Referent: Alireza Dorfard

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Referent: Alireza Dorfard
Referent: Alireza Dorfard
Seminar über Wahrscheinlichkeitstheorie: „Bäume, Netzwerke und Zufall“
Dozenten: Prof. Dr. Wakolbinger, Prof. Dr. Geiger
Vortrag: Nr.7 (01.06.2005)
Vergleich von Netzwerken
Ziel: Durch den Vergleich von Netzwerken (NW) können wir Aussagen über den Typ (Transienz bzw.
Rekurrenz) eines NW treffen. Wir nutzen dies, um einen weiteren Beweis von Polyas Theorem zu liefern und
zeigen darüber hinaus, dass auch relativ drastische Veränderungen eines NW den Typ nicht verändern.
Wir betrachten unendliche, zusammenhängende Netzwerke und werden von nun an die Widerstände auf den
Kanten eines Graphen als die Länge der Kanten ansehen.
Definition 1: Seien G(V,E) und G`(V`,E`) zwei Netzwerke mit Widerständen r und r`. Wir nennen eine
Abbildung ϕ : V → V` eine grobe Einbettung, wenn Konstanten α,β < ∞ existieren und eine Abbildung Φ
auf den Kanten in G definiert ist, so dass
1) für jede Kante < x,y >∈ G ein nicht-leerer gerichteter Pfad Φ (< x,y >) aus Kanten in G` existiert, der
ϕ(x) und ϕ(y) in G` verbindet und für den gilt
∑
e`∈Φ< x,y >
r`(e`) ≤ αr(x,y)
2) für jede Kante e` ∈ G` nicht mehr als β Kanten in G existieren, deren Bild unter Φ e` enthält.
Definition 2: Zwei Netzwerke sind grob äquivalent, wenn sie grob ineinander eingebettet werden können.
Satz 1: Seien G und G` zwei zusammenhängende Netzwerke. Ist G grob in G` einbettbar und ist G
transient, dann ist auch G` transient. Insbesondere gilt: Sind G und G`grob äquivalent, dann ist G genau
dann transient (rekurrent), wenn G` transient (rekurrent) ist.
Definition 3: Für ein k ∈ ` definieren wir den k-Fuzz G k eines
Netzwerkes G, indem wir Kanten < x,y > in G k erschaffen, wenn
es in G möglich ist, in höchstens k Schritten von x nach y zu gelangen.
Bsp: ]12
Bsp: ] 22
Satz 2: Der k-Fuzz ] dk von ] d und ] d selbst sind ∀ k ∈ ` grob äquivalent.
Wir beweisen nun Polyas Theorem für d=3. Hierzu beweisen wir die Transienz des Gitters BCC, dass aus drei
unabh. 1-dim. sym. Irrfahrten resultiert. Dann betten wir BCC trivial ( α = 1, β = 1 ) in den 3-Fuzz ]33 von
]3 ein. Nach Satz 1 ist damit der 3-Fuzz ]33 von ]3 transient. Daraus folgt nach Satz 2 die Transienz von ]3 .
Definition 4: Ein Netzwerk G kann im \ d auf zivilisierte Weise gezeichnet werden, wenn die Knoten des
Graphen so in den \ d eingebettet werden können, dass für konstante r,s ∈ \ die Länge der Kanten von G ≤ r
ist und der Abstand zweier Knoten in G ≥ s ist.
Satz 3: Sei G ein Netzwerk, welches im \ d auf zivilisierte Weise gezeichnet werden kann, dann kann G
grob in ] d eingebettet werden.