisch für die Eichfeldkonfiguration, da er sich unter einer großen
Eichtransformation ändert. Große Eichtransformationen sind vom Typ (11.8) mit festem
x4 . Sie entsprechen Abbildungen U : S3 → SU(2) ≃ S3 mit einer nicht-trivialen Homotopieklasse.
Die Zahl n hingegen charakterisiert eine Eichfeldkonfiguration. Das Integral (11.15) ist
invariant unter sog. kleinen Eichtransformationen (U : R3 → SU(2)). Kleine Eichtransformationen sind auf R3 definierte, SU(2)-wertige Abbildungen U , die der trivialen Klasse
angehören, d.h. dort homotop zu U0 = 0 sind.
Eichtransformationen U , die in einer nicht-trivialen Klasse liegt, führen entsprechend auf
einen anderen Wert für das Integral, und man spricht von einer großen Eichtransformation.
Wie bereits erwähnt, ist es allerdings nicht möglich, eine solche Abbildung singularitätsfrei auf dem ganzen R4 zu erklären unter der Nebenbedingung
U (x) →
12
für |x| → ∞ ;
durch Rechnung zeigt man explizit, dass Aµ = t−1
n ∂µ tn singulär wird entweder für |x| → 0
oder |x| → ∞, falls n 6= 0.
Wir können das Instantonzahl-Integral in ein Oberflächenintegral umformen,
Z
Z
i
h
−g 2
−g 2
4
µν e
d3 S nµ Kµ .
(11.21)
=
d
x
tr
F
F
n =
µν
8π 2
8π 2
R4
Oberfläche M
3
3
= {~r ∈ R3 ; |~r| ≤
× [T− , T+ ] mit BR
Wir können beispielsweise M als Zylinder“ BR
>
>
”
R> > R} und T− < −R bzw. T+ > R wählen. Um die Zeitabhängigkeit zu eliminieren, wird die Eichung A0 = 0 verwendet. Um Randbedingungen der Eichpotentiale im
3
zur S3 kompaktifiziert (Abbildung 9).
Unendlichen zu vermeiden, wird BR
>
Es reduziert sich für A0 = 0 das Oberflächenintegral zur Differenz zweier räumlicher
Integrale
Z
Z
−g 2
−g 2
3
d
x
K
(T
)
−
d3 x K0 (T− )
n =
0 +
8π 2
8π 2
R3
=
+
NCS
−
R3
−
NCS
.
(11.22)
In der physikalischen Literatur ist es nämlich üblich, die sog. Chern-Simons-Zahl durch
(orientierte) räumliche Integrale über K0 bei festgehaltener Zeit t zu erklären
Z
−g 2
d3 x K0 (t) .
(11.23)
NCS (t) =
8π 2
R3
Diese nimmt für eine pure Eichkonfiguration ganzzahlige, ansonsten beliebige Werte an.
Damit lässt sich obige Differenz interpretieren: Da A sowohl für T− als auch für T+ pure
Eichkonfiguration ist,
Aµ (T± ) =
i −1
U ∂µ U± ,
g ±
(11.24)
11
INSTANTONEN
179
B3
R
>
BR
B3
R
>
t
Abbildung 9: Illustration zum Instanton-Tunneln.
können wir der Eichfeldkonfiguration für T± jeweils eine Chern-Simons-Zahl zuordnen,
Z
1
−1
−1
−1
±
d3 x tr(U±
∂i U± ) tr(U±
∂j U± ) tr(U±
∂k U± ) .
(11.25)
NCS
= εijk
24π 2
R3
Diese ist nach Konstruktion ganzzahlig, denn sie entspricht gerade der Windungszahl der
Abbildung U± : S3 → SU(2) ≃ S3 . Die S3 -Integration ist für U± äquivalent zur
R3 -Integration.
−
+
NCS ändert sich für T− → T+ von NCS
nach NCS
. In der Literatur werden die puren
Eichkonfigurationen (11.24) als Vakua bezeichnet. Der absolute Wert einer Chern-SimonsZahl hat keine physikalische Bedeutung, man kann ihn durch eine zeitunabhängige, große
Eichtransformation ändern; die obige Differenz dieser Zahlen ist jedoch die Instantonzahl
und somit physikalisch bedeutsam (und ändert sich demzufolge nicht unter Eichtransformationen).
11.6
Das θ-Vakuum
Das Instanton lässt sich als Tunnelprozess zwischen verschiedenen Vakua interpretieren.
Unter einem Vakuum verstehen wir in diesem Kontext eine zeitunabhängige, d.h. auf dem
R3 erklärte Konfiguration mit verschwindender Feldstärke.
Da die Instantonwirkung SE endlich ist, erwartet man eine von 0 verschiedene Übergangsamplitude von der Ordnung e−SE zwischen diesen Vakua. Das legt natürlich nahe,
dass das quantenmechanische Vakuum sich aus den diesen Vakua zusammensetzt.
Desweiteren kann man diese Linearkombination sogar explizit hinschreiben. Dazu bezeichnen wir die durch einen Wert von NCS charakterisierte Konfiguration einfach mit
11
INSTANTONEN
180
|NCS i. Die Forderung nach Eichinvarianz bedeutet, dass der Hamilton mit der Eichtransformation vertauscht
[U, H] = 0 .
(11.26)
Somit muss das physikalische Vakuum, im folgenden mit |θi bezeichnet, ein Eigenzustand
der Eichtransformation sein, etwa einer Transformation der Klasse 1
U |θi = ei θ |θi .
(11.27)
Dies führt auf
X
|θi ∝
e−i NCS θ |NCS i .
(11.28)
NCS
Der Wert von θ ist nicht festgelegt. Das physikalische Vakuum, d.h. der Grundzustand der
Theorie, ist eine Superposition klassischer extremaler Konfigurationen.
Ein Instanton bezeichnet dann also einen Prozess, bei dem sich allen Konfigurationen
in der Superposition (11.28) der Wert von NCS ändert (Abbildung 10).
Energie
|
0
Instanton-Prozeß
|
1
|
2
NCS
Abbildung 10: Cartoon des θ-Vakuums. Das Quanten-Vakuum ist eine Superposition klassischer,
topologisch verschiedener Vakuum-Konfigurationen. Ein Instanton ist ein Tunnelprozess, bei die
NCS -Werte der Eichfeldkonfigurationen kollektiv springen“.
”
Wir werden im Folgenden sehen, welche physikalischen Konsequenzen ein solcher InstantonProzess haben kann.
12
ANOMALIEN
12
181
Anomalien
In der Lagrange-Feldtheorie spiegeln sich Symmetrien der Theorie durch entsprechende
Symmetrien in der Lagrangedichte wieder. In diesem Zusammenhang spricht man von
einer klassischen Symmetrie.
Nun gibt es keine Garantie, dass solche Symmetrien der Lagrangedichte auf dem Quantenniveau erhalten bleiben. Wenn eine klassische Symmetrie im Prozeß der Quantisierung
nicht aufrechterhalten werden kann, so hat die Theorie eine Anomalie.
Man unterscheidet zwischen der Anomalie, welche eine globale Symmetrie verletzt, und
der Eichanomalie, die eine Eichsymmetrie verletzt.29 Im letzteren Fall werden die Theorien
inkonsistent, daher fordert man für eine Eichtheorie, dass sich die Eichanomalien wegheben.
Im Folgenden werden Anomalien globaler Symmetrien betrachtet.
12.1
Historische Vorbemerkung: Anomalien und Dreiecksdiagramme
Historisch wurden die Anomalien in der perturbativen Quantenfeldtheorie entdeckt. Es stellt sich heraus, dass das rechtsstehende Diagramm divergiert, wobei die Divergenz nicht durch
einen (üblichen) Counter-Term beseitigt werden kann. In vielen Situationen addieren sich aber die Divergenzen solcher
Diagramme zu 0, d.h. die Anomalien heben sich weg.
Allerdings ist die Anomalie kein perturbativer Effekt. In
der diagrammatischen Behandlung fällt es schwer, zu sehen,
dass, wenn sich die rechtsstehenden Diagramme wegheben, nicht auf einem höheren LoopNiveau doch noch Divergenzen auftreten könnten, die Probleme bereiten. In der nichtperturbativen, auf dem Pfadintegral basierenden Behandlung, die wir im Folgenden diskutieren werden, werden wir sehen, dass das nicht der Fall ist.
12.2
(i)
Abelsche Anomalie
Chiralen Symmetrie
Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte eines masselosen Diracfeldes
1
L = i Ψγ µ (∂µ − i g Aµ ) Ψ − tr(Fµν F µν ) .
2
Diese Lagrangedichte weist neben der lokalen Symmetrie
Ψ → UΨ
(12.1)
und Aµ → U −1 {Aµ + ∂µ } U
mit der Eichtransformation U auch noch eine sog. chirale Symmetrie auf,
Ψ → ei α γ5 Ψ
und Ψ → Ψ ei α γ5 .
(12.2)
Dies ist eine globale Symmetrie, d.h. α hängt nicht von x ab. Ein Massenterm m Ψ Ψ
würde die chirale Symmetrie brechen.
Der zur chiralen Symmetrie gehörige Noetherstrom ist
j5µ = Ψ γ µ γ5 Ψ .
Auf dem klassischen Niveau ist dieser Strom natürlich erhalten, d.h.
∂µ j5µ = 0
29 Darüber
(klassisch) .
hinaus gibt es gravitationelle Anomalien und Witten-Anomalien.
(12.3)
12
ANOMALIEN
(ii)
182
Anomale Nicht-Erhaltung von j5
Jetzt soll die Situation im Rahmen der Quantenfeldtheorie untersucht werden. Dazu betrachtet man beispielsweise die Größe
Z
Z
DΨ .
(12.4)
B =
DΨ DΨ exp i d4 x Ψ Wesentlich ist jetzt die Überlegung, dass diese Größe unter einer Transformation der In”
tegrationsvariablen“, d.h. der Felder Ψ und Ψ, invariant sein sollte. Wir wählen für diese
eine infinitesimale lokale chirale Transformation (12.2)
Ψ(x) →
Ψ(x) →
Ψ(x) + i α(x) γ5 Ψ(x) ,
Ψ(x) + i Ψ(x) α(x) γ5
(12.5a)
(12.5b)
durch. Offensichtlich ist, dass die Lagrangedichte nicht invariant ist unter (12.5), sondern
transformiert wie
(12.5)
L −−−−→ L − (∂µ α) Ψ γ µ γ5 Ψ .
| {z }
(12.6)
=j5µ
Des Weiteren kann man zeigen, dass sich das Integrationsmaß ebenfalls ändert.30 Hierzu
zerlegen wir die Felder
X
X
Ψ =
an ψn , Ψ =
b̄n ψn† .
(12.7)
n
n
Dabei sind ai und bi Grassmann-Variablen und die ψn Eigenvektoren zum Dirac-Operator
i
D ψn = λ n ψn .
(12.8)
Letztere sollen orthonormiert sein
Z
hψn |ψm i :=
d4 x ψn† (x) ψm (x) = δnm .
Man wählt auch oft die aus der Quantenmechanik gewohnte Darstellung
ψm (x) = hx|mi .
(12.9)
Bei einer infinitesimalen Transformation kann man die Veränderung alleine auf die an bzw.
b̄n abwälzen,
X
Ψ′ (x) = (1 + i α γ5 ) Ψ(x) =
a′n ψn (x) ,
n
′
Ψ (x)
= Ψ(x) (1 + i α γ5 ) =
X
b̄′n ψn† (x) ,
(12.10)
n
wobei
a′n
=
X
Cnm am ,
(12.11a)
Cnm b̄n ,
(12.11b)
m
b′m
=
X
n
30 Dies wurde zuerst von Fujikawa im Jahr 1979 festgestellt. Deswegen trägt die nun folgende Behandlung
von Anomalien mit dem Pfadintegral den Namen Fujikawa-Methode“.
”
12
ANOMALIEN
183
Hierbei ist
Cnm = δnm + i
Z
d4 x α(x) ψn† (x) γ5 ψm (x) .
(12.12)
Das Integralmaß für a-Zahlen transformiert mit dem Inversen der Determinante der Transformation C (siehe Gleichung (D.32)),
Y
Y
da′n = det(C)−1
dan ,
(12.13a)
wobei
Y
n
db̄′m
−1
=
det(C)
Y
db̄m ,
(12.13b)
m
det(C)
Z
exp(tr ln C) = exp Tr ln δnm + i d4 x α(x) ψn† (y) γ5 ψm (y)
†
≈ exp Tr i α(x) ψm
(y) γ5 ψn (y) .
(12.14)
=
Die Spur Tr“ ist sowohl über die Indizes n, m als auch über die Diracindizes zu nehmen. Da
”
wir infinitesimale Transformationen betrachten, kann das ≈“ durch ein Gleichheitszeichen
”
ersetzt werden.
Insgesamt erhalten wir
Z
4
(12.15)
DΨ DΨ → exp −2i d x α(x) A (x) DΨ DΨ .
Dabei wurde die Anomalie-Funktion
X
A (x) :=
ψn† (x) γ5 ψn (x)
(12.16)
n
eingeführt.
Regularisierung von A . Die Anomalie-Funktion (12.16) ist nicht wohldefiniert. Um
sie auszuwerten, muß die Summe regularisiert werden. Wir bewerkstelligen dies, indem wir
einen Faktor exp(−λ2n /M 2 ) einführen und M am Ende gegen ∞ schicken,
X
ψn† (x) γ5 ψn (x) → lim ψn† (x) γ5 ψn (x) exp −(λn /M )2
n
M →∞
lim ψn† (x) γ5 exp −(i D/M )2 ψn (x)
M →∞
X f γ5 exp −(i Tr
D/M )2 ψn (x) ψn† (x) .
=
lim
=
M →∞
(12.17)
n
f die Spur über die Darstellungs-Indizes i, j und Dirac-Indizes α, β.
Hierbei bezeichnet Tr“
”
Wir können also schreiben
X
αβ
A = lim γ5 exp −(i D/M )2 ij lim
[ψn (x)]jβ [ψn† (y)]iα ,
(12.18)
y→x
M →∞
n
denn der hintere Ausdruck ist proportional zu δαβ δ ij ,
X
X
[ψn (x)]jβ [ψn† (y)]iα = δαβ δ ij
hx|mi hm|yi
n
= δαβ δ ij
= δαβ δ ij
Z
m
d4 k
hx|ki hk|yi
(2π)4
Z
d4 k −i k·x i k·y
e
e
.
(2π)4
(12.19)
12
ANOMALIEN
Somit haben wir
A (x) =
lim
M →∞
184
Z
(i D)2 −i k·x
d4 k f
i k·x
.
e
Tr
γ
e
exp
−
5
(2π 4 )
M2
(12.20)
Nun verwenden wir (7.15), [Dµ , Dν ] = −i g Fµν , um das Quadrat des Dirac-Operators
umzuformen,
1 µ ν
1
(i D)2 = −γ µ γ ν Dµ Dν = −
{γ , γ } + [γ µ , γ ν ] Dµ Dν
2
2
g
(12.21)
= −Dµ Dν + i [γ µ , γ ν ] Fµν
4
und
ei k·x f (∂µ ) e−i k·x = f (∂µ − i kµ )
für beliebige Funktionen f . Damit ist
Z
d4 k f
(i Dµ + kµ ) (i Dµ + k µ )
γ µ γ ν Fµν
.
Tr γ5 exp −
− ig
A (x) =
lim
M →∞
(2π)4
M2
2M 2
(12.22)
Beachte nun, dass
trD γ5 = trD γ5 γ µ γ ν = 0 und
trD γ5 γ µ γ ν γ ρ γ σ = 4i εµνρσ ,
wo trD die Spur über Dirac-Indizes bezeichnet. Damit sieht man durch Entwicklung der
Exponentialfunktion und der Beobachtung, dass Terme mit mehr als vier Potenzen von
M im Nenner im Limes M → ∞ verschwinden, dass nur der Fµν -Term überlebt,
Z
µ
2
1
1
d4 k
e µν Fρσ ) .
A (x) =
lim
ek kµ /M (−4 g 2 ) i εµνρσ tr(F
M →∞ 2!
(2π)4 (2M 2 )2
(12.23)
Das k-Integral kann mit einer Wick-Rotation ausgerechnet werden,
Z
Z
1 0
1
e2
4
−kµ kµ /M 2
3
d
k
e
=
(−i)
d4 kE e−k = i π 2 mit e
k :=
(k , −i ~k) .
M4
M
Dies führt uns schließlich auf
A (x) =
g2
tr{Fµν Feµν } .
16π 2
(12.24)
tr“ bezeichnet darin die (übliche) Spur über die Gruppenindizes.
”
Ist nun der Exponentialfaktor in (12.15) von 1 verschieden, so ändert die Größe B unter
der Transformation der Integrationsvariablen ihre funktionale Gestalt,
Z
Z
.(12.25)
D Ψ(x) + α(x) ∂µ j5µ − 2 α(x) A (x)
B →
DΨ DΨ exp i d4 x Ψ(x) Dabei wurde einmal partiell integriert. Soll B invariant sein unter der Änderung der Integrationsvariablen, so muß – da α(x) beliebig ist – gelten
12
ANOMALIEN
185
∂µ j5µ = 2 A (x) .
(12.26)
Das zeigt, dass der aus der globalen Symmetrie folgende Noetherstrom auf dem Quantenniveau nicht erhalten ist, sofern A 6= 0. Man spricht von der chiralen Anomalie.
Insbesondere läßt sich damit die Nicht-Erhaltung des chiralen Stromes alleine durch den
Feldstärketensor ausdrücken,
∂µ j5µ =
g2
tr{Fµν Feµν } .
8π 2
(12.27)
Die obige Rechnung kann leicht dahingehend erweitert werden, dass die chirale Transformation durch einen Generator T erzeugt wird, d.h. die globale chirale Symmetrie ist
Ψ → exp(i α T γ5 ) Ψ .
(12.28)
Dann ist
A (x) =
(iii)
g 2 a e µν b
F F
tr [Ta Tb T] .
8π 2 µν
(12.29)
Anomalien und Chiralität
Da für jeden Eigenvektor ψn der Vektor γ5 ψn ebenfalls Eigenvektor zu i D mit Eigenwert
−λn ist,
i
D γ5 ψn = − γ5 i D ψn = − γ5 λn ψn = − λn γ5 ψn ,
gilt für λn 6= 0: ψn ⊥ γ5 ψn , und es tragen in der Anomalie-Funktion (12.16)
X
ψn† (x) γ5 ψn (y)
n
nur die Null-Moden, d.h. die Eigenvektoren zu Eigenwert 0, bei.
Den Raum der Null-Moden entwickeln wir nach Eigenzuständen zu γ5 ,
γ5 |0, ni± = ± |0, ni± ,
(12.30)
und erhalten für das Integral über die Anomaliefunktion
Z
X
X
d4 x A (x) =
− h0, n|0, ni− = ν+ − ν− .
+ h0, n|0, ni+ −
n
(12.31)
n
Dabei ist ν+ bzw. ν− die Zahl der Nullmoden mit positiver bzw. negativer Chiralität.
Fazit: Nur in chiralen Theorien, d.h. Theorien mit einer unterschiedlichen Anzahl an
links- bzw. rechtshändigen Fermionen in einer Darstellung, können Anomalien auftreten.
12
ANOMALIEN
12.3
186
Anomalien und Instantonen
Wir hatten bei der Diskussion der Instantonen gesehen, dass in einer SU(2) Eichtheorie die
Größe tr(Fµν Feµν ) topologisch“ ist (vgl. (11.19)), d.h. das Integral darüber ist proportional
”
zu einer ganzen Zahl n,
Z
8π 2
(12.32)
d4 x tr F µν Feµν = − 2 n .
g
Wir hatten auch gesehen, dass Instantonen im Minkowski-Raum als Tunnelprozesse zwischen verschiedenen Vakua interpretiert werden können, bzw. etwas exakter als topologisch
nicht-triviale Übergänge des θ-Vakuums in sich selbst. Mit der Diskussion aus diesem Abschnitt haben wir einen Zusammenhang zwischen dem Integranden in (12.32) und der
anomalen Nicht-Erhaltung des klassischen Stroms j5 erarbeitet. Definiere nun eine klassische Ladung
Z
Q5 =
d3 x j50 .
(12.33)
Gleichung (12.27) impliziert, dass Q5 nicht erhalten ist, sondern dass in Anwesenheit eines
Instantonprozesses
∆Q5
=
dt Q̇5 =
ZT+
dt
ZT+
dt NCS = n .
T−
=
dt ∂t
T−
T−
=
ZT+
ZT+
Z
d3 x j50
−g 2 eµν
tr
F
F
µν
8π 2
(12.34)
T−
D.h., die Ladung Q5 ändert sich in Anwesenheit eines Instanton-Prozesses um n Einheiten,
wo n die Instanton-Zahl bezeichnet. M.a.W., nicht-triviale Übergänge des θ-Vakuums in
sich selbst gehen einher mit einer Verletzung des klassischen Erhaltungssatzes Q̇5 = 0.
Die obige Diskussion findet auch für den Fall Anwendung, dass man anstatt einer SU(2)
Eichthheorie eine Eichtheorie basierend auf der Gruppe G, die SU(2) enthält, d.h. G ⊂
SU(2) (etwa G = SU(3)), betrachtet.
Bemerkung: Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik ist eine chirale Theorie.
Es stellt sich heraus, dass sich alle Eichanomalien wegheben. Allerdings gibt es globale
Baryon-Zahl (B) bzw. Lepton-Zahl (L) Symmetrien U(1)B bzw. U(1)L . Die Linearkombination B −L ist anomalienfrei. Die Kombination B +L hingegen ist anomal; man vermutet
heute, dass dies maßgeblich für die Entstehung der Materie, sprich der Asymmetrie zwischen Baryonen und Anti-Baryonen im frühen Universum, war.
A
FUNKTIONALABLEITUNG
A
A.1
187
Funktionalableitung
Erinnerungen an Analysis
Gewöhnliche Differentiation. Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und f : U → Rm eine
Abbildung. f heißt im Punkt x ∈ U differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung
A:
Rn → Rm
(A.1)
gibt, so dass in einer Umgebung von x
f (x + ξ) = f (x) + A ξ + ε(ξ)
(A.2)
gilt, wobei ε eine in einer Umgebung von 0 definierte Funktion mit Werten in
ε(ξ)
lim
= 0.
ξ→0 kξk
Man bezeichnet:
R ist mit:
n
Df := A
als Differential von f .
Das Differential in einem Punkt x ist offensichtlich die lineare Approximation an f in
diesem Punkt. Im Folgenden soll die Begriffsbildung auf den Fall übertragen werden, dass
anstatt einer Funktion f ein Funktional F betrachtet wird.
A.2
(i)
Grundlegende Begriffe der Funktionalanalysis
Räume
Ein linearer, normierter, vollständiger Raum heißt Banachraum; ein linearer, unitärer,
vollständiger Raum heißt Hilbertraum.
Im folgenden sollen Vektorräume V von Funktionen behandelt werden. In der Physik
kann man sich auf unendlich oft differenzierbare Funktionen beschränken.31 Konkret seien
die Räume von der Form:
C ∞ (M, M ′ ) = {φ : M → M ′ ; φ ist unendlich oft differenzierbar} .
Von besonderem Interesse sind die folgenden Räume:
Raum der Testfunktionen:
D(Rn ) = {φ ∈ C ∞ (Rn , C); supp φ ist kompakt} ,
wo supp φ = {x ∈ Rn ; φ(x) 6= 0} der Träger von φ ist.
Schwartz-Raum S n : Raum der beliebig oft differenzierbaren und stärker als jede Potenz
abfallenden Funktionen φ : Rn → C.
(ii)
Operatoren
Gegeben seien zwei Räume V und V ′ . Unter einer Operationsvorschrift O verstehen wir
eine Vorschrift, die Elementen φ ∈ V eindeutig jeweils ein Element φ′ ∈ V ′ zuordnet,
O φ = φ′ .
Die Gesamtheit der φ, für die O eine Zuordnung vermittelt, heißt Definitionsbereich D ⊆
V , die Menge der Bilder Of heißt Wertebereich W =: OD ⊆ V ′ .
Die Operationsvorschrift O zusammen mit dem Definitionsbereich D nennen wir Operator O, kurz O auf D“.
”
31 Denn: Jede integrierbare Funktion kann im Sinne der L1 -Norm beliebig genau durch eine C ∞ -Funktion
approximiert werden.
A
FUNKTIONALABLEITUNG
(iii)
188
Funktionale
Wenn der Bildraum V ′ eines Operators der Körper
C der komplexen Zahlen ist,
V ⊇ D −→ W ⊆ C ,
O
bezeichnen wir den Operator als Funktional.32
A.3
Lineare Funktionale
Linear-stetiges Funktional. Als linear-stetiges Funktional L über einem linearen metrischen oder normierten oder unitären Raum V bezeichnen wir eine
(1) überall definierte,
(2) lineare, d.h.
L(a1 φ1 + a2 φ2 ) = a1 L(φ1 ) + a2 L(φ2 ) ,
und
(3) stetige
Abbildung von V nach C.
Die linear-stetigen Funktionale über einem Funktionenraum, meist über D(Rn ) oder
n
S , heißen auch Distributionen.
Beispiele:
(1) Die δ-Distribution
δ : φ 7→ δ[φ] = φ(0) ∈ C
erfüllt die drei oben genannten Eigenschaften.
(2) Sei V = C ∞ ([a, b], R). Für ein festes f ∈ C([a, b], R) ist das Funktional bzw. die
Distribution
Tf : φ 7→
Zb
dx f (x) φ(x)
(A.3)
a
ebenfalls linear-stetig. Die Gesamtheit aller linearen Funktionale, die sich durch (A.3)
darstellen lassen, heißt Menge der regulären Distributionen.
A.4
Definition der Funktionalableitung
Betrachtet sei ein Funktional A : DA → C, also eine Abbildung vom Banachraum V nach
C; DA sei die Definitionsmenge von A. Gesucht ist eine lineare Approximation an A, d.h.
ein lineares Funktional L, sodass für f ∈ V und h ∈ V mit khk klein“ folgendes gilt:
”
A[φ + h] ≈ A[φ] + L(A, φ)[h] .
(A.4)
Dabei hängt L von A und von der Stelle φ ab.
32 Dies auch dann, wenn die φ ∈ V keine Funktionen sind; ist etwa V =
Funktional.
Rn , so ist die Norm k · k ein
A
FUNKTIONALABLEITUNG
189
Definition: Ein Funktional A : V ⊃ DA → C heißt an der Stelle φ ∈ DA differenzierbar,
wenn es ein lineares Funktional
L(A, φ) =:
δA
δφ
gibt, so dass Folgendes gilt:
A[φ + h] − A[φ] − δA [h] ≤ ε(khk) .
δφ (A.5)
Dabei ist ε(·) eine Nullfunktion, d.h. ε(x)/x → 0 für x → 0. Existiert so ein L, so heißt
δA
δφ Funktionalableitung.
Spezialfall. Beschränkt man sich auf den Fall, dass DA = V ein Funktionenraum ist,
dass A überall auf V differenzierbar ist und dass δA
δφ überall stetig ist, so ist die Funktionalableitung eine Distribution.
Wir nehmen an, dass sich das Funktional als reguläre Distribution schreiben läßt, d.h.
Z
δA
δA
[h] =
dξ
h(ξ) .
(A.6)
δφ
δφ(ξ)
Damit beschreibt die zugehörige Funktion g(x), die man formal schreibt als
δA
= Tg
δφ
mit g(x) =:
δA
δφ(x) ,
also
δA
.
δφ(x)
δA
Anschaulich beschreibt δφ(x)
die Änderung des Funktionals A[φ] bei Änderung der Funktion φ an der Stelle x, denn man kann solche h betrachten, die nur in der Umgebung von
x von Null verschieden sind.
δA
mit der FunktionalableiIn der Physik identifiziert man oft die reguläre Funktion δφ(x)
tung,
δA
= Tg
δφ
Identifizierung
=
g(x) =:
δA
.
δφ(x)
Diese Identifizierung führt auf den Begriff der δ-Funktion. Obwohl δ keine reguläre
Distribution ist, schreibt man
Z
δ[φ] = φ(0) =:
dx δ(x) φ(x) .
(A.7)
Beispiele:
(1) Läßt sich das Funktional schreiben in der Form:
Zx+
A[φ] =
dx ℓ(x, φ(x), φ′ (x)) ,
(A.8)
x−
so liefert eine Taylorentwicklung (vgl. Übung)
Zx+ n o
A[φ + h] − A[φ] =
dx ℓ x, φ(x) + h(x), φ′ (x) + h′ (x) − ℓ x, φ(x), φ′ (x)
x−
A
FUNKTIONALABLEITUNG
190
Zx+ ∂ℓ dx ℓ x, φ(x), φ′ (x) +
x, φ(x), φ′ (x) · h(x)
=
∂φ
x−
∂ℓ ′
′
′
x,
φ(x),
φ
(x)
·
h
(x)
−
ℓ
x,
φ(x),
φ
(x)
+
∂φ′
+ O khk2 + O kh′ k2
Zx+ ∂ℓ
∂ℓ ′
′
′
dx
=
x, φ(x), φ (x) · h(x) +
x, φ(x), φ (x) · h (x)
∂φ
∂φ′
x−
=
+ O khk2 + O kh′ k2
Zx+ ∂ℓ
d ∂ℓ ′
dx
x, φ(x), φ′ (x) −
x,
φ(x),
φ
(x)
·
h(x)
∂φ
dx ∂φ′
x−
x+
∂ℓ ′
x,
φ(x),
φ
(x)
·
h(x)
+
∂φ′
x−
+ O khk2 + O kh′ k2 .
Daraus liest man sofort die Distribution
Funktion ist somit:
δA
δφ(x)
=
δA
δf
(A.9)
ab. Die zugehörige verallgemeinerte
d ∂ℓ ∂ℓ ′
x, φ(x), φ′ (x) −
x,
φ(x),
φ
(x)
∂φ
dx ∂φ′
∂ℓ
x, φ(x), φ′ (x) [δ(x − x+ ) − δ(x − x− )] .
+
∂φ′
(A.10)
(2) Die lineare Approximation an ein lineares Funktional an der Stelle φ ist wieder
das lineare Funktional. Insbesondere ist die Funktionalableitung der Distribution
T = δ(· − y) an der Stelle φ wieder δ(· − y).
Da T (φ) = φ(y) ist, schreibt man formal
δφ(y)
= δ(x − y) .
δφ(x)
(A.11)
(3) Hängt ein Funktional von einem Parameter y ab und läßt es sich darstellen mit
Integral über den sog. Kern K(y, ·),
Fy [φ] =
Z
dx′ K(y, x′ ) φ(x′ ) ,
(A.12)
so ist die Funktionalableitung ebenfalls abhängig vom Parameter y und es gilt
δFy
= K(y, x) .
δφ(x)
A.5
Regeln
Die folgenden Regeln werden in den Übungen hergeleitet.
(A.13)
A
FUNKTIONALABLEITUNG
Produktregel.
191
Läßt sich ein Funktional F als Produkt schreiben:
F [φ] = G[φ] · H[φ] ,
so kann man die Funktionalableitung mit der Produktregel berechnen:
δG
δH
δF
=
· H[φ] + G[φ] ·
.
δφ(x)
δφ(x)
δφ(x)
Kettenregel.
(A.14)
Ist das Funktional F Argument einer Funktion g, so gilt
δg(F [φ])
δF
dg
=
.
δφ(x)
dF [φ] δφ(x)
(A.15)
Schreibt man umgekehrt in das Argument eine Funktion von der (Test-)Funktion φ, so gilt
dg
δF
δF [g(φ)]
=
(φ(x)) .
δφ(x)
δg(φ(x)) dφ
(A.16)
Steht im Argument das Bild eines Operators O, so gilt
δF [Oφ]
δO
δF
=
,
δφ(x)
δ(Oφ(x)) δφ
(A.17)
wobei wir die Operatorableitung benötigen.
A.6
Operatorableitung
Die Funktionalableitung läßt sich auf Operatoren verallgemeinern. (Ein Funktional ist ein
Spezialfall für einen Operator.) Auch hier sucht man die lineare Approximation an einen
Operator O, d.h. einen linearen Operator L mit
O(φ + h) ≃ O φ + L h
für kleine“ h.
”
Ein Operator O auf DO heißt an der Stelle φ ∈ DO differenzierbar, wenn
δO
gibt, sodass
es einen linear-beschränkten Operator
δφ
O(φ + h) − Oφ − δO h ≤ ε(khk)
(A.18)
δφ Definition:
gilt mit einer Nullfunktion ε, d.h.
x→0
ε(x) −−−→ 0 .
Das Objekt
δO
heißt dann Operatorableitung.
δφ
Bemerkung: In der Physik hat man es meist mit linearen Operatoren zu tun, daher
kommt die Operatorableitung nicht so häufig zum Tragen.
A
FUNKTIONALABLEITUNG
A.7
192
Höhere Funktionalableitungen
Die Funktionalableitung δF
δφ ist ein lineares Funktional über V , das i.a. von der Stelle φ
abhängt. Bei festem h ist
δF
[h]
δφ
wiederum eine Abbildung der φ ∈ V nach C, die man wiederum nach φ differenzieren
kann.
Durch
δF 2
δF
δ
F
−
[h]
[h] −
[h,
k]
(A.19)
≤ kkk · ε(kkk)
2
δφ
δφ
δφ
φ+k
φ
wird die zweite Funktionalableitung
δ2F
δφ2
eines Funktionals F : V → R eindeutig definiert, sofern sie existiert.
Man setzt also:
δ δF
δ2F
[h,
k]
=
[h]
[k] .
δφ2
δφ δφ
(A.20)
Auf die gleiche Weise, wie man die erste Funktionalableitung identifizieren kann mit einer
Funktion f : Rn → C, identifiziert man die zweite Funktionalableitung mit einer Funktion
g : Rn × Rn → C. Dafür schreibt man:
g(x, y) =
δ2F
δφ(x) δφ(y)
Identifizierung
=
δ2 F
,
δφ2
wodurch auch klar wird, wie man (A.20) auszuwerten hat:
Z
Z
δ2F
δ2 F
n
[h,
k]
=
d
x
dn y
h(x) k(y) .
2
δφ
δφ(x) δφ(y)
(A.21)
(A.22)
Dabei wurde wieder vorausgesetzt, dass die entsprechenden Funktionalableitungen regulär
sind.
Beispiel:
Betrachte
Z
Z
1
F [φ] =
dx dy φ(x) ∆(x, y) φ(y) ,
2
wo ∆ symmetrisch in seinen Argumenten sein soll.
Mit der ersten Funktionalableitung identifiziert man:
Z
δF
=
dy ∆(x, y) φ(x) .
δφ(x)
Diese hängt offensichtlich von der Stelle φ ∈ V ab. Die zweite Funktionalableitung wird
mit den selben Regeln gebildet, die auch für die erste gelten. Man erhält gemäß (A.13)
δ2F
= ∆(x, y) .
δφ(x) δφ(y)
Verallgemeinerung:
Die Bildung höherer Funktionalableitungen erfolgt analog.
B
LÖSUNGEN DER DIRAC-GLEICHUNG FÜR FREIE TEILCHEN
B
B.1
193
Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen
γ-Matrizen und Clifford-Algebra
Die Dirac-Gleichung, d.h. die Feld-Gleichung für Spinoren ψ, wird üblicherweise mit Hilfe
der γ-Matrizen ausgedrückt. Diese sind Darstellungsmatrizen von Elementen der CliffordAlgebra, und erfüllen somit die Anti-Kommutationsrelationen
{γµ , γν } = 2 ηµν .
(B.1)
Es gibt einige besonders nützliche Darstellungen der γ-Matrizen. Hierbei sind insbesondere
die Dirac-Darstellung und die Weyl-Darstellung zu nennen. In der Dirac-Darstellung hat
man
12 0
0
σi
i
0
,
(B.2)
, γ =
γ =
0 −12
−σ i 0
wohingegen in der Weyl-Darstellung gilt
0 σµ
.
γµ =
σ̄ µ 0
(B.3)
Die Darstellungen stehen durch unitäre Transformationen U miteinander in Beziehung,
1
12 −12
γµ′ = U † γµ α , Ψ′ = U † Ψ
mit U = √
.
(B.4)
12 12
2
Insbesondere hat man
µ
µ
γDirac
= U † γWeyl
U.
B.2
(B.5)
Basislösungen u und v
Betrachte die Dirac-Gleichung
(i γ µ ∂µ − m) Ψ =:
i ∂ − m Ψ = 0 .
(B.6)
In der Dirac-Darstellung zerlegt man die Lösung Ψ in Lösungen zu positiver und negativer
Energie,
Ψpos (x) =
Ψneg (x) =
exp(−i p · x) u(s) (p) ,
exp(i p · x) v
(s)
(p) .
(B.7a)
(B.7b)
Die Spinoren u und v erfüllen hierbei die Matrix-Gleichungen
(s)
(p
p)
− m) u (~
(s)
(p
p)
+ m) v (~
=
=
0,
0.
Es hat sich folgende Wahl für die Spinoren u und v eingebürgert:
√
p · σ χ(s)
√
,
u(s) =
p · σ̄ χ(s)
√
p · σ ε χ(s)
.
v (s) = − √
p · σ̄ ε χ(s)
(B.8a)
(B.8b)
(B.9a)
(B.9b)
B
LÖSUNGEN DER DIRAC-GLEICHUNG FÜR FREIE TEILCHEN
Hierbei sind
χ(1) =
1
0
und χ(2) =
0
1
,
194
(B.10)
Basis-Spinoren mit Spin in z-Richtung von ±1/2 und
0 1
ε =
.
−1 0
(B.11)
Es gilt (Übung)
√
√
p·σ+m
p · σ̄ + m
und
,
p·σ = p
p · σ̄ = p
0
2 (p + m)
2 (p0 + m)
p
wobei p0 = E = m2 + p~ 2 .
Die Spinoren u und v erfüllen die Vollständigkeitsrelationen
X
u(s) (p) u(s) (p) = p
+m,
(B.12)
(B.13a)
s=1,2
X
s=1,2
v (s) (p) v (s) (p)
= p
−m.
Des Weiteren hat man
†
†
′
′
u(s) (k) u(s ) (k) = v (s) (k) v (s ) (k)
†
†
′
′
u(s) (~k) u(s ) (−~k) = v (s) (~k) u(s ) (−~k)
(B.13b)
′
=
2ωk δ ss ,
(B.14a)
=
0,
(B.14b)
wobei in der zweiten Zeile durch die Schreibweise ~k zum Ausdruck gebracht wird, dass nur
die räumlichen Komponenten des Vierervektors k ein Minus erhalten.
C
C
GAUSS’SCHE INTEGRALE UND VERALLGEMEINERUNGEN
195
Gauß’sche Integrale und Verallgemeinerungen
Die bekannte Formel
r
Z∞
2π
−a
x2
2
dx e
=
a
(C.1)
−∞
läßt sich einfach verallgemeinern zu
n
1/2
P
Z∞
n Y
ak x2k
− 12
2π
=
.
dx1 . . . dxn e k=1
ak
(C.2)
k=1
−∞
Im Folgenden verwenden wir das Standard-Skalarprodukt, d.h. für x, y ∈ Rn setzen wir
(x, y) =
n
X
xk yk .
(C.3)
k=1
Mit der Diagonalmatrix

a1

..
A = 
.

an
hat man dann
(x, Ax) =
n
X


ak x2k .
(C.4)
k=1
Führt man noch das Maß
dn x
dx1 . . . dxn
=
(dx) =
(2π)n/2
(2π)n/2
(C.5)
ein, so kann man (C.2) schreiben als
Z
1
(dx) exp − (x, Ax) = (det A)−1/2 .
2
(C.6)
Ist A nicht diagonal, aber symmetrisch, so kann man eine orthogonale Transformation O
so finden, dass
O−1 A O = diag(a1 , . . . an ) mit
O−1 = OT ,
d.h. O ∈ O(n) .
Führt man im Integral nun die Transformation
x → Ox
durch, so ändert sich (dx) nicht, d.h. (dx) = (dO x), da det O = 1. Es ist also auch
Z
Z
1
1
=
(dO x) exp − (O x, A O x)
(dx) exp − (x, Ax)
2
2
Z
1
T
=
(dO x) exp − (x, O A O x)
2
Z
1
=
(dx) exp − (x, diag(a1 , . . . an ) x)
2
=
(det A)−1/2 .
C
GAUSS’SCHE INTEGRALE UND VERALLGEMEINERUNGEN
196
Quadratische Formen. (vgl. Übung) Aus (C.1) findet man durch Umschreiben des
Exponenten,
q(x) = − a x2 + b x + c = q(x0 ) − a(x − x0 )2 ,
mit
x0 =
b
,
2a
die Relation
2
Z∞
b
π 1/2
2
dx exp −ax + bx + c = exp
+c
.
4a
a
(C.7)
(C.8)
−∞
Betrachte jetzt
Z
(dx) e−Q(x)
mit
Q(x) =
1
(x, A x) + (b, x) + c ,
2
(C.9)
wobei A positiv und invertierbar sei. Mit x0 = −A−1 b ist
1
Q(x) = Q(x0 ) + (x − x0 , A (x − x0 )) .
2
(C.10)
Somit gilt
Z
(dx) e−Q(x) = exp
Hermitesche Matrizen.
Z∞
−∞
dx
Z∞
2
dy e−a (x
1
(b, A−1 b) − c (det A)−1/2 .
2
(C.11)
Wegen oben Gesagtem gilt
+y 2 )/2
=
2π
.
a
−∞
Setzt man nun
1
z = √ (x + i y)
2
1
und z ∗ = √ (x − i y) ,
2
so erhält man nach der Transformationsformel
√1
∂(x, y) ∗ 2
det
=
|dx dy| = dz
dz
− √12 i
∂(z ∗ , z)
Es ergibt sich also
Z
1
dz dz ∗ −a zz∗
e
=
.
2π
a
√1
2
√1
2i
!
1
dz dz = |dz ∗ dz| .(C.12)
2
∗
Damit ergibt sich
Z
∗ −(z ∗ ,A z)
dz1 dz1∗ . . . dzN dzN
e
= (2π)N (det A)−1 = (2π)N e− tr ln A .
(C.13)
(C.14)
C
GAUSS’SCHE INTEGRALE UND VERALLGEMEINERUNGEN
197
Annahme: Die Regeln für Gauß’sche Integrale in N -dimensionalen Vektorräumen lassen
sich übertragen auf unendlichdimensionale Funktionenräume.
Für reellwertige Funktionen φ : R4 → R verwenden wir das Standard-Skalarprodukt
Z
(φ, ψ) =
d4 x φ(x) ψ(x) .
(C.15)
Dann sollte sich in Analogie zu (C.11) ergeben
Z
Z
1
d4 x φ(x) A φ(x)
=: (det A)−1/2 ,
Dφ exp −
2
(C.16)
bzw. in Analogie zu (C.14) für komplexe Felder φ
Z
Dφ
Z
Z
Dφ∗ exp − d4 x φ∗ (x) A φ(x) =: (det A)−1 ,
wobei die 2π-Faktoren in der Definition des Pfadintegrals enthalten sind.
(C.17)
D
SUPERZAHLEN
D
198
Superzahlen
Die folgenden Ausführungen orientieren sich an dem Buch von Buchbinder & Kuzenko
[BK95].
D.1
Algebra und Generatoren einer Algebra
Definition:
Eine Algebra ist ein linearer Raum A, auf dem eine Multiplikation “·“
(α, β) 7→ α · β ∈ A
∀α, β ∈ A
(D.1)
definiert ist, die für α, β, γ ∈ A und a, b ∈ C folgende Axiome erfüllt:
α (a β + b γ)
(a β + b γ) α
= aαβ + bαγ ,
= aβ α + bγ α .
(D.2)
Ist die Multiplikation assoziativ, so nennt man A eine assoziative Algebra.
Definition: Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement 1 und sei B ⊂ A eine Teilmenge von A. Man nennt die Elemente ζi ∈ B Generatoren der Algebra A, falls sich jedes
Element γ ∈ A als ein Polynom endlicher Ordnung in den Elementen ζi ∈ B darstellen
lässt,
γ = γ
(0)
1+
p
X
X
(k)
k=1 i1 ,i2 ...ik
D.2
γi1 ,i2 ...ik ζi1 ζi2 · · · ζik .
(D.3)
Endlichdimensionale Grassmann-Algebra
Definition: Die Grassmann-Algebra Λn der Dimension n ist eine assoziative Algebra
mit Einselement. Sie wird dadurch definiert, dass die Generatoren die folgenden Antikommutatorrelationen erfüllen:
{ζi , ζj } := ζi ζj + ζj ζi = 0 ,
i, j = 1, . . . , n .
(D.4)
Für die Generatoren gilt wegen (D.4) insbesondere
ζi2 = 0 .
(D.5)
Ein beliebiges Element γ der endlichdimensionalen Grassmann-Algebra lässt sich darstellen
als ein Polynom der Form
γ = γ
(0)
1+
n
X
X
k=1 i1 <i2 <···<ik
(k)
γi1 i2 ···ik ζi1 ζi2 · · · ζik .
(D.6)
Dabei sind die Koeffizienten γi1 i2 ···ik ∈ C. Die Polynome, nach denen γ entwickelt“ wird,
”
sind in dieser Darstellung wegen i1 < i2 < · · · < ik linear unabhängig und bilden zusammen
mit dem Einselement eine Basis der Algebra. Wegen (D.5) verschwinden alle Polynome
mit ii = ij und wegen (D.4) sind Polynome mit permutierten Generatoren nicht linear
unabhängig.
(k)
D.3
Unendlichdimensionale Grassmann-Algebren; Superzahlen
Durch den Übergang zu unendlich vielen Generatoren ζi kann man eine unendlichdimensionale Grassmann-Algebra erklären.
D
SUPERZAHLEN
199
Definition: Die Elemente der unendlichdimensionalen Grassmannalgebra Λ∞ heißen Superzahlen.
Superzahlen z lassen sich schreiben als Summe
z = zB + zS ,
(D.7)
wo zB ∈ C und
zS
∞
X
1 X
zi ···i ζi . . . ζi1
=
n! i ,i ,...i 1 n n
n=1
1
2
(D.8)
k
gilt. Man kann Superzahlen z in einen geraden und einen ungeraden Teil zerlegen
z
u
v
= u+v ,
∞
X
= zB +
(D.9)
1
(2n)!
n=1
i
=
∞
X
1
(2n
+ 1)!
n=0
X
1 ,i2 ,...ik
X
i1 ,i2 ,...ik
zi1 ···i2n ζi2n . . . ζi1 ,
(D.10)
zi1 ···i2n+1 ζi2n+1 . . . ζi1 .
(D.11)
Rein ungerade Superzahlen heißen a-Zahlen und antikommutieren untereinander. Rein
gerade Superzahlen heißen c-Zahlen und kommutieren mit allem anderen. Die Menge der
a-Zahlen Ca bildet keine (Unter-)Algebra, die Menge Cc der c-Zahlen hingegen schon.
a-Zahlen bzw. c-Zahlen werden als reine Superzahlen bezeichnet.
Definition:
Sei z eine reine Superzahl. Die Parität ε ist
0,
falls z ∈ Cc ,
ε(z) :=
1,
falls z ∈ Ca .
(D.12)
Definition: Die komplex konjugierte z ∗ einer Superzahl z ∈ Λ∞ ist erklärt über folgende
Wirkungsweise der komplexen Involution ∗
(ζ i )∗ := ζ i ,
(α z)∗ := α∗ z ∗ ,
i = 1, 2, . . .
α∈C
(z + w)∗ := z ∗ + w∗ ,
(z w)∗ := w∗ z ∗ .
w ∈ Λ∞
(D.13a)
(D.13b)
(D.13c)
(D.13d)
Entsprechend heißt z reell, falls z ∗ = z und imaginär, falls z ∗ = −z.
Bemerkung:
Das Produkt zweier reeller a-Zahlen ist imaginär, denn
(w z)∗ = z ∗ w∗ = z w = − w z .
Die Menge der reellen Superzahlen in
Ca bzw. Cc wird als Ra bzw. Rc bezeichnet.
Bemerkung: Man muss bei der durch Transposition bedingten Vertauschung von aZahlen auf das Vorzeichen achten: Seien a1 und a2 a-Zahlen. Wir fordern, dass das Transponierte einer Superzahl wieder die selbe Superzahl ist, d.h.
!
(a1 a2 )T = η aT2 aT1 = η a2 a1 = − η a1 a2 = a1 a2 .
Dies legt η auf −1 fest. Transposition entspricht also der naiven Vertauschung und führt
daher gegebenenfalls auf Vorzeichen.
D
SUPERZAHLEN
200
Satz D.1. Analytische Funktionen von a-Zahlen f :
f (θ) = f0 + f1 θ
D.4
mit
Ca → Λ∞ haben stets die Gestalt
f0 , f1 ∈ Λ∞ .
(D.14)
Elemente der Analysis mit Superzahlen
Es werden Superfunktionen betrachtet, d.h. Abbildungen
f:
Rp|q → Λ∞ .
(D.15)
Hierbei ist Rp|q = Rpc × Rqa , d.h. die Menge der (p + q)-Tupel (x1 , . . . , xp , θ1 , . . . , θq ) mit
xi ∈ Rc und θα ∈ Ra . Eine solche Funktion heißt superanalytisch, falls sie sich in als
Potenzreihe darstellen lässt,
f (z) = f (x1 , . . . , xp , θ1 , . . . , θq )
∞
X
fM1 M2 ...Mk zM1 zM2 · · · zMk ,
=
(D.16)
k=0
mit
zα =
xα ,
θα−p ,
1≤α≤p,
p<α≤p+q .
(D.17)
wobei fM1 M2 ...Mk ∈ Λ∞ . Nun ist klar, dass die Entwicklung in den a-Zahlen θα schnell
abbricht; daher lässt sich (D.16) auch wie folgt ausdrücken:
f (x1 , . . . , xp , θ1 , . . . , θq )
q
X
1
= f0 (x1 , . . . xp ) +
f[α α ...α ] (x1 , . . . xp ) θα1 θα2 · · · θαk .
k! 1 2 k
(D.18)
k=1
Dabei deuten die eckigen Klammern [. . . ] an, dass die superanalytischen Koeffizientenfunktionen f[α1 α2 ...αk ] total antisymmetrisch in den Indizes sind.
Da sich das Bild f (z) zerlegen lässt in c-Teil und a-Teil
f (z) = fc (z) + fa (z) ,
fc (z) ∈ Cc ,
fa (z) ∈ Ca ,
genügt es, gerade oder bosonische“ Funktionen
”
fc : Rp|q → Cc
und ungerade oder fermionische“ Funktionen
”
fa : Rp|q → Ca
zu betrachten. Diesen weist man die Parität
0,
falls f bosonisch ,
ε(f ) =
1,
falls f fermionisch ,
zu. Damit weiß man auch sofort die Parität der Koeffizientenfunktionen,
ε(f0 ) = ε(f ) ,
(i)
ε(fα1 α2 ...αk ) = ε(f ) + k mod 2 .
Differentiation nach a-Zahlen
Für Funktionen von Superzahlen mit Werten in Λ∞ lässt sich eine Differentiation definieren. Dabei genügt es nach (D.18), festzulegen, wie die Differentiation auf ein Polynom aus
den antikommutierenden θs mit wirkt.
D
SUPERZAHLEN
201
Definition: Man erklärt die sog. Linksdifferentiation dadurch, dass sie bei einem Produkt aus antikommutiereneden Variablen nur dann auf ein bestimmtes Element wirken
kann, wenn es sich am linken Rand des Ausdrucks befindet. Die übrigen Differentiationsregeln werden beibehalten. Insbesondere gilt:
q
X
1
∂
f (z) = (−1)ε(f )
f[αα1 ...αk−1 ] (x) θα1 · · · θαk−1 .
(−1)k
∂θα
(k − 1)!
(D.19)
k=1
Analog kann auch Rechtsdifferentiation definiert werden. Im folgenden wird unter der
Differentiation immer Linksdifferentiation verstanden.
Beispiel: Betrachte eine Funktion f :
f0 , f1 , f2 , f12 , f21 die Darstellung
R2a → Λ∞ . Sie besitzt mit den Koeffizienten
1
f (θ1 , θ2 ) = f0 + f1 θ1 + f2 θ2 + (f12 θ1 θ2 + f21 θ2 θ1 ) .
|2
{z
}
=f12 θ1 θ2
Terme höherer Ordnung treten wegen θi2 = 0 nicht auf. Wie die Differentiation nach θi auf
f wirkt, hängt gemäß (D.19) von der Parität von f ab.
Wir wollen nun ein bosonisches f betrachten und wählen daher f0 , f12 , f21 ∈ Cc und
f1 , f2 ∈ Ca . Die Ableitungen lauten dann:
∂f
∂θ1
1
= −f1 + (f12 − f21 ) θ2 = − f1 + f12 θ2 ,
2
∂2f
= − f12
∂θ1 ∂θ2
| {z }
∂
≡ ∂θ
∂f
∂θ2
1
= −f2 − (f12 − f21 ) θ1 = − f2 + f21 θ1 ,
2
∂f
1 ∂θ2
∂2f
= − f21 = f12 .
∂θ2 ∂θ1
Das zeigt, dass die Reihenfolge der Differentialoperatoren von Bedeutung ist, bzw. dass
die zweite fermionische Ableitung antisymmetrisch ist.
Die zweite Zeile erhält man anschaulich, wenn man die Vertauschung θ1 θ2 = − θ2 θ1
durchführt, um die Linksdifferentiation ∂θ∂ 2 ausführen zu können.
Bemerkung: Aus der Definition der Linksdifferentiation folgen die Antikommutatorrelationen
∂
∂
∂
θα ,
= δαβ ,
,
= 0.
(D.20)
∂θβ
∂θα ∂θβ
(ii)
Integration über a-Zahlen
Um die Integration einer Funktion von a-Zahlen einzuführen, fordert man neben Linearität
und Translationsinvarianz die Normierung
Z
dθi θi := 1 .
(D.21)
Aus der Translationsinvarianz folgt
Z
Z
Z
!
dθ1 f (θ1 ) =
dθ1 f (θ1 + θ2 ) =
dθ1 {f0 + f1 · (θ1 + θ2 )}
D
SUPERZAHLEN
=
202
Z
dθ1 f (θ1 ) +
Z
dθ1 1 f1 θ2
=⇒
Z
dθα 1 = 0 .
(D.22)
Mehrfache Integrale werden als Iteration von Einfachintegralen verstanden. Um diese zu
berechnen, benötigt man Regeln zur Vertauschung der Differentiale dθi . Die Relationen
dafür werden wir uns nun ermitteln.
Bemerkung: Im Raum der a-Zahlen sind Integration und Differentiation identische
Operationen. Es gilt:
Z
∂
.
(D.23)
dθα =
∂θα
Um diese Aussage zu begründen, betrachte eine fermionische Funktion f :
gilt:
Z
Z
∂
dθ1 f (θ1 ) =
dθ1 (f0 + f1 θ1 ) = f1 =
f (θ1 ) .
∂θ1
Ra → Ra . Es
Wegen (D.23) fordert man für die Differentiale dieselben Antikommutatorrelationen wie
für die Differentiationsoperatoren (D.20):
{dθi , dθj } = 0 ,
{dθi , θj } = δij
(D.24)
Dies sind die gesuchten Regeln für die Vertauschung der Reihenfolge bei Mehrfachintegration.
Beispiel: Gauß-Integrale mit a-Zahlen (vgl. Übungen)
Es seien θα , θ̄α , ηα und η̄α (i = 1, . . . , n) jeweils a-Zahlen. Wir betrachten nun das Integral
Z
ZG (η, η̄) =
dθ̄1 dθ1 · · · dθ̄n dθn exp{−S0 }
(D.25)
mit
S0 =
n
X
θ̄α aαβ θβ +
α,β=1
n
X
(η̄α θα + θ̄α ηα ) = θ̄T A θ + η̄ T θ + θ̄T η
(D.26)
α=1
und der symmetrischen, invertierbaren Matrix A = (aij ).
(a) Mit der Variablentransformation
θα = θα′ − (A−1 )αβ ηβ
und
θ̄α = θ̄α′ − η̄β (A−1 )βα ,
zeigt man, dass
ZG = (det A) exp

n
 X

α,β=1
η̄α (A−1 )αβ ηβ



= (det A) exp η̄ T A−1 η .(D.27)
(b) Jetzt wird zu S0 die Wechselwirkung“ V (θ, θ̄) addiert. Dann ergibt sich
”
Z
Z(η, η̄) =
dθ̄1 dθ1 · · · dθ̄n dθn exp{−S0 + V (θ, θ̄)}
∂ ∂
ZG (η, η̄)
= exp V − ,
∂ η̄ ∂η
(D.28)
D
SUPERZAHLEN
203
Bemerkung: Vergleich mit dem Gaußintegral in Cn : Für komplexe, unabhängige Variablen φi und φ∗i lautet die entsprechende Formel:
Z
dφ∗1 dφ1 · · · dφ∗n dφn exp −φ† · A · φ ∼ (det A)−1 .
Die Determinante von A steht hier im Nenner.
D.5
Fermionische Felder
Im Kontinuumslimes
θα −→ θ(x) .
wird der diskrete Satz an a-Zahlen zum fermionischen Feld θ :
riablen θ(x) sind dann für jedes x a-Zahlen.
D.6
(i)
M4 → Ca , d.h. die Feldva-
Funktionalanalysis im Kontext von Superzahlen
Funktionalableitung
Die Regeln zur Differentiation nach a-Zahlen lassen sich auf die Regeln zur Funktionalableitung nach fermionischen, d.h. a-Zahl-wertigen, Feldern übertragen. Es gilt:
δθ(x)
= δ 4 (x − y) .
δθ(y)
Die Antikommutatorrelationen lauten:
δ
, θ(y)
= δ 4 (x − y)
und
δθ(x)
(ii)
(D.29)
δ
δ
,
δθ(x) δθ(y)
= 0.
(D.30)
Funktionalintegration
Man überträgt die Integrationsregeln für a-Zahlen auf die Regeln zur Integration über
fermionische Felder. Es soll gelten:
Z
Z
dθ(x) θ(x) = 1 ,
dθ(x) 1 = 0 .
(D.31)
R
Dabei bedeutet dθ(x) die Integration über
R die a-Zahl zum kontinuierlichen ”Index“ x.
Bei der Definition des Funktionalintegrals Dθ mittels Diskretisierung des Index“ x und
”
anschließendem Grenzübergang zum Unendlichdimensionalen wird für jeden Generator
zum diskreten Index xk diese Normierung des Integrals,
Z
dθ(xk ) θ(xk ) = 1 ,
gefordert.
D
SUPERZAHLEN
(iii)
204
Funktionalintegrationsregeln für Fermionenfelder
Betrachtet man Dirac-Felder, so sind die Feldvariablen ψ(x) und ψ(x) unabhängige fermionische Felder. Im Folgenden wird angenommen, dass sich (D.27) für verschwindenden
Quellterm verallgemeinern lässt zu:
Z
Z
Z
Dψ Dψ exp i d4 x′ d4 x ψ(x′ ) O(x′ , x) ψ(x)
= det O .
(D.32)
Dabei ist O ein Operator. Für den Ausdruck det O gilt die Formel
det O = exp {tr(ln O)} .
(D.33)
Im Unterschied zur Integration über kommutierende Skalarfelder steht der Ausdruck (det O)
im Zähler anstatt im Nenner. Im Ausdruck für das erzeugende Funktional wird der Term
aus (D.32) in der Normierung absorbiert. Es wird davon ausgegangen, dass sich (D.27)
verallgemeinern lässt zu
Z
Z
Z
Z
4
4 ′
′
′
4
d x ψ(x ) O(x , x) ψ(x) + d x ψ(x) η(x) + η(x) ψ(x)
Dψ Dψ exp i d x
Z
Z
−1 ′
4 ′
′
4
= (det O) exp i d x d x η(x ) O (x , x) η(x)
(D.34)
Dabei sind η(x) und η(x) unabhängige fermionische Felder.
E
SPURBILDUNG VON PRODUKTEN VON DIRAC-MATRIZEN
E
205
Spurbildung von Produkten von Dirac-Matrizen
Für die Spur von Produkten von γ-Matrizen gelten die folgenden Regeln:
(1) tr 14 = 4.
tr (a
1 a
2 ) = 4 a1 · a2 .
(2)
(E.1)
(3) Die Spur einer ungeraden Anzahl an γ-Matrizen verschwindet,
tr (a
1 a
2 · · · a
n ) = 0 für ungerades n.
(E.2)
(4) Für eine gerade Anzahl gilt die Rekursionsformel:
tr a
1 · · · a
n
= a1 · a2 tr a
3 · · · a
n − a1 · a3 tr a
2 a
4 · · · a
n
+a1 · a4 tr a
1 · · · a
3 a
5 · · · a
n − · · ·
+a1 · an tr a
2 · · · a
n−1 ,
(E.3)
insbesondere
tr (a
1 a
2 a
3 a
4 ) =
4 [(a1 · a2 ) (a3 · a4 ) + (a1 · a4 ) (a2 · a3 ) − (a1 · a3 ) (a2 · a4 )] .
(E.4)
Zu (E.1):
tr(a
b)
= tr(b a)
=
1
tr(a b + b a)
2 1 µ ν
a b tr (γµ γν + γν γµ )
2
= ηµν aµ bν tr 14 = 4 a · b .
=
Zu (E.2):
Wegen der zyklischen Invarianz der Spur gilt:
tr a
1 · · · a
n = tr a
1 · · · a
n |γ5{zγ}5 = tr γ5 a
1 · · · a
n γ5 .
=1
Mit der Relation γµ γ5 + γ5 γµ = 0 kann man das linke γ5 nach rechts durchziehen,
n
tr a
1 · · · a
n = (−1) tr a
1 · · · a
n γ5 γ5 = 0 .
D.h., für ungerades n muss die Spur verschwinden.
Zu (E.3):
a
1 a
2
Da
= aµ1 aν2 γµ γν = aµ1 aν2 (γµ γν + γν γµ − γν γµ )
= 2 aµ1 aν2 ηµν − aν2 aµ1 γν γµ = 2a · b − a
2 a
1
gilt, kann man mit a
1 a
2 = −a
2 a
1 + 2a1 · a2 den Faktor a
1 nach rechts schieben,
tr a
2 · · · a
n = 2 a1 · a2 tr a
3 · · · a
n − tr a
2 a
1 a
3 · a
n .
1 a
Durch Fortsetzung des Prozesses ergibt sich
tr a
1 · · · a
n
=
2 a1 · a2 tr a
3 · · · a
n − 2 a1 · a3 tr a
2 a
4 · · · a
n
+ · · · + 2 a1 · an tr a
2 · · · a
n−1 − tr a
2 · · · a
n a
1 .
Bringt man den letzten Term auf die rechte Seite und benutzt die zyklische Invarianz der
Spur, erhält man die Behauptung.
E
SPURBILDUNG VON PRODUKTEN VON DIRAC-MATRIZEN
206
Weitere Hilfsformeln:
(a) Für beliebige Dirac-Matrizen M gilt:
|uf M ui |2 = (uf M ui ) (ui M uf )
(E.5)
mit M = γ 0 M † γ 0 , denn
(ui M uf )
(b)
=
(u†i γ 0 γ 0 M † γ 0 uf )
=
(u†f γ 0 M ui )† .
tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ γ5 ) = − 4 i εµνρσ .
(E.6)
F
BASICS DER DARSTELLUNGSTHEORIE
F
207
Basics der Darstellungstheorie
Betrachte eine einfache Eichgruppe G. Die Matrix-Darstellungen der Generatoren entspreG
chend der irreduziblen Darstellung R werden mit {Ta }dim
a=1 bezeichnet und die Struktura
konstanten mit f bc . Letztgenannte sind definiert durch die Relation
[Tb , Tc ] = i f a bc Ta .
(F.1)
Die folgenden gruppentheoretischen Konstanten spielen eine wichtige Rolle:
X
c1 (G) δ ab :=
f acd f b cd ,
(F.2a)
c,d
c2 (R) δij
:=
X
(Ta Ta )ij ,
(F.2b)
a
ℓ(R) δ ab
:=
tr(Ta Tb ) ,
(F.2c)
wo ℓ(R) Dynkin-Index der irreduziblen Darstellung R und c2 (R) Quadratischer Casimir(Operator) heißen. R bezieht sich dabei auf die Darstellung, in der die Generator(matriz)en
angegeben werden, (F.2c) kann auch als Normierungsbedingung für die Generatoren verstanden werden. Diese beiden Invarianten stehen miteinander in Beziehung,
c2 (R) =
dim G
ℓ(R) ,
dim R
(F.3)
mit den Dimensionen dim G bzw. dim R der Gruppe bzw. der Darstellung. Häufig wird die
Konvention verwendet, in der die Generatoren der irreduziblen Darstellung N von SU(N )
so normiert sind, dass ℓ(N ) = 21 . Für SU(N ) Gruppen gilt
c2 (N ) =
N2 − 1
.
2N
(F.4)
Beispiel: SU(3) und Gell-Mann-Matrizen. Für die Generatoren der SU(3) (als
Matrix-Gruppe) verwendet man häufig die sog. Gell-Mann-Matrizen; genauer gesagt wählt
man als Generatoren
Ta = λa /2 ,
wobei
λ1
λ4
λ6

0
=  1
0

0
=  0
1

0
=  0
0
(F.5)

1 0
0 0  ,
0 0

0 1
0 0  ,
0 0

0 0
0 1  ,
1 0
λ2
λ5
λ7

0
=  i
0

0
=  0
i

0
=  0
0

−i 0
0 0  ,
0 0

0 −i
0 0  ,
0 0

0 0
0 −i  ,
i 0
λ3
λ8

1
=  0
0

0 0
−1 0  ,
0 0

1
1 
0
= √
3
0

0 0
1 0  .
0 −2
(F.6)
Diese Matrizen erfüllen
tr(λa λb ) = 2 δ ab
(F.7)
F
BASICS DER DARSTELLUNGSTHEORIE
208
und für die Strukturkonstanten gilt
c
fab
= −i tr [λa /2, λb /2] λc
i
= − tr λa λb λc − λb λa λc .
4
Die nichtverschwindenden Strukturkonstanten sind (bis auf Permutationen)
f 123
2 f 147 = 2 f 246 = 2 f 257 = 2 f 345 = − 2 f 156
2
2
= −2 f 367 = √ f 458 = √ f 678 = 1 .
3
3
=
(F.8)
G
PASSARINO-VELTMAN-FUNKTIONEN
G
209
Passarino-Veltman-Funktionen
Dies ist eine kurze Übersicht über die sog. Passarino-Veltman-Funktionen.
G.1
∆MS und das Ein-Punkt Integral A
Wir definieren ∆MS durch
∆MS :=
2
− γ + ln(4π) .
4−d
(G.1)
Dies ist der Teil, der üblicherweise in dem ‘Modified Minimal Subtraction’ (MS) Schema
entfernt wird. Erkläre nun die Ein-Punkt-Funktion ein durch
A(m2 )
=
G.2
m
:= −i 2d π d−2 µεd ×
m2
µ2
2
− ln π − γ + 1 + ln 2
εd
m
=
µεd
i π2
Z
dd q
+ O(εd ) .
1
q 2 − m2
(G.2)
(G.3)
Die Zwei-Punkt Integrale B
Die Zwei-Punkt-Integrale sind erklärt durch
B0 (p2 , m2 , M 2 )
:= −i 2d π d−2 µ4−d ×
=
Bµ (p2 , m2 , M 2 )
Bµν (p2 , m2 , M 2 )
:=
m
p
M
p
Z
µεd
1
dd q 2
,
2
2
iπ
(q − m ) ((q + p)2 − M 2 )
Z
qµ
µεd
dd q 2
2
2
iπ
(q − m ) ((q + p)2 − M 2 )
=: pµ B1 (p2 , m2 , M 2 ) ,
Z
qµ qν
µεd
dd q 2
:=
i π2
(q − m2 ) ((q + p)2 − M 2 )
=: pµ pν B11 (p, m, M ) + ηµν B00 (p, m, M ) .
(G.4a)
(G.4b)
(G.4c)
(G.4d)
Diese Funktionen erfüllen gewisse algebraischen Relationen,
B1 (p2 , m2 , M 2 )
=
B00 (p2 , m2 , M 2 )
=
1 A(m2 ) − A(M 2 )
2p2
+ (M 2 − m2 − p2 ) B0 (p2 , m2 , M 2 ) ,
(G.5a)
1
A(M 2 ) − m2 B0 (p2 , m2 , M 2 ) − 2(p2 + m2 − M 2 ) ×
3p2
1
1
m2 + M 2 − p 2
×B1 (p2 , m2 , M 2 ) −
,
(G.5b)
2
3
G
PASSARINO-VELTMAN-FUNKTIONEN
2
2
2
B11 (p , m , M )
=
210
1
A(M 2 ) + 2m2 B0 (p2 , m2 , M 2 ) + M 2 −
6
+(p2 + m2 − M 2 ) B1 (p2 , m2 , M 2 ) m2
und im Limes d → 4 ergibt sich
|p2 |
µ2
1 2
p
3
,
+ 2 + i π θ(p2 ) ,
2
1
m
2
2
B0 (0, m , 0) = B0 (0, 0, m ) = ∆MS − ln
+1 =
A(m2 ) ,
µ2
m2
2
p2
M − p2
M2
2
2
.
B0 (p , 0, M ) = ∆MS + 2 + 2 ln 1 − 2 + ln
p
M
µ2
2
B0 (p , 0, 0)
=
∆MS − ln
(G.5c)
(G.6a)
(G.6b)
(G.6c)
Die Pole sind in Tab. G.1 zusammengestellt.
G.3
Die Drei-Punkt Integrale C
Die Drei-Punkt-Integrale sind erklärt über
p
C0
:=
−i 2d π d−2 µεd ×
εd
=
Cµ
:=
Cµν
:=
Cµνρ
:=
m2
m1
Z
k
m3
q
p+q
µ
1
,
dd k 2
i π2
(k − m21 ) ((k + p)2 − m22 ) ((k + p + q)2 − m23 )
Z
kµ
µεd
,
dd k 2
i π2
(k − m21 ) ((k + p)2 − m22 ) ((k + p + q)2 − m23 )
Z
kµ kν
µεd
dd k 2
,
i π2
(k − m21 ) ((k + p)2 − m22 ) ((k + p + q)2 − m23 )
Z
µεd
kµ kν kρ
,
dd k 2
2
2
2
iπ
(k − m1 ) ((k + p) − m22 ) ((k + p + q)2 − m23 )
(G.7a)
(G.7b)
(G.7c)
(G.7d)
wobei C0 = C0 (p2 , q 2 , (p + q)2 , m21 , m22 , m23 ) etc.
Es hat sich eingebürgert, die Tensor-Integrale folgendermaßen zu zerlegen
Cµ
Cµν
Cµνρ
= pµ C1 + qµ C2 ,
= ηµν C00 + pµ pν C11 + qµ qν C22 + (p q)(µν) C12 ,
=
(G.8a)
(G.8b)
(pη)(µνρ) C001 + (qη)(µνρ) C002 +
+ pµ pν pρ C111 + qµ qν q2ρ C222
+ (q p p)(µνρ) C112 + (p q q)(µνρ) C122 ,
(G.8c)
wobei
(p q)(µν)
:= pµ qν + pν qµ ,
(G.9a)
G
PASSARINO-VELTMAN-FUNKTIONEN
(p q q)(µνρ)
(p η)(µνρ)
211
:= pµ qν qρ + qµ pν qρ + qµ qν pρ ,
:= pµ ηνρ + pν ηµρ + pρ ηµν .
(G.9b)
(G.9c)
Die Größen Ci , Cij und Cijk sind durch (G.8) implizit definiert.
G.4
Divergente Anteile der Passarino-Veltman Funktionen
Die divergenten Anteile der Passarino-Veltman Ein-, Zwei- und Drei-Punkt-Funktionen
sind in Tabelle G.1 zusammengestellt.
Integral
A(m2 )
B0 (p2 , m2 , M 2 )
B1 (p2 , m2 , M 2 )
B11 (p2 , m2 , M 2 )
B00 (p2 , m2 , M 2 )
C00 (p2 , q 2 , (p + q)2 , m21 , m22 , m23 )
C00i (p2 , q 2 , (p + q)2 , m21 , m22 , m23 )
Divergenter Anteil
2 2
m
εd
2
εd
1
−
εd
2
3εd
1 2
(p − 3m2 − 3M 2 )
−
6εd
1
2εd
1
−
6εd
Tabelle G.1: Divergente Anteile der Passarino-Veltman Funktionen.