x0men

Commentaren

Transcriptie

x0men
Op de vorige redactievergadering 1noesten er uit de kelder stoelen bijgehaald worden en waren
er enkele glazen en vorken tekort.
Reeds n1.eer dan 13 jaar werken we 1net een vaste kern aan de redactie van Uitwiskeling. Af en
toe kwan1. er ie1nand bij de redactie, enkelen haakten af omwille van te grote verplaatsingen of
tijdsgebrek. Nog steeds beginnen we onze vergaderingen met een maaltijd bij ie1nand thuis
waarbij fanûlienieuwtjes en klas-anecdotes uitgewisseld worden.
Sinds vorige redactievergadering voorzien we een vijftal plaatsen 1neer rond de tafel. We
hebben versterking gezocht. De redactie wordt uitgebreid met enkele nieuwe medewerkers,
sonunigen 1net een rijke ervaring, anderen n1.et veel jeugdig enthousiasme. Jeugdig enthoesias­
lne dat wij - ondanks hier en daar een grijs haartje of een kaal plekje - ook nog niet hele­
Inaal kwijt zijn, al zeggen we het zelf Vanaf volgend nummer zul je dan ook een langere lijst
redactieleden op de kaft zien.
Los van het feit dat af en toe nieuw bloed overal wenselijk is, zullen we die versterking op dit
n1o1nent best kunnen gebruiken. In de eerste graad van het secundair onderwijs treden inuners
volgend jaar de eindtennen in voege. Wellicht zullen de bijhorende leerplanwijzigingen ook
opklinunen naar de tweede en derde graad Ook wij hebben bedenkingen bij de eigenaardige
tilning die daarbij gevolgd wordt: verscheidene jaren voor het opstellen van de eindtennen,
1naatschappelijk debateren, goedkeuren en vertalen naar leerplannen, en dan slechts enkele
1naanden voor de leerkrachten 01n zich voor te bereiden. Inhoudelijk vinden we wel dat de
wind uit de goede richting waait. De evolutie in de wiskunde-didactiek die we internationaal
waarne1nen, zal zo ook in Vlaanderen het onderwijs beii1,vloeden.
Met de venuilnde redactieploeg willen we, zoals in de voorgaande jaren, jullie verder infom?.e­
ren over deze evolutie en deze evolutie vertalen naar de concrete klaspraktijk. Ook op jullie
nzedewerking blijven we natuurlijk rekenen: infom'leer ons over je ervaringen met de nieuwe
leetplannen, ... De rubriek Spinnenweb staat steeds open voor jullie bedenkingen.
Michel en Jan,
lay-outers van dienst
1
Matrix ... een begrip uit de kleuterklas
Els Van Emelen
Matrices is een onderwerp dat in de meeste klassen in de derde graad aan bod komt. De
leerlingen ervaren dit meestal als een volledig nieuw begrip. Voor de aanbreng wordt
vaak vertrokken van een eenvoudige situatie. Zo is er het voorbeeld van de zaadhandelaar
die zijn voorraadtabellen noteert:
aantal pakjes van
5g
lOg
witte selderij
5
2
3
savooikool
8
9
10
winterprei
5
6
7
spinazie
0
1
5
50g
Voor het opstellen van het schema wordt er gesteund op het feit dat elke rij en elke
kolom over een specifieke eigenschap gaat. In dit voorbeeld vinden we per rij een groen­
tesoort en in elke kolom het aantal pakjes van een bepaald gewicht.
Een matrix is echter geen nieuw begrip voor de leerlingen. Reeds in de kleuterklas wordt
een matrix voorbereid en "gebruikt". Natuurlijk gaat het daar niet over getallenschema's
zoals in het voorbeeld van de zaadhandelaar. Zoals het onderstaande voorbeeld illus­
treert, wordt er gewerkt/ gespeeld met heel concrete afbeeldingen en eigenschappen
(aantal en vorm). Een rooster wordt aangeboden waarbij op de randen de eigenschappen
afgebeeld zijn. Op de figuur zijn dit de eerste kolom en bovenste rij. Deze "eigenschap­
kaartjes" worden de
symboolkaartjes genoemd. De 16 roosterplaatsen in het midden
moeten opgevuld worden met figuren die een eenduidige plaats hebben. Behalve dat de
kinderen deze spelletjes boeiend en leuk vinden om te spelen, dragen ze bij tot het ver­
mogen om te groeperen en te classificeren.
2
het spinnenweb
Een eerste spel
:�:I� �:11� :[email protected]@
�����
����[�
lci�) ���S 1 ·���� ;� ��
� [t]�llt][t]
Het spel wordt stapsgewijze opgebouwd: de kleuters sorteren, vaak spontaan, volgens één
eigenschap. Met een hint sorteren ze nadien volgens de tweede eigenschap. Tenslotte
worden de twee eigenschappen gecombineerd op het rooster.
In eerste instantie wordt begonnen met eenvoudige eigenschappen die uitnodigen om te
sorteren zoals kleur en vorm. Op de kolommen varieert de kleur (rood, geel, groen,
blauw) en op de rijen varieert de vorm (poppenwagen, trein, auto, fiets). Nadien worden
moeilijkere eigenschappen gebruikt als aantal (zie bovenstaande figuur), plaats in de
ruimte en vormcombinaties (zie onderstaande figuur). Ook in de symboolkaartjes wor­
den gradaties gebruikt: zo kunnen getalbeelden zoals hierboven gebruikt worden. Later
worden de cijfers aangeboden als abstractere voorstelling van getallen.
3
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Een tweede spel
Het eindspel dat gespeeld wordt als alle kleuters het matrixprincipe doorhebben gaat als
volgt: alle kaartjes, ook de symboolkaartjes, worden verdeeld over vier kleuters. Zij
krijgen een stapel kaartjes waar ze op voorhand niet naar mogen kijken. Om beurt mogen
ze een kaartje omdraaien en op het bord plaatsen. Het geheel moet blijven kloppen.
Probeer zelf maar eens, dit is niet altijd even eenvoudig.
Op de laatste redactievergadering bracht ik enkele spellen mee en deelde ze uit. De
symboolkaartjes zaten willekeurig tussen de andere kaartjes. De aanwezigen kenden het
matrixspel vanuit de kleuterklas niet (meer). Spontaan begon iedereen te sorteren en te
puzzelen. Na enig zoekwerk had iedereen het principe door en kregen ze een mooi geor­
dend rooster. Op dezelfde manier kunt u de leerlingen laten experimenteren en zoeken.
Ze ervaren hoe ordenen in roosters, of het gebruik van matrices, past bij het menselijk
denken. Een amusante manier om de lessen in te leiden. Veel plezier!!!
4
het spinnenweb
Cotangens van een halve hoek
E. Steyaert en L. Van den Broeck
In het derde jaar ASO worden jaarlijks de goniometrische waarden berekend voor de
mooie hoeken van 30°, 45° en 60°. Andere hoeken krijgen geen speciale aandacht. Toch
verwachten sommige leerlingen dat wij, geletterde en gediplomeerde leerkrachten, zonder
aarzelen de sinus van 23° en de cotangens van 14° uit de mouw kunnen schudden. Deze
overschatting klinkt natuurlijk vleiend maar is niet in te lossen zonder rekenmachine of
tabellenboekje. Op de vraag hoe echte wiskundigen al deze gekke getallen berekenen
kunnen we voorlopig in een derde jaar geen antwoord geven. Wel ontdekten wij naast de
aangehaalde bevoorrechte hoeken nog enkele andere scherpe hoeken waarvan de gonio­
metrische waarden berekend kunnen worden door middel van derdejaars-eigenschappen
in driehoeken. Het is natuurlijk niet de bedoeling dat deze opgaven stilaan deel gaan
uitmaken van de verplichte leerstof en de parate kennis van de leerlingen. We zien dit
onderwerp eerder als een occasionele uitweiding naast de leerstof.
Willen we de cotangenten van 22°30' en van 15° berekenen is het voldoende de aanlig­
gende zijden in bovenstaande rechthoekige driehoeken te berekenen. Dit kan met slechts
5
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
één hulplijn. Deze hulplijn is zodanig gekozen dat de gegeven driehoek verdeeld wordt in
een rechthoekige driehoek en een gelijkbenige driehoek. Het volgende beeldverhaal
spreekt voor zich. Als resultaat vinden we :
cotg 22°30'
=
1
+
V2 en cotg 15°
=
2
+
V3.
r
2
6
het spinnenweb
Dit systeem kan natuurlijk nog uitgebreid worden naar andere scherpe hoeken. Aangezien
de basishoek van de gelijkbenige driehoek steeds de helft is van één van de hoeken van de
kleine rechthoekige driehoek (een buitenhoek van een driehoek is de som van de niet
aanliggende binnenhoeken) kunnen we op gelijkaardige manier aantonen dat:
Dimetrisch papier
LucVan den Broeck
In een vorige loep over ruimtemeetkunde in de eerste graad werd er een warm pleidooi
gehouden voor het gebruik van het dimetrisch perspectief (ingenieursperspectief), een
loodrechte projectie waarbij een kubus vanuit een specifiek oogpunt bekeken wordt zodat
twee van de zijden een verkortingsfactor van 94,28% krijgen en de derde zijde één van
47,14%. De ribben van een kubus in dimetrisch perspectief hebben bijgevolg de onder­
linge verhoudingen 2-2-1. Voor het oog is dit terecht één van de mooiste afbeeldings­
vormen: geen ribben of hoekpunten vallen in de projectie samen, de onderlinge verhou­
dingen lijken natuurlijker dan b.v. bij een trimetrisch perspectief met verhoudingen 4-5-6,
... Voor de tekenaar die een conglomeraat van 24 dimetrische kubussen moet tekenen is
deze projectie natuurlijk minder aangenaam dan cavalièreperspectief. De richtingshoeken
van 7°11'5111 en 41°24'3511 zijn gewoonweg lastig te tekenen. Daarom heb ik -in navolging
7
rnetrisch
blaadje di
n
e
e
elaar en
e loep
bladhand
rve rmeld
ag
o
d
o
v
)
e
r
in
(bete
en de
even
ier kunn
op bij de
r beschr
e
o
ap
i
k
p
p
a
e
t
p
t
di
k
h
o
p
c
O
ro
4
isometris
ezorgen.
dit papie
oop rnet 2
van het
velletje b
ellicht is
erbladkn
W
v
el
la
e
.
n
k
n
o
e
e
p
si
d
r
s
an
ofe
n tw o
ondersta
ij een pr
papier o
lezer s rn
zicht b.v.
e
in
d
k
j
n
li
a
e
v
t
im
kan één
b eetje ru
rnet een
n
e
g
n
i
rl
lee
tekenen.
kubussen
i 1997)
Q 13/3 (me
Uitwiskelin
l
I
-
\-
\
I
l
�
I
t
I
I
;
�
t
8
,
1
-
\
I
I
het spinnenweb
Migreren met matrices
Guy Van Leemput
"Such is the advantage of a well-constructed language that its simplified notation aften be­
comes the souree of profound theories." (P.S. Laplace)
Het bovenstaande citaat inspireerde mij om de vermenigvuldiging van matrices eens op
een andere manier in te leiden. Met de idee dat de leerlingen zo de kracht van matrices
"aan den lijve " zouden ondervinden. Wat volgt heb ik uitgetest in een 6u-richting maar ik
vermoed dat het, mits de nodige aanpassingen (meer tussenvraagjes), ook een zinvol
alternatief kan zijn in een 3- of 4-uursrichting. En zo past dit stukje bij de loep van dit
nummer.
Hieronder volgt dan het relaas van dit kleine experiment. In een vorige les hadden we het
al wel gehad over matrices (notaties, voorbeelden, ...) maar nog niet over de bewerkingen.
In elk geval werd er bij de presentatie van onderstaand bekend probleem (dat normaal na
de studie van het matrixproduct aan bod komt) niet over matrices gesproken. Het leuke
vond ik vooral dat veel leerlingen zich betrokken voelden omdat ze onmiddellijk zelf
mochten beginnen. Ze ervaarden het probleem als een uitdaging.
1/16 van de stedelingen naar het
1/8 van de plattelandsbewoners naar de steden trekken.
In een ontwikkelingsland verhuist in 5 jaar tijd
terwijl in diezelfde periode
platteland,
Schematisch kunnen we dit als volgt voorstellen:
_l_
16
stad
platteland
.Q
16
1
8
1
8
Stel dat er nu
8 miljoen stedelingen en 24 miljoen plattelanders zijn,
hoe is dan de situatie na
20 jaar?
9
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
De leerlingen hadden vrij snel begrepen dat de eerste (deel)vraag moest zijn hoe de
situatie eruit ziet na
5
jaar. Na enkele snelle berekeningen hebben de meesten dan ook
het antwoord hierop gevonden. Nu moesten dezelfde berekeningen uitgevoerd worden
met de "nieuwe" bevolkingsgegevens. Zo vinden ze (weer) "nieuwe" gegevens betreffende
de verdeling van de bevolking na
10
jaar. Om de resultaten na
herhaalt deze procedure zich nog tweemaal.
en
15 20
jaar te vinden
Om tot juiste resultaten te komen vereist deze opdracht een zekere structuur van de
leerling. Deze structuur zal duidelijker naar voor komen naarmate de opdracht vordert en
precies daarom is het nodig de leerlingen de( zelfde) berekeningen een aantal keren te
laten uitvoeren. Pas dan beseffen ze dat het elke keer dezelfde berekeningen zijn met
alleen een andere input (en dus ook een andere output). Dan is de weg vrij gemaakt voor
de leerkracht om een efficiëntere notatie voor te stellen: een schematische weergave die
input en "vaste" gegevens uit elkaar haalt.
1516
16
_.1_
·
·
8 miljoen
+
!
·
8 miljoen
+
Z
·
8
8
24
24
miljoen
miljoen
=
=
10,5
21,5
.
miljoen
miljoen
wordt dan:
[��
[121,0,55
161 �
24
zodat de 8 miljoen en de
7
8
miljoen
miljoen
]
miljoen slechts één maal geschreven hoeft te worden. Dit
laatste kan dan veralgemeend worden tot:
1516 1
116
8
7
8
waarbij S en P het aantal stedelingen en het aantal plattelandsbewoners zijn op een
bepaald tijdstip en S' en P' het aantal stedelingen en het aantal plattelandsbewoners
5
10
jaar
na dit tijdstip. Door als nieuwe input (S en P) de gevonden output (S' en P') te nemen
geeft deze notatie meteen ook het antwoord voor de bevolkingsverdeling na
(enzovoort voor
10
15
jaar en
20
jaar).
jaar
het spinnenweb
10
Hier had onze inleiding kunnen ophouden maar we wilden graag doorstoten tot het
product van twee vierkante matrices. Daarom "berekenen" we de bevolkingsverdeling na
jaar (noem dezeS" en
P") eens op een andere manier.
Uit het voorgaande verkrijgen we:
1
15
1
1
5
s'
]
16
[P"s" J 16 7 [P' 1 7
16 8
16 8
]1 [ [ 16151 71 ] [Ps l
16 8 J
8 .
=
-
8
=
-
-
8 .
.
-
-
-
Als we dan zouden willen dat de haakj es verzetbaar zijn zoals we bij het vermenigvuldigen
van getallen gewend zijn (associativiteit) moeten we het bovenstaande ook als volgt kun­
nen noteren:
[s"P" ]
=
[ 15161 71 15161 17 l [s ]
8
8
16 8 16 8
-
.
-
-
.
P
-
En daar staat dan een vermenigvuldiging van twee vierkante matrices. Dit uitvoeren zoals
de vorige vermenigvuldiging (rijen van de eerste met kolommen van de tweede matrix)
levert dan:
A·A
=
En dan blijkt dat ...
[\156 781
1516 81 15.16 1516 8 16 1516 8 8 8
16 8 161 78 16 1516 8 16 16 8 8 8
[ps::]
=
A2.
_L.
[P]S
=
A2
.
[248
+
1. _L
.1 + 1. z
+
z. _L
_L.1+Z.Z
miljoen
miljoen
] [12531250]
19468750
=
hetzelfde resultaat gevonden wordt. Dit doet vermoeden dat de door ons uitgevoerde
(gedefinieerde) vermenigvuldiging van vierkante matrices zinvol is.
Het voordeel van deze nieuwe schrijfwijze is dat we nu de toestand na
10 (50 100
jaar
jaar,
jaar) kort kunnen noteren en door een computer (of serieuze rekenmachine) kunnen
laten berekenen vanaf de begintoestand.
11
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
na
na
[19661579]
12338421
50 [�:]
jaar:
100 [�:] �1� i [�] [21123726]
10876274
16 8
jaar:
=
[ ]20·
=
Door nog hogere machten te nemen, kunnen de leerlingen vaststellen dat de bevolkings­
toestand evolueert naar een vaste verdeling.
Ik ben mij bewust van het feit dat ik het hier enkel gehad heb over de vermenigvuldiging
van matrices in twee speciale gevallen (namelijk vierkante matrices van dezelfde orde en
vierkante matrices met een passende kolom). En ook al komen deze twee speciale geval­
len vaak voor, dan nog is het vanzelfsprekend nodig (achteraf) deze vermenigvuldiging te
veralgemenen en de eigenschappen ervan te bestuderen.
12
Stelsels in 3-uursrichtingen
Inhoud
1.
2.
3.
4.
Inleiding
a.
Matrices en stelsels in een 3-uursrichting
b.
Deze loep...
Opwarmertje: een 2 x 2-stelsel uit Babylonië
Methode van Gauss-J ordan aanbrengen
a.
Beestenmarkt in het Oude China
b.
Systematisch combineren
c.
Matrixnotatie en spilmethode
d.
Hoe de Chinezen het deden...
e.
Een nul op de plaats van de spil
Geen oplossingen; oplossingen bij de vleet
a.
Twee rechten in het vlak
b.
Andere voorbeelden
c.
Auto's rond het verkeersplein
1. Inleiding
a. Matrices en stelsels in een 3-uursrichting
In dit nummer nemen we het onderwerp listelsels
11
voor de 3-uursrichtingen onder de loep.
Dit pakket is een onderdeel van het keuzepakket Matrices en stelsels voor de 3- en de 4uursrichtingen. Qua aanpak lijkt er ons toch een verschil te zijn tussen 3- en 4-uursleerlin­
gen. We hielden bij het uitwerken van de volgende paragrafen een groep 3-uursleerlingen
voor ogen. Een tweede beperking is dat we alleen het onderwerp stelsels uitwerken. Het
aanbrengen van matrices en de bewerkingen met matrices kwamen vroeger al uitvoerig aan
bod. We verwijzen in verband hiermee naar [1] en UW 5/1.
13
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Eerst stelsels, dan matrices
In de meeste handboeken wordt gestart met het deel matrices. Je kunt echter net zo goed
vertrekken vanuit stelsels. Daar geven wij de voorkeur aan. Stelsels vormen een heel
natuurlijke situatie waarin je te maken krijgt met tabellen van getallen. Aangezien de band
tussen de twee hoofdstukken toch geen thema op zich is (een stelsel zouden wij in een 3uurscursus nooit schrijven als AX
=
B),
is de volgorde minder belangrijk. Een praktisch
voordeel is dat je stelsels kunt oplossen wanneer dat in een toepassing van matrices aan de
orde is.
Eigen accenten
In UW 1211 stelden we ook voor de 6- en 8-uursrichtingen voor om het stuk lineaire
algebra te beginnen met stelsels. Voor die richtingen was het de bedoeling om vanuit
stelsels enkele algemene begrippen als rang, dimensie, lineaire (on)afhankelijkheid, enz.
aan te brengen. In 3-uursrichtingen komen die begrippen niet ter sprake. We verwachten
wel dat de leerlingen weten wat een oplossing van een stelsel is, hoe ze een stelsel kunnen
oplossen, dat er valse stelsels bestaan, dat er stelsels zijn met oneindig veel oplossingen en
hoe ze deze oplossingen kunnen opschrijven. Algemene stellingen over hoofdonbekenden,
nevenonbekenden en rang zijn hier niet op hun plaats.
Ook in het hoofdstuk matrices, dat we hier niet verder behandelen, is het vooral in de
abstracte formuleringen dat we moeten snoeien. De 3-uursleerlingen moeten matrices
kunnen vermenigvuldigen en die vermenigvuldiging in toepassingen kunnen gebruiken,
/
maar aan een definitie met ai s erin hebben deze leerlingen niet veel. De vermenigvuldi­
ging wordt er niet duidelijker door en ze kunnen met een dergelijke ingewikkelde formule
toch niet verder rekenen.
Niet alleen rekenen
In het algemeen ervaren de 3-uursleerlingen het hoofdstuk "Matrices en stelsels" als
aangenaam en "goed te doen" (zeker indien dit stuk komt na extremum-vraagstukken). Het
is een stuk leerstof waar ze kunnen aan rekenen zonder al te veel te moeten nadenken. We
willen hen dit zeker niet afnemen. Toch willen we meer doen dat alleen maar rekenen. De
leerlingen moeten bijvoorbeeld ook leren om zelf een stelsel op te stellen op basis van een
tekst met gegevens en de probleemstelling. Zo worden deze opgaven ook oefeningen in het
mathematiseren. Ze moeten ook leren kritisch te zijn wat betreft de gevonden uitkomsten.
Als je -3,25 vindt voor het aantal schapen dat gezocht werd, is dit om verschillende
redenen zeer onwaarschijnlijk. In dit kader is het goed een belangrijk deel van de stelsels
aan te bieden in de vorm van vraagstukken (verhaaltjes). Anderzijds willen we ook dat ze
het oplossingsalgoritme van Gauss(-Jordan) niet al te slaafs toepassen. Als je bijvoorbeeld
twee vergelijkingen hebt waarbij de ene het tweevoud is van de andere, kun je een van
beide vergelijkingen schrappen en moet je die niet onnodig meesleuren in het algoritme.
Het aanleren van het algoritme van Gauss(-Jordan) heeft zeker niet de bedoeling van de
14
onder de loep
leerlingen algoritme-uitvoerende computers te maken. We laten hen dit een aantal keer
uitvoeren om het principe van een algoritme te illustreren.
In verse matrices
Het leerplan voor de 3- en 4-uur vermeldt ook
11
inverse matrix
11•
Daar zien we de zin niet
goed van in. De leerlingen zullen met de inverse van een matrix immers niet zoveel doen
(in tegenstelling tot de leerlingen van de 6- en 8-uur).
Als het dan toch moet: een mooie context voor de inverse is het coderen en decoderen. Om
een boodschap te coderen zet je eerst de letters om naar getallen en vervolgens vermenig­
vuldig je deze kolom langs links met een vierkante matrix. Om de boodschap dan terug te
ontcijferen heb je een matrix nodig die het effect van de eerste ongedaan maakt. Dit is de
inverse matrix van de coderingsmatrix. In ieder geval zouden we hier de methode voor het
berekenen van de inverse niet te veel algoritmiseren.
b. Deze loep ...
We willen in 2 eerst herhalen
wat een stelsel is en wat verstaan wordt onder een oplossing.
We gebruiken hiertoe een probleempje dat aanleiding geeft tot een 2 x 2-stelsel. Een
systematische methode is hierbij nog niet nodig en zou hier dan ook onvoldoende motivatie
vinden. De methode van Gauss-Jordan brengen we dan in 2 aan met een 3 x 3-stelsel. Bij
de keuze van beide aanbrengproblemen gaan we de historische toer op, omdat we dit leuk
vinden en hopen dat dit aan deze lessen een culturele meerwaarde geeft. Tenslotte komen
in 4 stelsels aan bod die geen of oneindig veel oplossingen hebben.
1
11
In plaats van de methode van Gauss-Jordan (nullen maken onder èn boven de 1Spillen ),
kun je evengoed kiezen voor de methode van Gauss (enkel onder de spillen nullen maken
11
en daarna !Ivan onder naar boven substitueren ). Beide methoden hebben hun voordelen:
bij Gauss-Jordan pas je één zelfde werkwijze toe tot het einde en dan kun je de oplos­
sing(en) zó aflezen; bij Gauss besef je tijdens de substitutiefase beter dat je met vergelij­
kingen en onbekenden aan het werken bent. Als computeralgoritme werkt de methode van
Gauss sneller dan die van Gauss-Jordan.
Je leest hieronder geen !Iwerkteksten
die een mogelijk verloop van een
11
maar een soort ��becommentarieerde oplossingen
11
Leergesprek in de klas voorstellen. We benadrukken
uitvoerig de aspecten en denkstappen die voor de meeste 6- en 8-uursleerlingen (en a
fortiori voor ons leerkrachten) vanzelfsprekend lijken, maar dit zeker niet altijd zijn voor
heel wat 3-uursleerlingen (tussenstappen bij de vertaling van een probleem in een stelsel,
enz.). De meer formele aspecten beperken we daárentegen zoveel mogelijk. Zo abstrahe­
ren we de
elementaire rijbewerkingen, waar de methode van Gauss (-Jordan) op gebaseerd
15
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
is, niet; we schrijven geen oplossingen verzamelingen op en gaan niet in op de begrippen
rang en dimensie. (Dit laatste zouden we zeker wèl doen in een wiskundeklas.)
2. Opwarmertje: een 2x2-stelsel uit Babylonië
Reeds rond 300 voor Christus bestudeerden de Babyloniërs problemen die tot stelsels
leiden. Een van deze problemen, bewaard op een kleitablet, luidt als volgt.
Twee velden zijn samen 1800 oppervlakte-eenheden groot. Op één veld wordt per opper­
vlakte-eenheid 213 van een schepel graan geproduceerd,
terwijl het andere veld per
oppervlakte-eenheid 112 schepel graan voortbrengt. In totaal bestaat de productie uit 1100
schepels. Hoe groot zijn beide velden?
Een schepel is een oude inhoudsmaat voor graan en droge waren, ongeveer 35 liter.
Hierbij kan eventueel opgemerkt worden dat de Babyloniërs geen "times"-lettertype
gebruikten maar spijkerschrift. De getallen schreven zij in een zestigdelig stelsel en niet
zoals wij in een decimaal systeem. Voor 1800 noteerden zij iets in spijkerschrift dat te
vertalen is als "dertig zestigtallen en nul eenheden" (want 1800
=
30· 60 + 0·1). Het
getal 1100 werd op dezelfde manier geschreven als "achttien zestigtallen en twintig
eenheden" ( 1100
=
18·60 + 20·1). Het zestigdelige stelsel van de Babyloniërs is bij ons
nog bewaard gebleven in de "minuten en seconden" bij het meten van tijden en hoeken.
De eerste stap om dit probleem op te lossen, is het vertalen ervan in een wiskundige vorm.
Dit vinden niet alle leerlingen evident. Wat moeten ze zoeken? De "grootte", d.w.z. de
oppervlakte, van het ene veld en van het andere veld! Dit leidt tot de volgende keuze van
de onbekenden:
x =
de oppervlakte van het ene veld
y = de oppervlakte van het andere veld.
Het is belangrijk dat de leerlingen dit voldoende precies noteren (niet b.v. x = ene veld,
y
=
andere veld). Vervolgens worden de gegevens uitgedrukt met behulp van die x en die
y. Het eerste gegeven is niet moeilijk te vertalen.
De totale oppervlakte is 1800 eenheden:
x +
y
=
1800.
Het tweede gegeven (in verband met het aantal schepels graan) vergt iets meer aandacht.
Op het eerste veld wordt 2/3 schepel per eenheid geproduceerd. Als dat veld b.v. dertig
eenheden groot zou zijn, zou dat dus 20 schepels opleveren (2/3 maal 30). Vermits we het
aantal oppervlakte-eenheden van dat veld x hebben genoemd, levert het eerste veld dus 2/3
maal x schepels op. Op dezelfde manier vinden we dat het andere veld 1/2 maal y schepels
oplevert.
16
onder de loep
Er worden in totaal
1100
�x
schepels geproduceerd:
Elk van beide gegevens levert een
vergelijking op
in
3
+
_!_ y
2
=
1100.
x en y.
We kunnen de noemers in de tweede vergelijking weg krijgen door beide leden met
vermenigvuldigen. We krijgen dan:
4x
+
3y
=
Het vraagstuk komt dus neer op het zoeken naar de
{
x
+
y
=
1800
4x
+
3y
=
6600
6
te
6600.
oplossing
van het
stelsel
·
De accolade betekent llen : de onbekenden moeten voldoen aan de eerste
11
en
aan de tweede
vergelijking.
We vragen de leerlingen om het stelsel op te lossen.
Sommigen zullen gokken (goed! dit betekent dat ze alvast begrijpen waar men naar zoekt),
eventueel in een aantal pogingen. Ze kunnen b.v. proberen om de twee velden even groot
te maken
(x
900, y
=
Maar
900).
=
4· 900
+
3· 900
is
6300
en niet
6600.
Te weinig
schepels dus. Om het aantal schepels te verhogen, moeten ze het eerste veld groter maken.
Tweede poging:
x
1000, y
=
=
Invullen geeft:
800.
4· 1000
+
op de goede weg, maar ze vorderen te traag. Dan maar meteen
nemen. En ja hoor:
4· 1200
+
3 600
·
=
3· 800
6400. Ze zijn
x
1200 en y
600
=
=
=
6600.
Andere leerlingen herinneren zich nog wat ze in het derde jaar geleerd hebben. Door drie
keer de eerste vergelijking af te trekken van de tweede vergelijking ( 11combinatiemetho­
de 11), vinden ze
4x
-( 3x
x:
+
+
3y
3y
Als ze
x
=
=
x
6600
3·1800 )
=
1200.
kennen, kennen ze ook
y
want de totale oppervlakte van de twee velden is
gegeven:
1200
+
y
=
1800
dus
y
=
1800 - 1200
=
600.
Misschien zijn er ook leerlingen die liever de 11Substitutiemethodell toepassen: de eerste
vergelijking geeft
x
=
1800 - y
y op:
en invullen in de tweede vergelijking levert een
eerstegraadsvergelijking in
4 (1800 - y)
+
3y
=
6600.
17
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
De oplossing hiervan is y
=
600 en dus vindt men
x
=
1800 - 600
=
1200.
Hoe dan ook, belangrijk bij deze relatief eenvoudige opgave is dat de leerlingen ten volle
beseffen dat een stelsel oplossen betekent: zoeken naar getallen voor de onbekenden,
zodanig dat als je die getallen in de vergelijkingen invult, je allemaal
verkrijgt (beide vergelijkingen moeten liklappen
11
)
.
11
gelijkheden
11
Daarenboven is het nuttig dat hierbij
herhaald werd dat je een vergelijking mag vervangen door een ll combinatiell van deze
vergelijking met een andere vergelijking uit het stelsel, want dat is wat stelselmatig zal
gebeuren bij de methode van Gauss of Gauss-Jordan. Aan zo'n systematische methode is
hier bij een 2 x2-stelsel echter nog geen nood. We nemen dus een moeilijker probleem
(een 3 x 3-stelsel).
3. Methode van Ganss-Jordan aanbrengen
a. Beestenmarkt in het Oude China
We verplaatsen ons van Babylonië naar China, ruim een eeuw later. Hèt wiskundige
standaardwerk in het oude China (een beetje te vergelijken met de Elementen van Euclides
in de Westerse wereld), is de Chiu Chang van omstreeks 180 vóór onze tijdrekening. Het
achtste hoofdstuk, Fang Cheng (methode van de tabellen), gaat over stelsels van eerste­
graadsvergelijkingen met twee of drie onbekenden. Je vindt er b.v. volgend vraagstuk in
terug, waarbij je merkt dat de ruilhandel nog ingeburgerd was, maar dat er toch reeds
bijgepast werd met munten.
Bij verkoop van 2 buffels en 5 schapen en aankoop van 13 varkens krijg je 1000 munten.
Bij verkoop van 3 buffels en 3 varkens kun je precies 9 schapen kopen. Bij verkoop van 6
schapen en 8 varkens en aankoop van 5 buffels moet je 600 munteenheden bijleggen.
Hoeveel kost 1 buffel, 1 schaap, 1 varken?
De methode die we met dit eeuwenoude probleem willen uitleggen, is eigenlijk identiek
aan de methode die de Chinezen toen gebruikten. Hierover verderop iets meer.
We beginnen weer met het mathematiseren van de opgave. Voor sommige leerlingen is dit
geen probleem, maar er zijn zeker ook leerlingen die hierbij gestuurd moeten worden. Dit
kan gebeuren in een onderwijsleergesprek waarin de volgende stappen worden gezet.
Eén: de onbekenden een naam geven:
x
is de prijs van 1 buffel (uitgedrukt in munten), y
de prijs van 1 schaap en z de prijs van 1 varken. Uiteraard nemen we hier aan dat de prijs
van
1 buffel vast ligt en niet afhangt van de kwaliteit, leeftijd, dikte van de billen,
dollebuffelziekte, enz .
18
onder de loep
I
(
·
... ·
.. · .·
:: · . ··;·.: :·.' · :··::
·
•
.
·.·. . ··: : ·: ·�· : .···�-------r
· ..
:··· .·' ..
·. , '·-:.:. · . .. .... .. . .
.
: .. .. .· .
: . .·
.
.
.
. · . ;.
. . .: · · .
::': .�
>
>:.:
Twee: de gegevens vertalen (uitdrukken
:(
.•
lt
:::>::8-<./.· ·< ·:.:!x��:W?::�.F:i?i"::(;-._· ";',,
:·
> '-
=
··
·
.
-
met x, y en z). Elk gegeven is een "balans"
waarbij hetgeen de veehandelaar afgeeft (beesten en munten) dezelfde waarde heeft als wat
hij krijgt. .
-
afgeven
krijgen
2 buffels en 5 schapen
13 varkens en 1000 munten
3 buffels en 3 varkens
9 schapen
3x + 3z
6 schapen, 8 varkens en 600 munten
5 buffels
6y + 8z + 600
gelijke waarde
�
2x + 5y
=
=
13z + 1000
9y
=
5x
Sommige leerlingen zullen nu al opmerken dat de buffels de duurste beesten van de drie
zijn (dit is b.v. uit de derde vergelijking af te lezen).
b. Systematisch combineren
Om te gokken is het probleem wellicht te ingewikkeld. De ervaring leert bovendien dat het
de meeste leerlingen ook niet met substitueren of combineren lukt. Ze maken wel substitu­
ties en/ of combinaties maar draaien hierbij vaak in een kringetje. Voor een 3 x 3-stelsel (en
zeker voor nog grotere stelsels) hebben we nood aan een vaste, systematische methode die
je blindelings, stap voor stap kunt toepassen en die altijd tot de juiste oplossing leidt. Zo'n
19
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
methode wordt een
algoritme
genoemd (naar de Arabische wiskundige Al-Chwarismi). Het
algoritme dat we hier zullen leren is de methode van Gauss-Jordan.
Carl Friedrich Gauss, één van de meest vindingrijke wiskundigen van de 19de eeuw,
moest een stelsel van zes vergelijkingen in zes onbekenden oplossen om de baan van de
asteroïde Pallas te kunnen beschrijven. Zonder systematisch te werk te gaan, was dit
onbegonnen werk. Hij bedacht daartoe een algoritme dat nog steeds "methode van Gauss"
wordt genoemd. Maar eigenlijk had hij een werkwijze heruitgevonden die de Chinezen
2000 jaar eerder al toepasten. Later bedacht de Duitse wiskundige Wilhelm Jordan een
variant op de methode van Gauss: de "methode van Gauss-Jordan".
We zoeken x, y en z zodat aan de drie
vergelijkingen voldaan is. Eerst herschrij­
ven we het stelsel zodanig dat alle onbe­
kenden in het linkerlid staan, met de x-en,
!
y-en, z-en mooi onder elkaar:
2x
+
Sy
3x - 9y
-Sx
+
6y
-
13z
+
3z
+
8z
=
=
=
1000
(V1)
0
(V2 )
(V3)
-600
De methode van Gauss-Jordan komt neer
op systematisch combineren tot we uitein­
delijk uitkomen bij een "opgelost stelsel",
dit is een stelsel van de volgende vorm:
{
x
a
y
Cart Friedrich Gauss (1777-1855)
b
z
=
c
waarbij a, b en c concrete getallen zijn (namelijk de prijs van 1 buffel, 1 schaap, respectie­
velijk 1 varken). In dat opgeloste stelsel zijn de termen in x in de tweede en de derde
vergelijking, die in y in de eerste en de derde, en die in z in de eerste en de tweede,
allemaal verdwenen. Je kunt de eerste vergelijking van het opgeloste stelsel ook schrijven
als:
1x
+
Oy + Oz
=
a, enz.). In het opgeloste stelsel zijn de coëfficiënten dus nul
geworden behalve op de "diagonaal" (van linksboven naar rechtsonder) waar ze
1
geworden zijn. We zullen stap voor stap ernaartoe werken, vertrekkende van het gegeven
stelsel.
Coëfficiënten van x
We vereenvoudigen eerst waar het kan en laten vervolgens de term in x in de vergelijkin­
gen V 2 en V 3 verdwijnen door V 2 en V 3 elk te combineren met V 1.
20
e \oep
onder d
\
2x
+
3x -
-Sx +
3z
Sy - 1
9y + 3 z
6y
+
=
1000
=
0
do o r
en w e V 2
el
d
n
e
g
i
voud
e vereen
1
(O m V 2 t
.)
or 3 V2
o
d
s
u
d
2
V
n
e
g
n
w e v e r va
600
8z = -
\
00
Z = 10
y - 13
2x + S
0
z =
+
x- 3y
0
0
6
8z = +
+ 6y
x
S
-
\
1
2- y
y2 I 2Y
3 + sV1
V3 \ 2V
�
2x.
+
Sy
- 1'3z
=
3;
et V 1
inaties m
b
m
o
c
ar
ken na
ijnen.)
n g en zo e
ten verdw
la
te
s
n
(De leerli
e
k
m in x tel
om de ter
1000
-1000
Z =
+ 15
-11Y
49Z =
37Y -
3800
21
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Coëfficiënten van y
Analoog maken we de nodige coëfficiënten van y nul, na telkens te vereenvoudigen waar
het kan.
{
{
22
t
22x
V1 1 11 V1
V3 1 11 V3
- 68z
11y - 15z
16z
�
vl I
=
=
=
+
s V2
+
37V2
6000
1000
4800
± vl
v3 I___!__ v3
16
11x
- 34z
11y - 15z
z
=
=
=
3000
1000
300
onder de loep
Coëfficiënten van
!
{
{
z
1
V1
V1
1
V2
11x
=
11y
x
=
y
=
z
=
V2
15 V
3
+
13 200
=
z
34 V
3
+
5500
300
=
1200
500
300
Het stelsel is opgelost. (Vreugdedansje in de klas.) We weten nu dat een buffel in die tijd
1200, een schaap 500 en een varken 300 munteenheden kostte. De leerlingen moeten nu
zeker eens narekenen dat deze oplossing inderdaad voldoet aan alle vergelijkingen van het
oorspronkelijke stelsel. Merk op dat we hier niet de nood voelen om formele taal te
gebruiken die hier geen enkele meerwaarde heeft: we zeggen niet dat de oplossingenverza­
meling het singleton { (1200, 500, 300)
}
is; we zochten x, y en z (de prijzen van die
beesten) en hebben ze gevonden.
c.
Matrixnotatie en spilmethode
We merken op dat we eigenlijk enkel werken met de getallen die in het stelsel voorkomen
(de coëfficiënten en de rechterleden), terwijl de letters x, y, z, de gelijkheidstekens en de
plustekens geen rol spelen (als je b.v. 5y
- 13z bekijkt als 5y + ( -13)z). Met de
bordenwisser kan aan bord dan alles uitgeveegd worden wat voor het oplossen overbodig
is. Dit kan natuurlijk ook met twee transparanten op elkaar gebeuren. Om dan te voorko­
men dat die getallen zouden gaan lopen, worden ze gevangen gezet tussen vierkante haken,
en de plaats van de gelijkheidstekens wordt aangegeven met een verticale streep. Op die
manier ontstaat er op de plaats van elk stelsel een "matrix" van dat stelsel. Voor het
gegeven stelsel zelf geeft dit b.v.:
2
5
-13
3
-9
3
-5
6
8
1000
0
-600
23
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Merk op dat we hier niet spreken van de 11Uitgebreide11 matrix van het stelsel, vermits deze
leerlingen nergens de liniet-uitgebreide
11
matrix van een stelsel gaan gebruiken.
Het vereenvoudigen van de tweede rij komt nu neer op het delen van alle getallen van de
tweede rij door 3.
Het combineren van vergelijkingen wordt nu vervangen door het
rijen.
combineren van
Sommige leerlingen vinden het lastig om telkens een geschikte combinatie te vinden. Daar
bestaat een trucje voor.
Bekijk de tweede stap:
0
1
-3
1
-5
6
8
�
1000
-13
5
0
-600
1 R1
Rz I 2Rz
� I 2�
-
( -5)
2
5
-13
1000
0
-11
15
-1000
0
37
-49
3800
De combinatie 2 R2
-
Rl
1 R1, waardoor je de tweede rij vervangt, is zo gekozen dat er een
0 komt onder de 2. Deze 2 noemen we de
spil
van de eerste kolom. Het is de gewoonte de
spil te omcirkelen. De combinatie is volledig bepaald door de spil 2 en de 1 die eronder
staat. Op dezelfde manier zie je dat de 2 en de -5 uit de eerste kolom de combinatie
bepalen die in de plaats van R3 moet komen.
De - 1 1 die in de plaats moet komen van de -3 (tweede getal op de tweede rij), is als
volgt berekend:
2
·
( -3) - 1
·
5
=
-
11
.
Je kunt het ook zo bekijken:
Q) 5
x -3
1
(de diagonalen van een rechthoekje: spil maal te vervangen getal
min het product van de andere twee llhoekpunten11 ).
Met dezelfde techniek kun je de andere getallen berekenen zonder vooraf te moeten
nadenken over de combinaties waardoor je de rijen gaat vervangen. Deze methode noemt
men de
24
spilmethode.
onder de loep
Wat is in het volgende geval het nadeel van de spilmethode?
5
4
10
6
De spilmethode levert soms grotere getallen op dan nodig. Belangrijk is dat de leerlingen
niet uit het oog verliezen dat de spilmethode enkel een trucje is om een geschikte lineaire
combinatie te vinden (niet altijd de meest efficiënte) en dat de rijen die we combineren
vergelijkingen voorstellen. Wie dit goed beseft, zal b.v. niet de fout maken om een kolom
te "vereenvoudigen"...
d. Hoe de Chinezen het deden...
De Chinezen van de tweede eeuw vóór Christus stelden het
stelsel net zoals wij ook voor door een "tabel'' (matrix). De
eerste vergelijking werd echter niet in de eerste rij gezet, maar
in de laatste kolom; de tweede vergelijking in de voorlaatste
kolom, enz. De rechterleden verschenen dus onderaan, in de
laatste rij. Nullen werden niet geschreven; er verscheen dan
een lege plaats in de tabel. Merkwaardig is dat zij ook een
notatie voor negatieve getallen hadden: de positieve getallen
werden in het rood geschreven en de negatieve in het zwart. De
Chinezen maakten alleen nullen links van de spil. Met onze
notatie betekent dit dat er alleen onder de spil nullen gemaakt
worden. Deze werkwijze komt overeen met de methode van
Gauss, zonder Jordan.
e. Een nul op de plaats van de spil
Na nog een oefening waar geen enkel probleem optreedt, komt de eerste complicatie. We
geven het volgende stelsel als opgave:
1
y
+
2z
2x- 2y
x-
+
5z
2y-
z
x
+
=
3
=
4
=
2
25
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
De leerlingen schrijven het stelsel als een matrix, maken nullen in de eerste kolom, en
verkrijgen:
1
-1
2
3
0
0
1
-2
0
3
-3
-1
Als je de 0 (tweede element van de tweede rij) als spil neemt (even doen ...), dan verlies je
de informatie die in de eerste en de derde vergelijking zit. De oplossing: verwissel de
tweede en de derde rij (waarom niet de eerste en de tweede?) en klaar is Kees. De
leerlingen lossen verder op en vinden uiteindelijk als oplossing:
-
x
y
z
14
=
3
7
3
=--
=
-2
4. Geen oplossingen; oplossingen bij de vleet
a. Twee rechten in het vlak
Een stelsel heeft niet altijd juist één oplossing. Om dit te laten inzien grijpen we terug naar
de meetkundige betekenis van een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden. In
het derde jaar hebben de leerlingen geleerd dat de oplossing van een stelsel van twee
eerstegraadsvergelijkingen in x en y overeenkomt met het snijpunt van twee rechten. Maar
twee rechten kunnen ook evenwijdig zijn. Dan hebben ze ofwel geen ofwel oneindig veel
snijpunten.
We bekijken drie eenvoudige stelsels die elk een verschillend
"meetkundig gedrag"
hebben.
(1)
26
y
+
3y
3
=-
=
24
(2)
{
x - y
-3x + 3y
=
=
-3
0
(3)
{
x
- 3x
+
y
3y
=
=
-3
9
onder de loep
Daarna passen we op deze stelsels de methode van Gauss-J ordan toe, niet zozeer om de
stelsels op te lossen (we hebben grafisch immers al gezien wat er gebeurt), maar om vast
te stellen wat de methode voor die gevallen oplevert.
3
[ 1 -13 1- 1
3
[10 -11-30 1
3
[� -lll � 1
(1)
2
(2)
24
(3) [ 13 -13 1-31
3
[� -all � 1
3
3 01
[ 13 -113
0 1
[10 -11-
9
�
�
�
-9
5
�
�
�
?
?
�
[� � 1�1
Enkel bij stelsel
(1)
kunnen we in beide kolommen een spil nemen. Bij de twee andere
stelsels kunnen we in de kolom van y geen spil nemen. Wisselen met een lagere rij is hier
uiteraard ook niet mogelijk. We interpreteren telkens de tweede rij. Bij stelsel
(2)
kan
Ox + Oy = -9
uiteraard voor geen enkele waarde van x en y waar zijn. Wat je immers ook voor x en y
invult, het linkerlid is altijd gelijk aan 0 en 0 kan niet gelijk zijn aan -9. Het stelsel
heeft dus
geen oplossingen.
(2)
Algemener: een rij nullen vóór de streep met een getal
verschillend van nul achter de streep levert steeds een stelsel zonder oplossingen op (een
llvals stelsel11).
Tenslotte bekijken we stelsel
(3).
Ook hier kun je geen tweede spil nemen en ga je dus niet
één waarde vinden voor y. Maar de tweede vergelijking is nu niet meer iets onmogelijks.
Integendeel,
Ox + Oy = 0
is hetzelfde als 0 = 0; dit is altijd waar en vertelt ons niets over x en y. We kunnen die
(3),
vergelijking (die rij nullen in de matrix) dus even goed weglaten. Algemener: een rij
3,
3.
nullen vóór en achter de streep mag je steeds weglaten. De eerste vergelijking van
x - y =
-
kunnen we nu herschrijven als x = y
-
in functie van de onbekende y, die bij de kolom zonder spil
hoofdonbekende en y een nevenonbekende. De waarde van y ligt
hoort, kunnen we dus oplossen
hoort. We noemen x een
De onbekende x, die bij de spil
27
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Het stelsel is er eentje van 6 vergelijkingen in 6 onbekenden, maar door het grote aantal
nulcoëfficiënten is ze nog wel tamelijk vlot met pen en papier op te lossen. Het zou
anderzijds niet slecht zijn om de leerlingen eens te demonstreren hoe dit ook met een
computer of geavanceerde rekenmachine kan gebeuren.
Het stelsel is
xl = JS.
JS.
+
+
16
Xs
x6
+
22
+
20
+
12
24 = 'S
x3 = x4
x4
+
=
x5
= x6
14 = x1
In het computeralgebra-systeem Derive gaat de methode van Gauss-Jordan als volgt: je
typt ll row reduce
en daarachter de matrix van het stelsel. Met de menu-opdracht
_
ll symplify
11
11
krijg je dan (meteen) de matrix van het opgeloste stelsel.
1
-1
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
-24
0
0
1
-1
0
0
20
1
-1
0
-16
ROvi_RBDUCB
#1:
22
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
-1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
-1
14
0
1
0
0
0
-1
-8
0
0
1
0
0
-1
16
0
0
0
1
0
-1
-4
0
0
0
0
1
-1
12
0
0
0
0
0
0
0
12
-14
#2:
Zoals je ziet is x6 nevenonbekende en zijn er dus oneindig veel oplossingen.
x1 = x6
+
JS_ = x6
-
'S
x6
+
x4 = x6
-
x5
=
=
x6
+
14
8
16
4
12
x6 mag je kiezen
30
onder de loep
Binnen de context kun je als volgt inzien dat er oneindig veel oplossingen moeten zijn. Stel
dat er een paar automobilisten hun tijd doden met op de rotonde te blijven ronddraaien.
Dit zal de tellingen op de wegen van en naar de rotonde niet beïnvloeden. Dus: heb je een
oplossing gevonden en tel je bij de waarden van alle onbekenden een vast getal bij (het
aantal auto's die blijven ronddraaien), dan heb je ook nog een oplossing van het stelsel.
Merk op dat je hier niet gelijk welk getal kunt invullen voor x6. Als je b.v. x6 vervangt
door 5, dan wordt x2 gelijk aan -3, wat geen zin heeft (de auto's mogen niet achteruit
rijden op de rotonde ... ). De waarde van x6 moet een geheel getal zijn en groter zijn dan 8
(en niet té groot want dan is het ook niet meer realistisch). Vullen we 13 in voor x6, dan
vinden we: x1
=
27, x2
=
5, x3
=
29, x4
=
9, x5
=
25 en (uiteraard) x6
=
13.
Bib Ho grafie
[1]
J. Roels e.a., Wiskunde vanuit toepassingen, functies en matrices als modellen, Aggregatie
wiskunde K.U.Leuven (Leuven), 1990.
[2]
Project Open Universiteit, Brugcursus wiskunde voor humane wetenschappen, deel 3, Acco
(Leuven - Amersfoort), 198 9.
Hilde, Guy, Michel
31
Het functiebegrip in het secundair onderwijs
We bespreken hieronder vier artikels uit een themanummer over functies in Matbematik
lehren. De vier artikels vormen een mooi geheel. Het eerste artikel schetst de geschie­
denis van de grafische voorstellingen van functies en van de opeenvolgende omschrijvingen
en definities van het functiebegrip. De didactische lijn die dan in de drie volgende artikels
wordt beschreven, volgt de genetische weg die deze geschiedenis ons leert, van 11functio­
nele verbanden tussen grootheden�� tot, helemaal op het einde, een abstracte veralgeme­
ning van het functiebegrip. In Vlaanderen heeft deze reeks artikels een grote actualiteits­
waarde. Tot en met dit schooljaar stond bij ons immers de meest abstracte versie van het
functiebegrip (een functie als een speciale 11relatie11 van een verzameling naar een verza­
meling), in het eerste jaar op het programma. De eindtermen en de nieuwe leerplannen
maken nu (eindelijk) een consequente, genetische aanpak van het functiebegrip mogelijk.
G. Malle, Aus der Geschichte lernen
Matbematik lehren 75 (1996), 4-8
H. Bürger, Funktionale Zusammenhänge
Mathematik lehren 75 (1996), 14-18
M. Kronfellner, G. Malle, Von funktionale Abhängigkeiten zu Funktionen
Matbematik lehren 75 (1996), 19-22
H. Bürger, Auf dem Weg zum allgemeinen Funktionsbegriff
Mathematik lehren 75 (1996), 51-54
Functies doorheen de geschiedenis
Tabellen zijn de oudste voorstellingswijze voor functies (Babylonische rekentafels voor
kwadraten, derdemachten, vierkants- en derdemachtswortels, ... ) De oudste grafiek da­
.
teert van de 11de eeuw en stelt de positie van de planeten voor in functie van de tijd. Pas
in de 17de eeuw kregen grafieken een wezenlijke plaats in het wiskundig onderzoek.
32
de bibwijzer
Fermat verwoordt als volgt wat een grafiek is: "van zodra twee onbekende grootheden in
een gelijkheid optreden, ontstaat een meetkundige plaats, en beschrijven de
eindpunten
van één van de grootheden een rechte of kromme lijn". (Hij vatte abscissen en ordinaten
dus als
lijnstukken
op en niet als getallen.)
Het woord functio komt voor het eerst voor in de briefwisseling tussen Leibniz en J ohann
Bernoulli, en in 1718 lezen we bij deze laatste de eerste definitie van het functiebegrip:
"een functie van een veranderlijke grootheid is een grootheid die op een of andere manier
samengesteld is uit deze veranderlijke grootheid en uit constanten". Voor Euler is een
functie een
samengesteld uit de veranderlijke grootheid en con2
z a -az
stanten". Merk op dat constante functies of spitsvondigheden zoals z0, 1 ,
, die "er
a-z
"analytische uitdrukking
als functies uitzien maar er geen zijn", niet toegelaten werden als analytische uitdruk­
kingen. Euler is ook degene die de notatie f(x) (maar niet f) voor een functie invoerde.
Sommige functies, zoals vierkantswortels, konden ook meerwaardig zijn. De grafiek van
een functie moest wel in elk interval van het definitiegebied doorlopend met de vrije hand
te tekenen zijn.
Ondermeer bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen was men in de tweede helft
00
van de 18de eeuw genoodzaakt ook uitdrukkingen zoals
I
x2
dt toe te laten. Maar
2
2
t +x
0
deze integraal kan zowel gelijk zijn aan ?TX (als x
2
� 0)
als aan -7rX (als x <
2
0);
men kon
de functie dus niet blijven identificeren met één voorschrift. Fourier stelde voor om in
verschillende intervallen van het definitiegebied verschillende voorschriften toe te laten.
Pas in de 19de eeuw werd de definitie van het functiebegrip losgemaakt van het voor­
schrift. Hankel formuleerde het b.v. zo: "y is een functie van x, wanneer met elke waarde
van de veranderlijke grootheid x binnen een bepaald interval, een bepaalde waarde van y
overeenkomt, om het even of y in het hele interval volgens een zelfde wet van x afhangt of
niet, en of die afhankelijkheid met wiskundige operatoren kan worden uitgedrukt of niet".
Een volgende stap bestond erin dat ook andere deelverzamelingen van IR en zelfs van IR n
als definitiegebieden werden toegelaten. Dedekind schrijft: "Onder een afbeelding cp van
een systeem S wordt een wet verstaan waardoor met elk bepaald element s van S een
bepaald ding overeenkomt, dat het beeld van s heet en met cp(s) genoteerd wordt." (Merk
op dat hier voor het eerst een onderscheid in notatie wordt gemaakt tussen functie en
functiewaarde.)
Sommige grondslagenonderzoekers hadden bezwaren tegen het niet wiskundig gedefi­
nieerde woord "wet" bij Dedekind (of "afhankelijkheid" bij Hankel). Men loste dit b.v. op
door een functie te definiëren als een drietal
(A, B, G), met G C A x B en zodanig dat er
E G. Maar eigenlijk is het probleem
voor elke x in A juist één y in B is waarvoor (x, y)
33
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
slechts schijnbaar opgelost, want van G kan men meestal niet alle elementen opsommen,
zodat men weer aangewezen is op een "wet" om de verzameling G te omschrijven. Deze
historiek van de definities van het functiebegrip eindigt tenslotte met het veelzeggende
citaat van H. Weyl: "Niemand kan uitleggen wat een functie is".
De 19de eeuwse wiskundigen die het functiebegrip veralgemeenden, waren zich er niet
meteen van bewust dat ze hiermee ook "monsters" creëerden, zoals b.v. continue functies
die nergens afleidbaar zijn (Weierstra,6). Na deze ontdekking keerden sommige wiskun­
digen deze functiedefinitie vol afschuw de rug toe (Hermite, Stieltjes), terwijl anderen
zich juist lustig op die monsters wierpen en aldus de theorie over continuïteit, afleidbaar­
beid, enz. verder verfijnden.
Lessen trekken uit de geschiedenis
De auteur besluit uit deze historische schets: "In het onderwijs zou het grondig fout zijn te
doen alsof het functiebegrip een afgewerkt product is dat men in de supermarkt kan
kopen". Als een expliciete functiedefinitie aan bod moet komen, dan kan dat pas gebeuren
nadat de leerlingen eerst enkele jaren gewerkt hebben met functionele verbanden (via
tabellen, grafieken, formules, computerprogramma's, ...) en met meetkundige transforma­
ties. In geen geval vindt de auteur het zinvol dat de oplossing voor een probleem uit het
grondslagenonderzoek het eerste contact met het functiebegrip zou vormen.
Functionele verbanden
In de klassen die overeenkomen met onze eerste graad van het secundair onderwijs
maken de leerlingen kennis met functionele verbanden. Dit is het onderwerp van het
tweede artikel. Bij een functioneel verband tussen twee grootheden x en y gaat het om de
vraag: hoe verandert y wanneer
x
verandert? Binnen verschillende contexten (het ben­
zineverbruik als de gereden afstand verandert, de prijs als het gewicht verandert, de
oppervlakte en de omtrek van een rechthoek wanneer één van de afmetingen of allebei
verzoveelvoudigd worden, ...) leren de leerlingen werken met tabellen, grafieken en
for­
n'lules. Als eenvoudigste speciale geval treedt de (recht)evenredigheid naar voren (zie ook
UW 11/1). Belangrijk is dat van bij de aanvang ook andere verbanden dan evenredig­
heden aan bod komen. Soms wordt de evenredigheid gebruikt als vereenvoudigend 1nodel
voor een werkelijkheid die iets ingewikkelder is (b.v. het benzineverbruik dat niet enkel
van de gereden afstand maar ook van de snelheid en de "rijstijl" afhangt). Ook dit aspect
wordt met de leerlingen besproken.
34
de bibwijzer
Als voorbeeld citeren we de opgavenreeks rond de
oppervlakte van een rechthoek. Het is
interessant om daarna analoge vragen te stellen over de omtrek en de antwoorden te
vergelijken.
Een rechthoek heeft zijden a = 12 cm en b = 7 cm. Hoe verandert de oppervlakte wanneer b
verdubbeld wordt? En wanneer b vervijfvoudigd wordt? (Leg uit met een tekening.) Formuleer
een regel over wat er met de oppervlakte van een rechthoek gebeurt wanneer zijde b met een
getal wordt vermenigvuldigd
Hoe verandert de oppervlakte van een rechthoek wanneer beide zijden verdubbeld worden? En
wanneer beide zijden vervijfvoudigd worden? Formuleer een regel over wat er met de opper­
vlakte van een rechthoek gebeurt wanneer beide zijden met een getal worden vermenigvuldigd
Geef verschillende manieren om ervoor te zorgen dat de oppervlakte van een rechthoek vier
keer groter wordt. En vier keer kleiner.
Van functionele verbanden naar functies
De overgang naar het eigenlijke begrip (reële) functie wordt in het derde artikel gesi­
tueerd in wat met onze tweede graad overeenkomt. Binnen de context van een verticale
worp met beginsnelheid 50 m/ s, wordt de functie t
1-----+
h(t)
=
50t - 5t2 bestudeerd
(tabel, grafiek, het bepalen van de bereikte maximale hoogte vanuit de verschillende
voorstellingswijzen...). Elk tijdstip t uit het "definitiegebied" [0 s, 10 s] komt overeen met
een welbepaalde hoogte. Vervolgens wordt het probleem omgekeerd: voor gegeven
hoogtes wordt telkens gevraagd naar het tijdstip waarop het projectiel zich op die hoogte
bevindt. Elke hoogte behalve 125 m komt nu overeen met twee tijdstippen. Ook hierbij
maken de leerlingen een tabel en tekenen ze een grafiek. Wat onder b.v. t(100 m) moet
35
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
worden verstaan, ligt niet meer "eenduidig" vast. "Toekenningen" (Zuordnungen) die wel
"eenduidig" zijn, worden functies genoemd. Bij het laatste voorbeeld is er eigenlijk sprake
van twee functies: h
�
topwaarts(h) en h
tneetwaarts(h). De auteur besluit met
�
volgende definitie:
Wanneer aan elk getal uit een verzameling A van reële getallen juist één reëel getal toegekend
wordt, dan noemt men deze toekenning een functie. De verzameling A heet het definitiegebied
van de functie.
Er volgen wat notatie-afspraken (x
f(x), enz.) en ook een samenvattende figuur (zie
�
hieronder).
f(x)
f(a)
-----
�------
(a, f(a))
:
functiewaarde
I
�
I
I
I
a
x
argument
�''''''''''''''''''''''"'''''''''''''''''''''''''''''''''''':::>-definitiegebied
Op weg naar een algemener functiebegrip
In de wiskunderichtingen van de derde graad kan het functiebegrip veralgemeend worden.
Het volume van een cilinder met straal r en hoogte· h wordt gegeven door de formule V
1rr2h. Hou je b.v. de hoogte h constant, dan is r
�
=
V een (gewone) tweedegraadsfunc­
tie. Maar als we noch r noch h constant houden, is V een functie van twee verander/ijken:
2
(r, h) � 1rr2h. Het definitiegebied is nu een deel van IR (algemener: van lR0). Er
volgen opgaven zoals:
Stel een formule op voor het volume van het
voorgestelde lichaam: V(x, y, z, h)
=
...
.
z
z
I
z
I
,. ___ _
,"
x
36
y
de bibwijzer
Wordt V dubbel zo groot als x verdubbeld wordt? Zelfde vraag voor y, z en h in plaats van x.
Hoe verandert V wanneer x, y, en h gelijktijdig verdubbeld worden?
Geef zes verschillende manieren om, door x, y, z en h te veranderen, V honderd maal groter te
maken.
Stel een fonnule op voor onderstaand lichaam.
:'�:---- ..
:.-
_
__ _
..
. ...
..
---�·>
;.--\:-Ti···. <,
-:
y
- - �- - - :� � � ,
I
I
}-------------
,'
x
x
Welke van de functies x
f------4
V, y
f------4
V, z
f------4
V zijn lineair? Welke van die functies
zijn hieronder grafisch voorgesteld?
Vervolgens kan ingegaan worden op de grafiek van een functie van twee veranderlijken.
Het tekenwerk wordt uiteraard door de computer gedaan.
Om tenslotte het functiebegrip nog verder te veralgemenen, worden meetkundige trans­
forma ties als functies bekeken (elk punt van het vlak of van de ruimte wordt afgebeeld op
juist één punt... ), en zelfs andere situaties, b.v. "elk lijnstuk heeft juist één lengte". Op die
manier komt men tenslotte op een verantwoorde manier uit bij het begrip functie "van
11•
een verzameling A naar een verzameling B
Michel
37
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
H.Lauwerier, Computersimulaties: de wereld als model
Aramith Uitgevers Bloemendaal, 1992, 167pp., ISBN 90-6834-106-5
Evenals in de eerder geschreven werken 'Fractals', 'Symmetrie' en 'Oneindigheid' be­
schrijft Hans Lauwerier in dit boek een aantal wiskundige curiosa op een vrij populaire en
toegankelijke manier. Dit werk valt zowel in de smaak bij computerfanaten (de QBasic­
programma's zijn achteraan in het boek opgenomen) als bij wiskundeliefhebbers met een
minimale programmeerervaring
(de diskette 'simulatica' kan bij de uitgever besteld
worden) als door gewone lezers met een minimale wiskunde-ervaring (de teksten bevat­
ten meer prentjes dan formules). Ziehier een kleine greep uit de onderwerpen die aan
bod komen: figuren van Lissajous, hoogtelijnen, potentiaallijnen en borduurpatronen,
zwevingen en moiré-effecten, toevalskunst, vlakvullende lijnen en zelfgelijkvormige plan­
tengroei, simulaties van planeet- en komeetbanen, cartografie ... Ter illustratie bespreken
we een artikeltje over de priemgetallen van Gauss.
Gehele getallen van Gauss zijn complexe getallen x + iy met twee gehele componenten.
Binnen het rooster van deze getallen bestaan er priemgetallen: ze hebben alleen de onech­
te delers 1, -1, i, -i, x + iy, -x - iy, y - ix en -y + ix. Het opsporen van de priemge­
tallen van Gauss is, net zoals bij de gewone priemgetallen, een tijdrovende aangelegen­
heid. Bij dwergpriemen gaat het onderzoek eerder vlot:
17- 7i is geen priemgetal van Gauss want 17 - 7i =(2 + 3i)
13 is geen priemgetal van Gauss want 13 = (3 + 2i)
·
·
(1 -
Si).
(3 - 2i).
5 + 6i is een priemgetal van Gauss want
2
2
stel5 +6i =(a+ bi)· (c+di) met a, b, c, dE :tZ en (a + b ) � 1 en (Cl+ d2) � 1.
2
Dan volgt Is +6i 1 = I a+bi 1 2 I c+di 1 2
2
2
2
2
en dus61 = (a + b ) · (c + d ) wat in strijd is met het (klassieke) priemkarakter van het
·
getal61.
7 is een priemgetal van Gauss want
{
stel 7 =(a + bi)
Dan volgt:
en dus:
38
{
·
2
2
(c + di) met a, b, c, dE � en (a +b ) � 1 en
ad+ bc = 0
ac- bd = 7
c =ka
d = - kb
k(a 2 + b 2) =7
(Cl+d2)
� 1.
de bibwijzer
Dit stelsel is strijdig: 7 is niet de som van twee kwadraten.
Uit deze voorbeelden volgt dat de klassieke priemgetallen vaak, maar ook niet altijd,
sneuvelen bij de priemgetallentest van Gauss (zie tweede en vierde voorbeeld). Het getal
13 sneuvelt, het getal 7 houdt stand. De puzzelgerichte lezer kan best wel uitzoeken welke
klassieke priemgetallen volharden in het complexe vlak.
Een voldoende voorwaarde opdat een geheel getal van Gauss een priemgetal van Gauss
zou zijn is dat de gekwadrateerde modulus klassiek priem is (zie derde voorbeeld). Voor
priemgetallen van Gauss gelegen op de coördinaatassen is deze voorwaarde niet nodig
(zie vierde voorbeeld). De gekwadrateerde modulus van het priemgetal 7 is geenszins
priem. Voor priemgetallen van Gauss niet gelegen op de coördinaatassen lijkt deze voor­
waarde nodig en voldoende: een tweede probleem voor de lezer ...
In 1954 liet de wis- en natuurkundige Van der Pol (1989-1959) voor een internationaal
congres in Amsterdam een tafelkleedje ontwerpen met de priemgetallen van Gauss. In
1992 maakte Hans Lauwerier een papieren computer-exemplaar waarbij elk bolletje een
Gausspriem voorstelde binnen het vierkant met hoekpunten ±50±50i. Op de bijgevoeg­
de afbeelding zien we hoe de stippen lichtjes schaarser worden aan de buitenkanten van
het beroemde kleedje met de vier symmetrie-assen.
.. ·: .. . ·.· ·.... · · . . . .. . .· . . . . . . . .· ·.·.... :· . .
·
. . . . ·:· :: ..: ..:. . . ·.·. . . ..
:: :.:=··: ·: . ;:··:· ...· .. •· .
·
·
.
: .: :: ·: :=: ·:· : · :· : .:: �/:::=.:.:.=:=/;� :: : :· : : �: ::::; :: .:; ;: ..�
· ..
: :. . . . . . : . ··· : ·.: :··: · :
.
.
'•
·
. : : · . >:. =-:.:: ::::
: .::·:.::·: · . :·::·;-::.:·:=:.::: \- .: · . .: :
. . . . ·. .·. .· . . .· ·. . ·..· ·. . · .· . ·.. . ... =
..
... .·. . . . .· ..·. . .. .. ..· ·· ..: .......·. ·...·.··· ·..:. . ··.· ·.. ·.. .. . .. .. ..... .·
•
.. • • • : • ••••• : •• : ·: : •••••• : • •• ••• • .
: • : .: . • .: :· :· .:. :. · : ::.:::!�=::.:: :· .: :. . : ·: : •:.. :. :
.:
.· • ..·· :: : ··> <·: ..· ..·::.·: . ··=.·:· :::: ··:.··.:·::.. ..·.. · :·> <· ·: : . · : ·.: ·.
· . .· ···. .: : : : .: : ·.· . ·=.: ..= . : : · ...
·. · . .
.
.
:
·. . . . . .: . ·.·. . ..
. . · ·:. ··.· :..·::. ·:· · . . · .· .:· ..·. .. . ·. : . ..: .
·
.
.
·
.
·
:. . .
. . ·: :· ··:: ..�..:: : : ::..:.:::··: :·
.
.: .· •.. .·. ·..
·. : . :·
. · .: . : .·.
:
.: :.:. . : : : ·: : . :.••: . :.••. . . .: ::. .: . .: :.: : • ..:: .• .: :
·.: ==- : : :· .. ; . ... · . :: : . . . .. :· :. : : ·.;:/ : :
·.:
.
.:
:;
: : .. :·· .· . . ·: . .· . · .· : · .·
·. ·: ·. . .· . . .
.·
·
·
•
.
.
.
.
.
..
.
.
'
.
.
·
·
·
·
·
.
.
.
.
..
·
.
.
.
.·
.
.
·.
.·.
.·
.·
·.
•
••
•
••
·
.
·.
•
•
.·
·
•
+.
•
.·
.
·
.
•
•
•
·
.
•
.
.
·.
.
•
.
.
.
·
.
.
·
.
.
..
·
.
·
·.
.
.
.
·
•
•
•
.
·
.
.
.
.
•
·
.
.
.
••
.
.
•
.
.
.
.
•
.
.
·.
•
.
.
·.
·
. ·.
.
·.
.
.
.
.
.·
.
.
.
.
�
.
·
·
.·
.. .
.
.
t
•
..
•
.
.
+
•
.
•
•
.
.
•
•
·.
.
.
.
.
·
.·.
.
.
.
••
•
•
•
•
.
.
·.
·
.
.
·
·.·
.
.
.
Bij het schrijven van deze korte studies heeft Hans Lauwerier de wiskundige achtergron­
den bewust vaag gehouden. Onopgeloste problemen en uitdiepingen verdringen elkaar
tussen de regels door. Wie er zin in heeft kan zich langdurig vermaken met het narekenen
van onaangetoonde beweringen en vermoedens. Toch hoeft niet elk contact met dit boek
39
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
inspannend te zijn. In de klas gebruik ik dit werk vaak om het esthetische aspect te belich­
ten van wiskunde-onderwerpen die vaak verrassend dicht aanleunen bij leerplanonder­
werpen uit andere vakken. Leerlingen die zich aangesproken voelen door een mooi poten­
tiaalveld, een fractale boom van Pythagoras, een toevalsschilderij van Mondriaan of de
schijnbare baan van een planeet, gebruiken de middagspeeltijd wel eens om het bijbeho­
ren�e QBasic-programma over te typen ... en op zoek te gaan naar de leukste varianten.
40
de bibwijzer
Een ander onderwerp dat zowel aansluit bij de ruimtemeetkunde als bij de analyse uit de
hoogste graad is het thema van de moiré-effecten. Wanneer we een dicht lijnenpatroon
met niet-snijdende krommen tweemaal identiek op transparant copiëren en deze transpa­
ranten wat slordig over elkaar leggen, komen er vaak mooie interferentielijnen aan het
licht. Deze kunstige glanskrommen bemerken we ook wanneer we schuin door een gol­
vend glasgordijn kijken. In de textielindustrie wordt dit procédé graag benut. Men legt
twee doorschijnende en dradige weefsels in vochtige toestand op elkaar en voert ze dan
onder grote druk tussen twee hete cilinders zodat de draden plaatselijk geplet worden. Zo
geeft men een rijkelijk uitzicht aan bruidsjurken in zijde of rayon. In de beeldende kuns­
ten is moiré een van de methoden van vooral op-art-kunstenaars om een soort beweging
te suggereren.
Bij bovenstaande voorbeelden hebben we ons beperkt tot patronen met concentrische
cirkels. Het eerste patroon omvat cirkels waarvan de straal volgens een rekenkundige rij
toeneemt. In het tweede pa troon neemt de straal toe volgens een kwadratische rij en in
het derde patroon volgens een wortelrij. De drie patronen veroorzaken telkens een ander
interferentiemotief. Op de rechtse computertekeningetjes zien we bovenaan radiale
moiré-lijnen, in het midden acht-vormige moiré-krommen en onderaan verticale moiré­
lijnen. Ook zonder computerhulp kunnen we de moiré-effecten inschatten ... maar daartoe
hebben we een gezonde dosis wiskunde nodig. Het moiré-effect van het eerste patroon
kan ook gehoord worden. Een stemvork waarvan beide benen aangeslagen worden, ver­
spreidt twee golffronten met concentrische cirkels waarvan de centra dicht bij elkaar
gelegen zijn. Wie een aanzienlijk grote stemvork met een hamertje aanslaat en daarna
snel om de proefopstelling heenholt (of gewoon de vork laat draaien) kan duidelijk de
wisselende geluidsimpulsen waarnemen. Terloops merken we nog even op dat ook in de
linkse computertekeningen (zonder overlappende patronen) een licht moiré-effect schuilt.
Dit niet opzettelijke neveneffect hebben we uitsluitend te danken aan de interactie van de
pixels op het computerscherm.
En nu de wiskundige benadering. De kern van de redenering is de interpretatie van het
lijnenrooster als de niveaulijnen van een oppervlak, de hoogtekaart van een bergland­
schap. Het eerste voorbeeld doet ons duidelijk denken aan een kegelvormige vulkaan, het
tweede aan een puntig hoornoppervlak en het derde voorbeeld aan een parabolische
tumulus of aan een parabolisch bomgat. Hol en bol zijn op landkaarten immers moeilijk
te onderscheiden. Een mogelijke vergelijking van een bomgat met een diameter en een
diepte van vier meter is:
f(x, y)
=
x
2
+
y
2
-4.
Een nieuwe denkbeeldige bommenkrater wordt gemaakt op een afstand o van de oude,
iets verschoven in de x-richting. Ook hiervan kennen we het voorschrift:
g(x, y)
=
(x
+
2
o)
+
2
y
-
4
41
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Het moiré-patroon van de funcies f(x, y) en g(x, y) wordt nu bepaald door de hoogtelijnen
van de verschilfunctie:
f(x
g(x, y) - f(x, y)
+
2ox
z
+
o , y) - f(x, y)
o2
voor kleine o
2ox
We zoeken de hoogtelijnen van dit ( vlakke) landschap voor de getrapte niveaus h, 2h, 3h,
4h, 5h, ... Daarom stellen we deze verschilfunctie gelijk aan de algemene hoogte 11 n h11
·
waarbij n het rangnummer is van de corresponderende hoogtelijn.
20x
=
n h
·
<=>
x
=
(�O]
·
n
Ziehier, zoals verwacht, de vergelijkingen van een reeks equidistante lijnen, evenwijdig
met de y-as. Hoe kleiner de verschuiving van de bomgaten, hoe groter de afstand tussen
de interferentielijnen. Wie nu gewoon graag het resultaat van deze hele redenering kent,
zonder telkens geconfronteerd te worden met kraters en bomgaten, kan zich gelukkig ook
uit de slag trekken door het berekenen van één partiële afgeleide in de richting van de
verschuiving:
�
f(x, y)
=
nh
o
.
Het vormen van moiré-patronen komt zodoende neer op het
grafisch differentiëren.
Belangstellenden kunnen deze rekentechniek ook eens uittesten voor het kegeloppervlak
en het puntige hoornoppervlak.
LucVan den Braeek
42
de bibwijzer
P.G. Buckhiester, Probability, problem formulation and two-player
games
Mathernaties Teacher
87/3 (1994), 154-159
Vergelijk de volgende drie opgaven over kansen.
1.
Je wordt geblinddoekt en krijgt twee identieke dozen voor je. In de ene doos zitten drie
witte en zes rode knikkers; in de andere doos vijf witte en twee rode. Je moet lukraak één
doos kiezen en daaruit lukraak één knikker nemen. Wat is de kans dat je een witte knik­
ker neemt?
2.
Je krijgt twee identieke lege dozen en een zak met zestien knikkers, acht witte en acht rode.
Je mag de knikkers verdelen over de twee dozen zoals je verkiest; de enige voorwaarde is
dat elke knikker in één van de twee dozen terechtkomt. Daarna word je geblinddoekt en
moet je lukraak één doos kiezen en daaruit één knikker nemen. (Als de gekozen doos leeg
is, kun je uiteraard geen knikker nemen.) Als je een witte knikker hebt, krijg je 100 dollar.
(Het artikel is in Amerika geschreven; wij zouden zeggen: een snoepje.) Hoe zou jij de
knikkers over de dozen verdelen?
3.
Jij en je vriendin krijgen twee identieke lege dozen. Jij krijgt een zak met acht witte knik­
kers en je vriendin een zak met acht rode knikkers. Eerst mag jij je acht witte knikkers
over de twee dozen verdelen, terwijl je vriendin toekijkt. Dan mag zij haar acht rode
knikkers verdelen. De enige voorwaarde is dat elke knikker in één van de twee dozen
terechtkomt. Daarna word jij geblinddoekt en moet je lukraak één doos kiezen en daaruit
één knikker nemen (als die doos niet leeg is). Heb je een witte knikker, dan krijg je van je
vriendin 100 dollar en anders geef je haar 100 dollar. Hoe zou je bij dit spel je witte
knikkers over de dozen verdelen?
Probleem 1 is een klassiek vraagstukje dat met een kansboom of met de "wet van de totale
kans" wordt opgelost:
P(wit)
=
1.;!
2
9
+
1. �
2
=
7
11.
21
De auteur vindt dat ook problemen zoals 2 en 3 in de klas aan bod zouden moeten komen
en dat de leerlingen de kans moeten krijgen om zelf nog variante opgaven te bedenken.
Bij probleem 2 is elk antwoord van een leerling eigenlijk een opgave van hetzelfde type als
vraag 1 . Deze antwoorden zijn niet juist of fout, maar het ene antwoord kan wel beter zijn
dan het andere. Na enkelen keren gokken, zullen ze willen weten wat het beste antwoord
is. Stel dat je w witte en r rode knikkers in de eerste doos legt, dan is
P(wit)
=
1 ___:!!__
2
·
w
+
r
+
1
2 32
16
-
-
(w
w
+
r)
43
Uitwiskeling 13/3 (mei 1997)
Het komt er dus op aan w en r zo te kiezen dat deze functie van twee veranderlijken
maximaal wordt. De leerlingen zullen wellicht voorstellen om een computer of reken­
machine in te schakelen voor de berekening van de 40
(!)
kansen. Er blijkt dat je best in
één doos één witte en geen rode knikkers legt; de kans om dan de witte knikker te trekken
is (afgerond) 0,733.
Bij probleem 3 is het moeilijker om vast te leggen wat je onder het "beste antwoord" (de
beste strategie) moet verstaan. De kans die je zo groot mogelijk wilt maken, hangt niet
alleen af van hoe je zelf de witte knikkers legt, maar ook van de verdeling van de rode
knikkers, en die heb je niet in de hand. Bij de "optimistische benadering" ga je ervan uit
dat je vriendin de rode knikkers op de voor jou gunstigste manier verdeelt. Dan kun je
best één witte knikker in één doos en de zeven andere in de andere doos leggen; je kans
op wit is dan 0,733, net zoals bij probleem 2. Je vriendin wil echter winnen, m.a.w. ze wil
jou laten verliezen. De "realistische benadering" is dus rekening houden met de voor jou
minst gunstige verdeling van de rode knikkers. Dan blijkt uit de computerberekeningen
dat je best vier knikkers in elke doos kunt leggen. Je kans op de 100 dollar is dan juist 0,5
en die van je tegenspeelster ook. We hebben in dit geval dus een "eerlijk spel".
Michel
�
( 10JAAR JNoN5
TJJD5CHQIFT
44
)•

Vergelijkbare documenten

Mallor que yo

Mallor que yo gen. We hielden bij het uitwerken van de volgende paragrafen een groep 3-uursleerlingen voor ogen. Een tweede beperking is dat we alleen het onderwerp stelsels uitwerken. Het aanbrengen van matrice...

Nadere informatie