the PDF file

Commentaren

Transcriptie

the PDF file
Tijdschrift voor wiskundeonderwijs
Januari 2009
nummer 7
vector
��� ������
��������
�����������
�����������������������
����������������������������������
������������
��������
������
INHOUD
VOORWOORD
��� ������
�����
��������������������������
�����������
Eerst en vooral wensen we iedereen een gelukkig en voorspoedig Nieuwjaar.
Wist je trouwens al dat op 12 februari 2009 het startschot wordt gegeven
voor het internationale jaar van Charles Darwin? Naar aanleiding van de 200e
2
verjaardag van deze wetenschapper, worden er dit jaar een heleboel leuke
Voorwoord
initiatieven op poten gezet, waaronder een theatermonoloog van De Goesting,
ism. prof. Braeckman (UGent) en met steun van het Koninklijk museum voor
3
Natuurwetenschappen in Brussel. Er is een jongerenversie voor 16-18 jarigen
Op zoek naar een
mensenmaat
en een versie voor 10-12 jarigen. Reserveren kan nu al (max. 50 leerlingen)
op 016 / 25 43 08. Darwin moet wel delen, want 2009 is tevens het jaar van de
7
sterrenkunde.
Bezoek van Edo
Timmermans
We geven in deze Vector al een kleine knipoog naar π-dag in maart, met het wel
zeer smakelijke artikel over ChocoPI’s ®. Misschien ben je straks zo geïnspireerd
8
Lees- en kijktips
door dit artikel dat jouw school een groot vak-, vorm- en richtingsoverschrijdend
10
weten!
schoolproject organiseert tijdens de GWP-week? Onze redactie wil het graag
Kangoeroe zonder grenzen
Vector laat ook een architect-kunstenaar aan het woord over zijn opvattingen
12
naar de ideale mensenmaat, probeert leerkrachten uit de eerste graad warm te
Zelf chocoladeletters
maken
maken voor de Vlaamse Kangoeroewedstrijd en biedt zijn lezers weer enkele leuke
boekbesprekingen aan.
18
Frimoutprijs GO!
In
er
k
j
i
k
de
Veel plezier!
�������������������������
���������������
������������������������������������������������������������
�
���������
������
���������
���
��������������
������
������������������
��������
����������������������
����������
�����������������
������������
������������
�����
�������������
�������
�������������
������
������������������
��������������������������
�����������
���������������
���������������
��������
������������
�������
������
�����
� ������
�����������
����������
�����
��������������
�����
���������������
���������
����������������
������
�������������������������
����������
�������������������������
���������������
����������
������
�����
�����������������
�����������������
2
vector
Voorbij de limiet: wiskunde,
aardrijkskunde en sterrenkunde
In dit boek stellen we ons op de kruising van deze drie wetenschappen. Wiskunde komt hier voornamelijk van pas om dingen te meten, op ons aardoppervlak, maar ook ver weg in het heelal. “Meten” moeten we opvatten in
een zeer ruime zin: we meten afstanden, tijd, gebeurtenissen, helderheid,
licht. Wat we in de eerste plaats beogen is het geven van een wiskundige
verklaring van bepaalde natuurfenomenen, die soms verrassend blijken te
zijn.
Doelgroep: 3e graad aso - tso - kso
Auteur: Hendrik Van Maldeghem
ISBN 978 90 8661 673 2
Bestelnr. 94.404.0100
€ 18
Op zoek naar een
mensenmaat:
Gesprek met Lubroc, architectkunstenaar over architectuur, getallen
en de mensenmaat.
Interview: Luc Gheysens
Lubroc is de codenaam van architect en
beeldconstructeur Louis Broc.
Wie in de streek Zuid-West-Vlaanderen
woont, is vast en zeker vertrouwd met
enkele van zijn projecten. Met hem had
ik onlangs een verrassend gesprek
over de mens en zijn plaats binnen de
architectuur. Het gesprek ging al vlug
over in de betekenis van de getallen en
de verhoudingen binnen het menselijke
lichaam.
Als architect en kunstenaar kijk je ongetwijfeld anders tegen getallen en maten
aan dan een wiskundeleraar. Heeft de
mens volgens jou altijd een natuurlijke
behoefte gehad om te meten?
Inderdaad. We kunnen ons voorstellen
dat de primitieve mens met zijn ogen
grootheden en afstanden leerde inschatten zoals een roofdier zijn prooi bespiedt
vooraleer aan te vallen. Daarbij was zijn
eigen lichaam maatbepalend. Gaandeweg
ging die mens zijn armen en benen inzetten om metingen uit te voeren. Denken
we maar aan de lengtematen zoals een
voet, een hand, een el … Van hieruit was
het een kleine sprong om een stok of een
staaf ter hand te nemen en die als meetinstrument te gebruiken.
Hiermee kon hij dan bijvoorbeeld de lengte van een bamboestengel of de hoogte
van een boomstam opmeten om er een
hut of een dak mee te construeren. Maar
wat deed hij dan om de omtrek van die
stengel of die stam te meten? Daarvoor
had hij een touw nodig of haar dat tot een
touw is vervlochten. Zo komen we op een
vrij natuurlijke manier tot de afmetingen
van een haar. Een mensenhaar kan tot
600 cm lang worden. De dikte daarentegen bedraagt slechts 0,01 cm of 0,1 mm.
Voor mij is dit een fundamentele maat die
ik met hm aanduid: 1 hm = 0,1 mm.
3
Wie meten zegt, zegt ook getallen.
Zijn er getallen die voor jou een speciale
betekenis hebben?
Als we het hebben over het opmeten van
de omtrek van een bamboestengel of een
boomstam komen we uiteraard bij het
getal π = 3,14159... terecht. Als we aan
een afmeting van 3,14159 m
1/10 hm toevoegen, krijgen we
3,14160 m. Het getal 314160 is op zich al
merkwaardig omdat het deelbaar is door
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8. Zelfs het eigenzinnig cijfer 7 blijkt een deler te zijn van
314160. Bovendien levert de deling een
merkwaardig geheel getal als quotiënt
op, zoals mijn rekenmachine aangeeft
0,4488a. Reeds in de 6e eeuw vond de Indiër Aryabhatta de benaderende waarde
��
�� � ��������� van
� � ���������
�
b
Archimedes
te grof en nam hij
�����
����� � ������
�
�
�
����
aan
als ‘exacte’ waarde voor
�����
�����
π. Maar
� � � over het getal π valt er nog veel
� � � � � � �� �������
� �
� �� �������
�
meer
�te vertellen als we het hebben over
�
�
����
de
lengte van een mens en over de ver������
houdingen
van de verschillende onderde������
������
len�� van het menselijk lichaam.
�
�
������
������
a
b
c
4
Ben je dan zelf op zoek gegaan naar een
beschrijving van de maten van de mensengestalte zoals bijvoorbeeld Leonardo
da Vinci die probeerde weer te geven in
‘de man van Vitruvius’?
��
Zeker, hiermee
ben ik jaren bezig ge� ���������
�
weest en het
houdt me nog steeds in de
�����
ban. Vandaag
is�bijvoorbeeld
de ‘gulden
������
�����
snede’ of het gouden getal ϕ van
Fibonacci � � � � � � �een
vedette
���
� ����echte
�
geworden. Zo hebben heel wat auteurs
������
dit getal arbitrair of abusief in verband
������
gebracht met
architectuur en met ver�
houdingen binnen het menselijk lichaam.
� wel de beroemde ‘Uomo
Iedereen kent
Vitruviano’ (mens
������ van Vitruvius) van
Leonardo da Vinci. Dat logo leent zich
gemakkelijk tot misplaatste mystieke
interpretaties van het getal ϕ.c Ik geef
persoonlijk de voorkeur aan het getal π
als praktische maat voor de rondboog in
de architectuur van de Romeinen.
Vitruvius was een Romeins architect die
vermoedelijk leefde ten tijde van
Caesar en Augustus. Hij schreef een
standaardwerk ‘Vitruvii de architectura
libri decem’, dat bestaat uit tien boekdelen waarin hij de constructie van gebouwen behandelt. Boek drie is hoofdzakelijk
gericht op de metriek van het menselijk
lichaam. Hierin gaat hij op zoek naar
een goede maat voor de gestalte van de
mens, canon genoemd. Hij stelt de mens
op binnen een cirkel en een vierkant
met als vertrekpunt de navel die hij het
natuurlijk centrum noemt. Aanvankelijk
worden de armen gestrekt in de hoogte
zodat de vingertoppen en de teentoppen
de cirkel raken. Vervolgens worden de
armen gespreid in de breedte zodat de
figuur omkaderd wordt door een vierkant.
Vitruvius liet geen schetsen na, maar het
was duidelijk zijn bedoeling om via deze
denkoefeningen naar redelijke afmetingen voor de toegang tot een gebouw
te komen, zowel in de hoogte als in de
breedte.
De geometrische afmetingen van
Vitruvius kloppen niet met de natuurlijke
maten van de mens. Zo is het natuurlijk
centrum van het menselijke lichaam het
geslacht en niet de navel. Ook is de aanzet van de armen en daarbij de schouder-
N.v.d.r.: elke kunstenaar/tekenaar heeft zo zijn eigen ideale maten voor het menselijk lichaam. De meesten werken met gemakkelijke
verhoudingen of met klassieke verhoudingen, waar inderdaad de gulden snede enkele malen in voorkomt, maar enkelingen werken
met zelf gevonden toevalligheden, zoals Lubroc. Dus alle toespelingen op π,√2 en de rij van Fibonacci zijn middeltjes van de artiest om
er “iets” in te zien en een zekere geheimzinnigheid te creëren. Zo ook het getal 314160 dat de delers 1,2,3,4,5,6,7 en 8 heeft. Het schrikkelt wel lekker 9 over en gaat dan verder met 10, 11 en 12. Goed gezien, maar wel toeval.
N.v.d.r.: Archimedes heeft bewezen dat π ligt tussen 223/71= 3,1408... en 22/7=3,1428... en heeft die laatste benadering nooit als ‘waarde’ beschouwd.
N.v.d.r.: Lubroc zegt dat vele auteurs ϕ “ten onrechte” in verband brachten met het menselijke lichaam, maar doet dat iets verder in
dit artikel zelf ook, met name door de getallen 89 en 144 te gebruiken, wiens verhoudingen uitzonderlijk dicht bij ϕ liggen, wat geen
toeval is omdat dit twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonnacci zijn.
vector
��
� ���������
�
�����
� ������
�����
hoogte niet drie vierden maar vier vijfden
van de lichaamslengte (178 cm). Vitruvius
berekent de armlengte op drie achtsten
(67 cm) terwijl de natuur naar zeven zestienden (78 cm) neigt.
In de loop van de voorbije eeuwen ontstonden heel wat interpretaties van het
werk van Vitruvius, maar we kunnen
gerust stellen dat het allemaal slechts
gedeeltelijke studies waren. We vermelden hier Leonardo da Vinci (1452-1519),
Albrecht Dürer (1471-1528), Agrippa von
Nettesheim (1486-1535), Daniele Barbaro
(1514-1570), Claude Perrault (1613-1688)
en Ernst Neufert (Bauentwurfslehre,
1936). Ze behandelden enkel de spreidstand in de breedte, terwijl Le Corbusier
(1887-1965) zich uitsluitend concentreerde op de strekstand in de hoogte.
Volgens mij moeten we Vitruvius in zijn
geheel interpreteren en zijn we verplicht de strekstand en spreidstand in
één figuur samen te brengen (zie figuur
pagina 6). Belangrijk hierbij is te weten
dat Vitruvius zijn beschrijving van de
menselijke maten steunde op de ‘cubitus’
(de el of voorarm). Volgens diverse bronnen en volgens de biometrie is een el
ongeveer 0,45 m of 4500 hm. Hij stelt dat
een el overeenkomt met één vierde van
de lichaamshoogte die dan gelijk is aan
1,80 m. Zelf draai ik echter de zaken om
en vertrek ik vanaf het getal π, waarvoor
ik de waarde 3,1416 neem. Ik stel de lichaamshoogte gelijk aan
d
e
f
g
�� �
� �
� �� �������
3,1416 m of 1,7724 m. Afgerond
kunnen
�
we dus de hoogte van de hoofdkruin op
������
1,78 m nemen. We kunnen dan stellen
������
dat 1 el overeenkomt met �
m of
ongeveer 0,4450 m. Wanneer de mens
�
zijn hand naar boven toe strekt, bereikt
������
hij zo een hoogte van 5 el of 2,2250 m. De
navel bevindt zich dan op de helft van die
hoogte m.a.w. op een hoogte van 1,10 m.
Op een hoogte van 0,89 m (de helft van
1,78 m) bevindt zich de pubis en de beenscharnier. Op een hoogte van 1 m boven
de grond bevindt zich de aanzet van de
wervelkolom. Als je hierbij 1 el optelt,
kom je uit op 1,44 m (schouderhoogte).
De armscharnier ligt op een hoogte van
√2 of ongeveer 1,41 m. Wanneer je bij
0,89 m 1 el optelt, kom je uit op 1,33 m
en dat is de hartstreek. In plaats van in
de geometrie moeten we dus de sleutel
gaan zoeken in de biometrie. De figuur
op pagina 6 confronteert beide stelsels
met elkaar: links de canon van Vitruvius en rechts een proefondervindelijke
biometrische canon, mijn persoonlijke
interpretatie.
Het valt me op dat zowel op jouw tekening als op die van da Vinci de mens
getekend is in een figuur met een vierkant en een cirkel. Dit doet me denken
aan de kwadratuur van de cirkel, het
probleem om met passer en liniaal een
vierkant te construeren dat even groot is
als een gegeven cirkel. Heb je je ooit in
dat probleem verdiept?
Ah, hier komen we meteen op één van
mijn andere objectieven. De kwadratuur
van de cirkel is voor heel wat architecten
een uitdaging. Zoals ik eerder liet opmerken werken wij niet met wiskundig
exacte waarden, maar om constructies
uit te voeren hebben we ‘handelbare getallen’ nodig. Zo werk ik ook, naast π en
ϕ, met het getal e = 2, 7183... dat de basis is voor de natuurlijke logaritmen. Het
getal fungeert benaderend als hoogte
van een gelijkzijdige driehoek met π als
zijde.d Afgeleid van e is er de constante
van Euler γ = 0,5772... of ongeveer 0,4000
+��0,1772e/f. Heb je er trouwens al eens
� ���������
�
over
nagedacht hoe groot de zijde van
een
vierkant
moet zijn opdat het dezelfde
�����
� ������
�����
oppervlakte
zou hebben als een cirkel
waarvan
� � � de straal 1 m of de lengte-een� �
� �� �������
� Het verrassende antwoord is
heid is?
g
������ m of 1,7724 m .
������
In dit
� verband moeten we het misschien
bij ons volgende gesprek eens hebben
�
over drie grote problemen uit de Griekse
������
Oudheid:
de kwadratuur van de cirkel, de
verdubbeling van de kubus en de trisectie
of driedeling van een hoek.
Dat is genoteerd!
N.v.d.r.: de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijde π is een benadering voor e met een fout die kleiner is dan een duizendste.
De correcte hoogte is 2,72069...
N.v.d.r.: ‘afgeleid van e’ in de betekenis: ‘uitdrukbaar d.m.v. integralen, sommen of reeksen waarin exponentiële functies en/of natuurlijke logaritmen voorkomen’.
Stellen dat e is afgeleid uit de constante van Euler is niet geheel exact. Deze constante is de limiet van het verschil van de n-de term
van de harmonische reeks en de natuurlijke logaritme van n. De som gamma (γ =0,4 + 0,1772 ) waarbij deze laatste wortel wederom
de wortel uit π zou zijn, is weerom toeval. In feite kent men nog geen gesloten uitdrukking voor gamma, buiten een oneindige kettingbreuk. Het “=” teken moet dus met een korreltje zout genomen worden.
N.v.d.r.: dit is (niet verrassend) de ‘hoogte van de mens’, want die hoogte werd door Lubroc gedefinieerd als √π .
5
VITRUVIUS
LUBROC
220
200
178
144
133
110
100
89
45
220
178
133
45
110
89
6
vector
strekstand
hoofdkruin
armscharnier
elleboog
navel
centrum
220
178
144
45
110
100
89
strekstand
hoofdkruin
armscharnier
knie
navel
eenheid
geslacht-beenscharnier
0
Bezoek in de klas van
Edo Timmermans
Tekst: Odette De Meulemeester
‘Een vierkant met zijde 3 en een vierkant met zijde 4 hebben samen dezelfde oppervlakte als een vierkant met zijde 5, immers 32 + 42 = 52.’ Je kent deze formule
ongetwijfeld als de stelling van Pythagoras. Dat de oppervlakte van de kleinere
twee gelijk is aan die van het grote vierkant, kun je ook laten zien door het grote
vierkant in stukken op te delen waarmee je de kleinere twee dan kunt leggen.
Zo’n legpuzzel heet een ‘dissectie’. Edo Timmermans doet sinds enkele jaren op
eigen houtje onderzoek naar dissecties van vierkanten en kubussen:
de ‘PYTHAGOREÏSCHE DISSECTIES’.
De voorstelling
Een paar indrukken van de leerlingen:
Op 11 november (ja, op een vrije dag) om
9 uur ging de lezing door. Edo gaf eerst
een inleiding en daarna mochten we zelf
puzzelen.
Emilie (3 Wet): “Ik vond het interessant
om te zien hoe je van 1 kubus 63 in 3 kubussen van 33,43 en 53 kon ‘veranderen’.
Het was tof dat we zelf eens mochten
puzzelen. Het was niet zo simpel. Toen
Edo het deed leek het heel gemakkelijk
maar als we het zelf moesten doen werd
het toch wel nadenken. De mooiste puzzel vond ik die van karton met alle kleuren. Het is echt fijn om ernaar te kijken.
Hij was wel een beetje zenuwachtig
maar hij heeft wel goed uitgelegd vond
ik. Ik heb er geen spijt van dat ik geweest ben. Ik heb bijgeleerd over de derdemachten en ook de tweedemachten.
De puzzelstukken waren een heel mooi
bewijs van 33+43+53=63. Hij heeft ook een
tabel ingevuld met welke getallen het
allemaal mogelijk is. Het was echt de
moeite waard. Nogmaals bedankt dat
me mochten komen luisteren!”
Benoît (3 Lat): “Ik vond het supertof. Het
geeft je namelijk een andere kijk op wiskunde met al die formules en definities.
Ik heb heel veel bijgeleerd en mijn interesse voor wiskunde is groter dan
tevoren. Wat die man allemaal kan doen
is echt ongelofelijk en ik wist niet dat
wiskunde zo ‘breed’ was.”
Olivia (3 Lat): “Het was heel tof! Het was
eens een andere kijk op de wiskunde
en toont aan dat wiskunde meer is dan
enkel theorie! Echt, SUPER! “
Edo: “Het was erg leuk om te doen, die
lezing en ook die demonstratie voor die
jongen de avond ervoor!
Fijn dat mensen hierdoor kunnen zien
dat wiskunde ook leuk kan zijn!
Als ik dit zo hoor, dan is het in elk geval
voor herhaling vatbaar! Wie weet ook
eens op een andere school in België!”
Bert (3 Wet): “Ik vond het leuk dat ik er
bij was.”
Sarah (3 Lat): “Ik vond de dissectie van
kubussen, vierkanten e.d. echt heel leuk.
Ik vond het zeer speciaal om te zien dat
zijn puzzel niet enkel stukjes bevat, maar
ook Boeddhistische tekens. Wiskunde
bestaat dus duidelijk niet enkel uit cijfers en rechten! Het was echt de moeite
waard om tijd voor vrij te maken en ik
raad het echt iedereen aan!!! “
Praktisch:
Wie meer wil weten over Edo
Timmermans kan een en ander
terugvinden op deze websites:
www.pythagoras.nu/pyth/pdf/artikel_304_edotimm45-6.pdf
www.cs.purdue.edu/homes/gnf/
book/Booknews/edosppd.html
7
Lees- en kijktips
WISKUNDE IN EEN NOTENDOP.
Tekst: Jeanine Daems
Uitgeverij Bert
Bakker geeft een
brede serie informatieve boeken
uit: “(bijna) Alles wat je altijd
wilde weten - X
in een notendop”.
X staat voor
een onderwerp,
bijvoorbeeld de
bezetting, Boeddhisme, fysica, popmuziek, noem maar
op, of een persoon (sinds kort is er
zelfs een over Barack Obama). Maar
ook de wiskunde kwam aan de beurt:
Martin Kindt en Ed de Moor schreven
“Wiskunde in een notendop”.
Het is een hele klus om de wiskunde
samen te vatten in een notendop, oftewel een boek van 202 pagina’s. Zoals de
auteurs zelf schrijven in de inleiding:
“De hele wiskunde past niet in een notendop, maar er schuilt - naar wij hopen
- in dit kleine dopje toch heel wat leesen studieplezier.” Kindt en De Moor zijn
er wonderwel in geslaagd een heleboel
wiskundige onderwerpen te behandelen
en daarbij onderlinge verbanden te laten
zien, de historische ontwikkelingen aan
te geven en ook nog te benadrukken dat
de wiskunde een menselijke activiteit
is. De uitleg en de voorbeelden zijn goed
en duidelijk, de bewijzen (jawel!) ook.
De samenhang tussen stukjes wiskunde
wordt benadrukt.
Een van de mooiste stukjes in het boek
8
vector
vind ik de heldere uitleg van de parabool. De parabool wordt geïntroduceerd
als kegelsnede, maar direct wordt het
verband met een functie gelegd en bewezen. Daarna zien we de parabool ook
nog als “de verzameling van alle punten
met gelijke afstanden tot een vast punt
en een vaste lijn”. Zo wordt duidelijk
dat je sommige dingen op verschillende
manieren wiskundig kunt beschrijven,
en dat de ene manier in sommige contexten handiger is dan de andere, maar
ook dat je echt kunt bewijzen dat de
verschillende manieren equivalent zijn.
Er is niet zo veel voorkennis nodig:
iemand die de middelbare school met
wiskunde heeft afgerond zou het boek
moeten kunnen lezen. Maar de lezer
moet wel welwillend zijn zich echt in de
stof te verdiepen: als je er snel overheen
leest zonder je af te vragen of je echt
snapt wat er staat, mis je een essentieel deel van de inhoud. Maar dat is een
kenmerk van wiskundige teksten in het
algemeen en dus representatief.
De onderwerpen die aan de orde komen zijn erg divers: cijfers en getallen, rekenen met letters, veeltermen,
combinatoriek, kans en verwachting,
priemgetallen, aanschouwelijke meetkunde, regelmatige patronen in het vlak
en in de ruimte, axioma’s, analytische
meetkunde, irrationale getallen, kettingbreuken, rijen, differentiëren en
integreren, logaritmen en spiralen. En
in het allerlaatste hoofdstuk geven de
auteurs een meer filosofische indruk
van hoe zij het vakgebied wiskunde zien,
waarbij ze aandacht geven aan de vraag
of wiskunde ontdekt wordt of uitgevon-
den, aan de rol van logica en van intuïtie
en aan de vraag of wiskunde altijd een
nuttigheidsaspect moet hebben in onderwijs en onderzoek.
Samenvattend kunnen we zeggen dat
het boek “Wiskunde in een notendop”
verschilt van veel andere populairwiskundige boeken in de zin dat het
echt een wiskundeboek is: het gaat de
diepte in. Dat legt natuurlijk meteen een
beperking op de onderwerpen die behandeld kunnen worden, meer moderne
onderwerpen als groepentheorie liggen
buiten de doelstelling en haalbaarheid
van dit boek. Maar dat is niet erg. Het
boek is niet hip, het taalgebruik is soms
een beetje ouderwets en er staan geen
flitsende kleurenplaten in. Maar het
geeft een goede indruk van wat wiskunde is door echt wiskunde te doen, op een
leuke, aansprekende en inzichtgevende
manier, en het is dus de moeite van het
lezen zeker waard.
DE TELDUIVEL.
Tekst: Vicky
Vermeulen
“Wiskunde? Hou
op zeg! Voor veel
mensen is wiskunde een warboel van getallen,
sommen en onbegrijpelijke berekeningen. Ook
Robert, de jongen
in de blauwe pyjama haat wiskunde
en vooral zijn wiskundeleraar: mijnheer
Van Balen. Tot hij bezoek krijgt van een
telduivel en twaalf nachten lang met
getallen goochelt. Dan blijkt dat wiskunde een spannend en grappig spel
is dat Robert - en ook de lezers - geen
enkele moeite kost. Wiskunde is niet
moeilijk. Zodra het telduiveltje met zijn
stokje zwaait, verdwijnt de angst voor
getallen als sneeuw voor de zon.”
Dat is wat de achterflap van “De Telduivel-een hoofdkussenboek voor iedereen
die bang is voor wiskunde” vertelt, het
boek van Hans Magnus Enzensberger
dat ondertussen al meer dan tien jaar
oud is. Het is bedoeld om de interesse
van kinderen vanaf 10 jaar te wekken, die
wiskunde in het lager onderwijs maar
een saaie en droge bedoening vinden.
Ook in de eerste graad van het middelbaar kan het ongetwijfeld nog worden
gebruikt, vooral bij kinderen die een
grote achterstand hebben opgelopen in
rekenen. Jammer genoeg staat die doelgroep meestal niet te springen om boeken te lezen (en zeker niet als die over
wiskunde gaan). Voor hen kan het luister- en kijkboek dat in 2005 op cd-rom
verscheen een oplossing zijn. Het verhaal wordt voorgelezen, de illustraties
van Rotraut Susanne Berner uit het boek
zijn tot leven gewekt in flash, waardoor je
eigenlijk naar een interactieve tekenfilm
kijkt. De oefeningen en opdrachten uit
het boek zijn verrijkt met rekenspelletjes
op het einde van elk hoofdstuk. Pas als
je alle mini-games tot een goed einde
hebt gebracht, wordt het laatste level geopend. Er zit ook een digitale handleiding
voor leerkrachten en/of ouders bij de
cd-rom (pdf).
Het boek op cd-rom uitbrengen is volgens mij de perfecte zet om kinderen
met desinteresse in lezen toch een duwtje in de rug te geven. De spelletjes op
het einde van de hoofdstukken zijn erg
leuk: de leerlingen leren op een speelse
manier schatten, een raceparcours met
kleurencombinatoriek bouwen ... en ze
kunnen die mini-games op elk moment
opnieuw spelen voor een betere score.
De kinderen worden echt meegezogen in
de droomwereld van Robert.
Maar ondanks al deze positieve dingen en goede bedoelingen, blijf ik toch
met een dubbel gevoel zitten. Van bij
het begin heb ik me geërgerd aan het
taalgebruik. Ik vraag me af waarom de
auteur het
nodig vond om de wiskundige begrippen
te “vertalen”. Zo spreekt de telduivel
over doodgewone getallen (natuurlijke getallen), leert hij Robert huppen
(machtsverheffingen), tovert hij met de
prima getallen (priemgetallen) en moet
je samen met Robert radijs trekken
of achteruithuppen (vierkantswortels
oplossen). Ook de onverstandige getallen en de Bonatsji-konijnen (rarara)
passeren de revue. Robert mag dan wel
dromen over wiskunde en de telduivel
bestaat alleen in zijn fantasie, toch vind
ik het behoorlijk irritant om de telduivel
voor de zoveelste keer te horen praten
over huppen en achteruithuppen. In het
boek kon je dat nog net door de vingers
zien, omdat er in de inleiding van het
trefwoordenoverzicht duidelijk op wordt
gewezen wat de echte begrippen zijn,
maar je kunt deze cd-rom helemaal
uitkijken zonder het trefwoordenboek te
openen. Begeleiding is hier dus echt wel
nodig!
Waarschijnlijk had Enzensberger de
bedoeling om het verhaal wat vlotter te
vertellen en de lezers even weg te halen uit de echte wiskundewereld, maar
eigenlijk is het toch een gemiste kans.
Op deze manier bevestig je toch het
stereotiepe idee dat wiskunde alleen
maar leuk kan zijn als je het niet over die
doorsnee termen hebt? Om nog maar
te zwijgen over de verwarring voor de
leerlingen. Stel je even voor dat je als
leerling perfect leert huppen door deze
cd-rom, maar tijdens een toets machten
de opgave niet begrijpt en daardoor een
nul krijgt. Dat zou pas een reden zijn om
jouw meester of juf Van Balen voor de
rest van je leven te haten en de wondere
wereld van de wiskunde definitief de rug
toe te keren! En dat is nu net wat Vector
en de telduivel niet willen ...
Praktisch:
Titel: Wiskunde in een notendop
Auteurs: Martin Kindt en
Ed de Moor
Uitgeverij: Bert Bakker
ISBN: 978 90 3513 212 2
Prijs: € 9,95
Titel: De telduivel
Auteur: Hans Magnus
Enzensberger
Uitgeverij: Lannoo
ISBN: 978 90 2095 565 1
Prijs: € 9,95
9
Kangoeroe zonder
grenzen
De wedstrijd
Sommigen onder jullie kennen de
Kangoeroewedstrijd misschien al
langer. De voorbije schooljaren konden
Vlaamse scholen zich al inschrijven via
de Stichting Kangoeroe Nederland in
vier verschillende categorieën. Dit
schooljaar krijgen we voor de eerste
keer onze eigen Kangoeroe. De VWO
(Vlaamse Wiskunde Olympiade) heeft
zich in samenwerking met Technopolis
immers aangesloten als partner voor
Vlaanderen bij de organisatie “Kangoeroe zonder Grenzen” (Kangourou sans
Frontières, ook wel de Europese
Kangoeroe Wedstrijd genoemd). Deze
internationale organisatie wenst
kinderen en jongeren aan te moedigen
in hun wiskundige vaardigheden en
deze wereldberoemde reken-, denk- en
puzzelwedstrijd is daar slechts één
onderdeel van.
Het gaat om een reeks verrassende
vraagstukken die stuk voor stuk een
vonkje creativiteit of een flits van
inzicht vragen. Vijf antwoorden per
opgave zijn gegeven, één is er goed. De
eerste vragen zijn makkelijk, maar
gaandeweg worden ze lastiger. Wie
haalt de eindstreep zonder te struikelen?
Een beetje geschiedenis
De oorsprong van de wedstrijd ligt in
Australië. Daar werd in 1980 de
allereerste wiskundewedstrijd voor
scholen georganiseerd. Het succes
daarvan inspireerde enkele Franse
wiskundigen om zelf een wedstrijd voor
rekenen en wiskunde in elkaar te
knutselen. Als eerbetoon aan hun
10
vector
Australische ‘muze’, noemden ze het
Kangourou. Ondertussen heeft hun
wedstrijd internationaal veel weerklank
gekregen. Hij wordt nu al in 40 landen
georganiseerd, en in 2007 waren er al
bijna 4,7 miljoen deelnemers. De
vragen zijn voor iedereen hetzelfde, al
krijgt elke organisatie het recht om drie
vragen te vervangen. Doorgaans
worden liever kleine aanpassingen
doorgevoerd in de opgave in plaats van
ze helemaal te vervangen (bv. namen,
grote getallen vervangen door kleinere,
een extra voorbeeld geven of een
tekening bijplaatsen ...). Elk land heeft
namelijk zijn eigen onderwijscultuur.
Voor wie?
Alle 10 tot 14 jarige leerlingen uit het
Vlaamse onderwijs kunnen deelnemen.
De wedstrijd is opgedeeld in verschillende moeilijkheidsgraden. Voor
leerlingen uit het vijfde en zesde
leerjaar van het basisonderwijs en de
eerste graad B-stroom uit het secundair onderwijs (vroeger gekend als
wizSMART) en voor leerlingen uit de
eerste graad A-stroom van het secundair onderwijs (wizBRAIN).
Internationaal zijn er naast deze twee
niveaus nog de categorieën wizKID
(voor leerlingen uit het derde en vierde
leerjaar van het basisonderwijs) en de
wizPROF (voor leerlingen uit de tweede
en derde graad aso en tso van het
secundair onderwijs), maar die worden
hier niet georganiseerd. De VWO neemt
dus enkel de middelste categorieën
over, we vermoeden dan ook dat de
namen van de moeilijkheidsgraden
zullen worden gewijzigd. Vanaf de
tweede graad van het secundair
onderwijs kun je bij de VWO immers al
deelnemen aan de Junior Wiskunde
Olympiade en de Vlaamse Wiskunde
Olympiade.
Waarom meedoen?
De Kangoeroewedstrijd laat je ervaren
dat wiskunde heel leuk en uitdagend
kan zijn, en dat op elk niveau. Even je
hersenactiviteit opdrijven voor een
aantrekkelijke reken- of denkpuzzel is
best wel gezond en een prima belevenis. Ontdek dat je meer kunt dan je zelf
dacht. En wat is er leuker dan te laten
zien dat je meer kunt dan jouw leerkracht van je had verwacht! Bovendien
kun je zelf of kan de klas, met wat
geluk, nog prijzen winnen ook, door te
antwoorden op welke vraag de meeste
foute antwoorden zullen worden
gegeven.
Vergeet ook niet dat het nieuwe
leerplan voor de eerste graad VVKSO
veel aandacht vraagt voor probleemoplossend denken. Door mee te doen aan
deze wedstrijd, realiseer je op een
speelse manier een stukje van dit doel.
Meedoen met Kangoeroe is een plezier
voor iedereen, ook voor leerlingen
zonder wiskundeknobbel. Na afloop zie
je ze hun oplossingen vergelijken; nog
dagenlang wordt er over doorgepraat.
De vragen gaan mee naar huis: vaders
en moeders, ooms en tantes krijgen ze
voorgelegd en die willen zich natuurlijk
ook niet laten kennen! Het is ook een
goed idee om deze wedstrijd te organiseren op de lerarenopleidingen, of om
na de wedstrijd de vragen te laten
oplossen door toekomstige leerkrachten.
De Vlaamse Wiskunde Kangoeroe wordt
per school georganiseerd. Praktische
informatie, wedstrijdreglement,
instructies en aanmeldformulieren vind
je op de website van de VWO. Per
school en per graad verwacht de
organisatie één leerkracht die zich als
schoolverantwoordelijke registreert en
minstens tien leerlingen die deelnemen
per schoolverantwoordelijke. Na
aanmelden ontvang je dan de nodige
informatie over de wedstrijd, het
inschrijven van leerlingen ... alsook je
persoonlijke login en paswoord.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������
������
�������������������
����
��
�����������
��
�� ������
�������� �������
��
���������
����������
���������
����������������������
����������
�����������
�����������������������
��
������� ����������������
������� �������������
�����
Je hebt geen enkel excuus meer om de
start van de Vlaamse Kangoeroe te
missen.
Praktisch:
������
���������������������
��������� �����������
��
�������������������������
������ ����������������
�����������������������
������ ���������
������
www.wiskundekangoeroe.be
www.vwo.be
www.math.ru.nl/kangoeroe
www.mathkang.org/ksf/index.asp
�
�
�
�����������������������������������������������
��� ��������������
�������������������������������������
�����������������������������������
�������������������������������������
�������������������������������
����������������������������������������
������������������������������������
���� ����������� ����� ���� ������ ������� �����
���������� ������������������������ ����
������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������
Noteer nu al de wedstrijddatum van de
allereerste Vlaamse Kangoeroe
Wedstrijd in je agenda: 20 maart 2009!
���������������������
11
����������������������
�����
Tekst: Hans Wisbrun
Dit is een speciaal voor Vector aangepaste versie van een artikel dat in oktober verscheen in Euclides (84-2),
orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
De titel van dit artikel mag dan een
hoog Creatief-met-kurk-gehalte hebben, de genoemde activiteit bracht
mij onverwachts en op een volstrekt
vanzelfsprekende manier in dat wat
didactici graag een rijke leeromgeving
noemen. Achteraf kan ik zeggen dat het
hele proces, van idee naar product, de
integratie van heel wat vakken betrof:
techniek, ICT, wiskunde, natuurkunde,
scheikunde, economie en een snufje
industrieel ontwerpen. Hieronder het
verhaal hoe de productie van een chocoladeletter mij, behalve veel plezier,
een mooi les- of projectidee gaf voor
het volledige secundair onderwijs
(richting- en niveauoverschrijdend).
Ik ben benieuwd of jullie dat er ook in
zien.
Ideeën hebben vaak een lange sluimertijd in het onbewuste nodig om op een
natuurlijk moment weer aan de oppervlakte te komen. Dat moment kwam
bij mij deze zomer. Toen het idee zich
eenmaal in mijn bewuste had genesteld
ging het ineens heel hard. Binnen de
kortste keren was ik bezig met de fabricage van mallen, zat ik rond de tafel met
Amsterdamse chocolatiers, zette ik als
test een webwinkeltje op en verdiepte
ik me in de financiële aspecten van het
experiment. En met een concreet resultaat: tweehonderd chocoladeletters
in de vorm van een π. Deze waren op
de jaarvergadering van de Nederlandse
Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW),
net op tijd voor Sinterklaas, tegen kostprijs te koop.
MIJN IDEE
Het begon allemaal toen ik ruim twee
jaar geleden de volgende notitie maakte
in mijn ideeënboekje.
Fig.2 De chocolade π
Fig.1 Mijn idee
12
vector
HET FABLAB
Een cruciaal moment in het hele proces
was het moment dat ik via een internetspeurtocht kennis maakte met het
concept FabLab (afkorting voor Fabrication Laboratory). Dat bleek niet alleen
een concept te zijn, maar ook een concrete plek, zowaar bij mij aan de overkant van het water. De beste methode
om als lezer iets over het concept Fab
Lab aan de weet te komen is even met
het woord te googlen. Op het web staan
talloze teksten, foto’s en video’s die het
beter kunnen verduidelijken dan ik dat
hier kan doen. In het kader staat slechts
een korte omschrijving.
Webtekst FabLab
De digitale communicatierevolutie ligt
achter ons. Het is tijd voor de volgende ...
Personal Fabrication. De mogelijkheid ‘to
make almost anything’, thuis met
desktopmachines. Deze ligt nu (bijna)
binnen handbereik door een concept
uitgedacht door Neil Gershenfeld van MIT.
Het heet een FabLab, en bestaat uit een set
computergestuurde machines van bij
elkaar zo’n 30.000 dollar, waarmee zo niet
alles, dan toch veel kan. Elk FabLab wordt
aangesloten bij het zogenaamde FabLab
netwerk, een wereldwijd netwerk, waar op
gestandaardiseerde en laagdrempelige
manier mensen worden uitgedaagd om zelf
bedenker, ontwerper en maker te worden
van hun eigen ideeën.
Nog beter voor een eerste kennismaking is een afspraak maken om een
keer een FabLab te bezoeken. Er zijn er
momenteel een handvol in Nederland
(o.a. in Amsterdam, Den Haag, Utrecht
en Eindhoven), maar wereldwijd zijn er
al veel meer.
Dat bezoeken is ook wat ik deed, ik
fietste gewoon de brug over. Ik had mijn
idee vooraf aan de mensen van Waag
Society, waar het Amsterdamse FabLab
is ondergebracht, voorgelegd en ze hadden enthousiast gereageerd. De laagdrempeligheid waarvan op hun site gerept wordt, werd waargemaakt. Samen
met Mike, een Canadese vrijwilliger,
stond ik een paar dagen later al met een
computergestuurde machine een mal te
frezen die uiteindelijk een chocoladen π
zou gaan opleveren.
Eerst ontwierp ik met een ComputerAided-Design programma een driedimensionale π, waarbij eigenlijk alleen
maar de vorm van belang was. Een
chocoladeletter mag niet te makkelijk
breken, dus algauw denk je aan wat dikkere benen van de π. Spitse uitstekels:
maar niet doen. Een beetje afvlakken
aan de zijkanten is natuurlijk ook mooi,
om straks de letter wat makkelijker uit
de mal te kunnen halen. Bovendien staat
een smooth oppervlak decoratiever.
welke lijnen er straks gefreesd moet
gaan worden, hoe snel je de boorkop
laat lopen ...
Ik maakte eerst een positieve mal door
uit een blok (styrenefoam, MDF ... ik heb
wat geëxperimenteerd) alles rond het
driedimensionale object weg te frezen
met een boorkop. De π verheft zich in
die mal als het ware als een rotsformatie uit een rechthoekige kuil. Dat maken
gebeurt door vanuit de computer een
‘printopdracht’ te sturen naar de freesmachine.
Fig.3 π in perspectief en in drie aanzichten
Fig.4 De positieve mal wordt uit de freesmachine gehaald.
HET PRODUCTIEPROCES
Ik zal hier niet in details treden, het hele
proces staat uitgebreid beschreven op
mijn weblog (http://chocopi.blogspot.
com ), inclusief alle verkeerde wegen
die ik insloeg en de beginnersfouten
die ik maakte. Hieronder gaat het over
het maken van een chocolade π, maar
`almost anything’ kan zo geproduceerd
worden. In grote lijnen komt het proces
op het volgende neer.
Toen het ontwerp eenmaal klaar was,
importeerde ik het ontworpen model (de
data worden vastgelegd in een bestand)
in een Computer-Aided-Manufacturing
programma dat de freesmachine zou
gaan aansturen. In dat programma bepaal je zaken als de uiteindelijke maten,
de lege ruimte rond de letter, volgens
De zo gevormde positieve mal vulde ik
met dikvloeibare siliconenrubber, die ik
vervolgens liet uitharden. Zo krijg je een
negatieve mal, waar later de chocolade
in wordt gegoten.
13
liep. Bij de opsomming van de vakken in
de inleiding vergat ik nog een vak: Engels. Veel handleidingen zijn in die taal
en op het internet zijn achtergrondteksten ook vaak in het Engels.
WISKUNDE, NATUURKUNDE
Fig.5 De positieve mal van styrenefoam
(links) en de negatieve mal van siliconenrubber (rechts)
RIJKE LEEROMGEVING
Nu het proces beschreven is, kan ik tot
de kern van mijn artikel komen: dat een
productieproces als dit voor leerlingen
een rijke leeromgeving kan vormen bij
de integratie van verschillende vakken.
Ik maakte zelf een chocolade π, maar
uw leerlingen zouden vanalles kunnen
maken. Sterker nog: hoe meer het hun
eigen idee is, hoe gemotiveerder ze aan
het werk zullen gaan. De vragen die
onderweg opdoemen zijn nu eens niet
de vragen uit het leerboek of van de
leraar, maar obstakels die de leerlingen
vanzelf tegen komen op weg naar het
gewenste product. Ze dienen zich op een
heel natuurlijke manier aan. Daarbij zijn
uitstapjes naar aangrenzende leerstof
natuurlijk niet verboden. Sterker nog: zo
kunt u, als leerkracht, het productieproces stevig koppelen aan het curriculum.
Dat techniek en ICT in deze leeromgeving een belangrijke rol spelen, zal inmiddels wel duidelijk zijn. Wat de andere
vakken betreft volsta ik hieronder met
wat voorbeelden waar ik zelf tegenaan
14
vector
Dat in CAD/CAM-software veel wiskunde
verstopt zit, voel je direct aan. Ik had
nog nooit met zo’n programma gewerkt,
maar bepaalde onderdelen wekten direct associaties met programma’s als
Maple en Cabri op. Toen ik een platte π
via een 3D-tekenprogramma opgehoogd
had tot een driedimensionale vorm,
moest die vorm opgeslagen worden in
de taal van computers: bits en bytes. Dat
gebeurt door die vorm eerst op te splitsen in eenvoudiger geometrische vormen, viervlakken. Het wiskundig proces
dat hierachter zit heet triangulatie.
ingegaan worden op deze vragen. Ook
een onderwerp als Aanzichten kan zo
op een natuurlijke manier aan de orde
komen (zie figuur 3).
Op een gegeven moment stuitte ik bij de
productie van de mal op een probleem:
een volumebepaling. Ik wilde weten
hoeveel siliconenrubber ik ongeveer nodig had voor het maken van de negatieve
mal. Siliconenrubber is duur en wordt
ter plekke geprepareerd door twee componenten bij elkaar te voegen. Ik wilde
om kosten te besparen een afgepaste
hoeveelheid siliconenrubber aanmaken.
De wiskundige in mij wilde dat volume in
eerste instantie ook wiskundig bepalen.
Ook al was de vorm wat onregelmatig,
met wat integraalrekening zou wel aan
het volume te komen zijn, vermoedde
ik. Maar gelukkig won de natuurkundige
in mij het (ik heb theoretische natuurkunde gestudeerd). Of was het gewoon
het gezond verstand? Ik pakte het veel
simpeler aan: door de ruimte rond en
boven de π te vullen met meegebrachte
gierstkorrels.
Fig.6 Triangulatie
Maar hoe vindt die opsplitsing nu precies plaats? Welk algoritme wordt er
gebruikt? Ik ga op deze vragen hier
niet in, de antwoorden zijn niet relevant
voor het productieproces van de mallen.
Maar tijdens de begeleidende wiskundelessen van het project kan wel dieper
Fig.7 Positieve mal gevuld met gierstkorrels
Die gierstkorrels stortte ik vervolgens
voorzichtig in een plastic cilinder die
voorhanden was. Daar stond geen
maatverdeling op. Maar met de bekende
formule voor de inhoud van een cilinder
(waar onze π zelf in voorkomt!) en wat
meten (straal, hoogte) zou gemakkelijk
het benodigde volume bepaald kunnen
worden. Ook dat bleek niet nodig. Met
tape gaf ik aan tot welke hoogte ik de
cilinder met siliconenrubber zou moeten
vullen.
Toen diende het wiskundige onderwerp
Verhoudingen zich aan. De siliconenrubber zou ontstaan door menging van een
dikvloeibare massa (component A) en
een vloeistof (component B). Dat moest
in de verhouding 100 : 10. Maar er was
een kleine complicatie: die verhouding
betrof geen volumes, maar massa’s.
Nu is daar met behulp van soortelijke
“gewichten” van beide componenten wel
achter te komen (leerlingenvraag), maar
die stonden niet op de bijsluiters. Wel
stonden van beide componenten op de
nog ongeopende verpakkingen de netto
massa’s aangegeven, dus ... (weer een
leerlingenvraag).
Fig.8 Componenten A en B voor het maken
van siliconerubber
Maar ook deze vraag omzeilde ik, met
een eenvoudige keukenweegschaal.
Kortom: er zijn verscheidene wegen die
naar siliconenrubber leiden!
SCHEIKUNDE, NATUURKUNDE
Siliconenrubber is, in scheikundige termen, een polymeer waarvan de keten
gevormd wordt door een vaak als anorganisch beschreven binding. De keten
bestaat namelijk uit afwisselende silicium- en zuurstofatomen. Het zuurstofatoom heeft geen vrije bindingen meer,
silicium echter wel. Aan het siliciumatoom bevinden zich organische substituenten, bijvoorbeeld een methylgroep
CH3. De structuurformule van het polymeer kan dan geschreven worden als:
[-SiRR1-O-]n.
Siliconenrubber prepareren uit twee
componenten is een chemisch proces,
met een daarbij behorende chemische
reactievergelijking. Voor het productieproces is het niet nodig die op te stellen. Maar zou het voor een leerling met
scheikunde in het pakket niet interessant zijn om hier eens wat dieper in te
duiken?
Een andere, natuurkundige, ingang voor
verdieping: bij het gieten van de aangemaakte siliconenrubber in de mal sluit
je onbedoeld luchtbelletjes in het materiaal op. Die kunnen straks zorgen voor
lelijke oneffenheden in de chocolade π.
Hoe zorg je er nu voor dat je zo weinig
mogelijk van die belletjes in de siliconenmal krijgt? Mike, mijn partner in
crime, verzon een creatieve oplossing:
de met (toen nog) vloeibare siliconenrubber gevulde mal werd op een in het
FabLab aanwezige subwoofer geplaatst.
En dan: music maestro, met zo veel
mogelijk bastonen erin! Maar waarom
werkt dit eigenlijk? En kun je alternatieve methoden bedenken?
Fig.9 Structuurformule
ECONOMIE, WISKUNDE
Siliconenrubber is vreemd spul, een
niet-Newtonse vloeistof. Bij Newtonse
vloeistoffen is de schuifspanning τ in de
stof rechtevenredig met de gradiënt van
de (stroom)snelheid loodrecht op het
schuifvlak. In wiskundige termen:
τ = µ · dv/dx, waarin µ de viscositeit is.
Siliconen-rubber voldoet, net als een
maïzenapapje, niet aan deze wet. Op
YouTube staan verrassende filmpjes
over het gedrag van dit soort vloeistoffen. Het is inderdaad mogelijk om net
als Jezus op het water te lopen!
Het ligt niet in mijn bedoeling om nu een
fabriek op te gaan zetten voor dit soort
chocoladeletters, het was vooral een
leuk en leerzaam experiment. En een
uitdaging: krijg ik het ook voor elkaar,
tweehonderd chocoladeletters produceren voor de NVvW-jaarvergadering en
die daar dan kostendekkend verkopen?
Dit leverde direct al het nodige rekenwerk op voor die kosten: prijs die de
chocolatier (dat is een vak apart, daar
houd ik me verre van) vraagt voor zijn
15
werk, kosten van de mallen, kosten
van verpakking, kosten van vervoer en
kosten voor de registratie van de naam
ChocoPI bij het Benelux-Bureau voor
Intellectuele Eigendom. En hoe veel zullen de deelnemers bereid zijn te betalen
voor dit product? Wel meer dan voor een
supermarktletter, het zijn unica en de
chocolade is van goede kwaliteit (Callebaut). Maar ze zullen toch ook wel een
bovengrens hebben?
En als er nu ineens veel interesse blijkt
te zijn, bijvoorbeeld van instellingen of
bedrijven in de bèta-hoek die de letter
als relatiegeschenk willen gaan gebruiken, hoe ga ik dan verder? Mijn eigen
arbeidsuren, hoeveel ga ik daar dan
voor rekenen? Hoe ga ik distribueren?
Het idee van een webwinkel was gauw
geboren en, in een testversie, gerealiseerd (zie onder Links op mijn bovengenoemde weblog). Hoe ga ik in dat geval
de verzendkosten berekenen? Doe ik dat
bijvoorbeeld per gewichtsklasse? En hoe
reken ik de kosten van het betalingsverkeer door? Oh ja, ik moet natuurlijk btw
gaan berekenen. Dat is toch iets met
percentages?
Enfin, voor ik het wist zat ik met mijn
gedachten niet meer bij het productieproces, maar bij economie. Dat zal voor
uw leerlingen ook gelden. Misschien
bedenken en produceren ze wel iets zo
unieks dat er echt geld in zit!
HIER KAN IK WEL CHOCOLA VAN
MAKEN
Toen ik aan de volgende stap toe was,
het laten vullen van de mallen met chocolade, kwamen er weer de nodige prikkels voor bèta-onderwijs langs. Omdat
uw leerlingen niet dit specifieke product
zullen maken, maar hun eigen idee zullen gaan uitwerken, volsta ik hier met
wat figuren. U kunt er zelf wel de vragen
bij bedenken, inclusief uitstapjes naar
de voedingsleer.
Fig.12 Chocoladeconsumptie per land
Fig.10 Tempereren is een sleutelbegrip bij
de productie van chocolade
Mijn mallen werden gevuld door het ROC
van Amsterdam, Afdeling Brood & Banket, en Confiserie Manfred Spaargaren.
En alle ChocoPI’s zijn op!
16
vector
Fig.11 Samenstelling van chocolade
A = suiker; B = cacaoboter; C = melkpoeder; D = andere ingrediënten; E = cacaomassa ; I =wit; II = melk; III = puur
TERUGBLIK
Het was voor mij een spannende ontdekkingstocht, in veel opzichten. Al
doende begon ik mij ook te realiseren
dat ik niet alleen iets concreets aan het
maken was, maar dat ik, onbedoeld, in
een rijke leeromgeving beland was, die
veel schoolvakken met elkaar in verband
bracht. En dat dat verband volstrekt
natuurlijk aanvoelde. Dat bracht me tot
het schrijven van dit artikel.
Daarbij voelde ik de opwinding een eigen
idee te realiseren. Dat moet toch ook
voor leerlingen motiverend werken? Of
ze in het aso, tso of bso zitten, maakt
eigenlijk niet zo veel uit, op elk niveau
valt wel wat te ontwerpen, te maken en
dus te leren. Het proces kan individueel
doorlopen worden, maar ook in groepen.
De laatste wijze heeft als voordeel dat
elk zijn of haar sterke zijde kan inzetten.
Tot slot nog dit: België heeft toch een
naam als chocoladeland hoog te houden? En op 14 maart (3-14 in de Amerikaanse schrijfwijze) is het toch Internationale Pi-dag? Wie van jullie nu de
toorts wil overnemen, kan contact met
mij opnemen over de voorwaarden.
[Met dank aan Teake Oppewal en Fred Pach
voor hun commentaar op het conceptartikel.]
Praktisch:
• Hans Wisbrun was vakdidacticus wiskunde en onderwijskundig medewerker
aan de Universiteit Leiden. Hij is momenteel onderwijsadviseur met een
eigen bedrijf, Wisc. U kunt hem boeken voor lezingen en workshops. Maar
ook andere opdrachten zijn mogelijk.
• Een overzicht van zijn expertise vind je op:
www.linkedin.com/in/hanswisbrun
E-mail: [email protected]
• FabLab België: Technopolis (Mechelen).
Verduidelijking:
In het Nederlandse onderwijs wordt vaak gesproken over alfa en bèta.
Bèta-vakken zijn exacte en wetenschappelijke vakken, zoals wiskunde, fysica,
biologie, chemie, natuurwetenschappen ... In de categorie alfa horen onder
andere taalvakken, geschiedenis, psychologie ... thuis.
i
17
KA Zelzate wint de
Frimoutprijs editie 2008
Tekst: Joachim Van Gucht en Hugo Brokken
Met de Dirk Frimoutprijs neemt het GO!
onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap een initiatief om de wetenschappen te promoten bij haar leerlingen.
Deze prijs wordt tweejaarlijks georganiseerd en de prijsuitreiking vindt telkens plaats tijdens de Vlaamse Wetenschapsweek. Burggraaf Dirk Frimout,
astronaut en erelid van de jury, deelde
op 18 oktober 2008 in Technopolis de
hoofdprijs van 1500 euro uit. Het thema
van deze editie was de opwarming van
de Aarde.
Alle leerlingen uit de 3e graad konden
een project inzenden, waaruit negen
finalisten gekozen werden die hun werk
mochten verdedigen voor de jury in
Brussel. Er waren enkele extra voorwaarden aan deze wedstrijd verbonden:
de groep moest uit minstens drie personen bestaan, er moest minstens één
wetenschapsvak gebruikt worden én de
inzending moest exclusief voor de GO!
Frimoutprijs zijn. De leerlingen konden
namelijk niet meedingen aan andere
wedstrijden met hetzelfde onderwerp.
Het project “Fotovoltaïsche cellen: vergelijking van statische en dynamische
panelen”, is een samenwerking van aso
en tso leerlingen geworden. Het team
bestond uit een leerling uit de richting
economie-wiskunde en twee leerlingen
uit de richting elektrische installaties:
Gert Willems, Niels Cornelis en Jens
Sierens.
Deze samenwerking was een stap in het
duister, nooit eerder werd er op het Koninklijk Atheneum van Zelzate zo onder-
18
vector
wijsvormoverschrijdend samengewerkt.
Dat bood uiteraard veel nieuwe perspectieven: een meer technisch ontwerp was
plots realiseerbaar.
Het werkstuk kwam voort uit de vraag of
de meeropbrengst van een dynamisch
systeem opweegt tegen de meerkosten
voor de installatie ervan. Om de meeropbrengst kwalitatief te meten, diende
een proefopstelling gebouwd te worden
die de zon altijd zou volgen.
Formules voor de beweging van de zon
werden verkregen door fysica en wiskunde los te laten op basisleerstof van
de lessen aardrijkskunde. Een zelfgeschreven programma, in Visual Basic
6.0, zorgde samen met de zelfgemaakte
micro-elektronica voor de sturing van
twee motoren en zo ook voor de beweging van het paneel. Het resultaat was
verbazingwekkend. Het bleek dat de extra geproduceerde energie ruimschoots
de meerkost overtreft.
tie, na de schooluren en in weekends,
zorgde niet alleen voor beter wederzijds
begrip, maar liet Gert ook zijn technische kant ontdekken. Zijn motivatie om
te blijven werken, haalde hij uit de uitdagingen, het overwinningsgevoel door
deadlines en opgeloste problemen en
bovenal de steun van de leerkrachten,
familie en vrienden.
Uiteindelijk kwam dan de ultieme voldoening voor het driekoppige team, de
totale erkenning van hun werk toen ze
de GO! Frimoutprijs wonnen. Een prijs
die bovendien voor de tweede keer op
rij naar onze school werd gebracht. (Na
Aaron Coone in 2006.)
Praktisch:
De eer van de school verdedigen in een
wetenschappelijke wedstrijd? Lang twijfel je niet, aldus Gert Willems, één van
de laureaten. Als “leider” van de projectgroep was het zijn taak de algemene
omkadering van het werk in handen
te nemen. Volgens hem was de eerste
maand erg moeilijk. Hoe begin je aan
zoiets immens? Het antwoord: stukje
per stukje.
Naarmate het project vorderde, kwamen
ook de eerste botsingen: theorie en
praktijk kunnen een wereld van verschil
zijn.
Het actief meewerken aan de construc-
• De negen laureaten en werkstukken van deze editie vind je
terug op:
http://www.g-o.be/sites/
portaal_nieuw/Documents/
20102008motivatiejuryFrimout.
pdf
• Wil je meedoen met jouw GO!school of wil je meer info?
Contacteer dan de projectverantwoordelijke Lieve De Cuyper:
[email protected]
VBTL: nieuw
leerplan,
nieuwe
reeks
Aan alle leerkrachten VVKSO
eerste graad.
1 september 2009 starten jullie met
een nieuw leerplan.
Van Basis Tot Limiet wordt daarom in
een nieuw jasje gestopt.
Onze nieuwe reeks boeken is volledig
op dit nieuwe leerplan afgestemd.
Kom naar onze infosessies
BRUGGE (Kinepolis)
woensdag 4 maart 2009 om 14.00u
DEINZE (Schaubroeck)
woensdag 4 maart 2009 om 19.00u
BORGERHOUT (Scandic)
woensdag 11 maart 2009 om 14.00u
HASSELT (Kinepolis)
woensdag 18 maart 2009 om 15.00u
LEUVEN (Brabanthal)
woensdag 18 maart 2009 om 19.00u
Meer info? Hou onze websites in het
oog of registreer je op de nieuwsbrieven.
Kleine Pathoekeweg 3 ı 8000 Brugge
T 050 47 12 88 ı F 050 47 12 87
E [email protected]
W www.diekeure.be
www.vbtl.be
www.diekeure.be/educatief
19
Colofon
Vector
Tweede jaargang
nummer 7
Redactieadres
Vector
Kleine Pathoekeweg 3
8000 Brugge
[email protected]
Externe auteurs
die occasioneel of op geregelde
basis een bijdrage willen
leveren, kunnen contact
opnemen met de redactie.
Vector
Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België
Voor het buitenland betaal je € 5
Verantwoordelijke uitgever
Bart Vandenbussche
Kleine Pathoekeweg 3
8000 Brugge

Vergelijkbare documenten