Pflicht- und Wahlteilaufgaben Trigonometrie - Mathe

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Pflicht- und Wahlteilaufgaben Trigonometrie - Mathe
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Mathematik - Oberstufe
Pflicht- /Wahlteilaufgaben und Musterlösungen
zu trigonometrischen Funktionen
Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium
Schwerpunkt: Ableitung, Gleichungen, Aufstellen von
trigonometrischen Funktionsgleichungen
Alexander Schwarz
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Letzte Aktualisierung: Februar 2011
Datei: Pflicht- und Wahlteilaufgaben Trigonometrie
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Pflichtteilaufgaben zu trigonometrischen Funktionen
Aufgabe 1:
Leite die folgenden Funktionen einmal ab:
a) f ( x ) = − sin( 4 x − 5) + cos( x ²)
c) f ( x ) = tan( x )
f ( x ) = − x 2 ⋅ cos( 2x )
f t ( x ) = sin( tx ) ⋅ cos( t ² x )
b)
d)
Aufgabe 2:
Vergleiche das Schaubild von f mit dem der Sinusfunktion g( x ) = sin( x ) .
c) f ( x ) = sin(2x − π )
a) f ( x ) = sin(2x )
b) f ( x ) = sin(2( x − π ))
d) f ( x ) = 3 sin( x )
e) f ( x ) = sin( x ) − 2
f) f ( x ) = 4 ⋅ sin( x ) + 4
Aufgabe 3:
Skizziere die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
1
3
a) f ( x ) = 2 ⋅ sin( x ) − 1
b) f ( x ) = − ⋅ cos( x ) + 1
2
2
c) f ( x ) = 2 ⋅ sin( 2x − 2π )
Aufgabe 4:
Gib zu den folgenden Schaubildern mögliche Funktionsterme einer allgemeinen
Sinusfunktion [Kosinusfunktion] an.
Aufgabe 5:
Gib zu der Funktion f ( x ) = sin( 2x − π ) eine Stammfunktion F(x) an, die den Punkt P( π /5)
enthält.
Aufgabe 6:
Löse die folgenden trigonometrischen Gleichungen mit D = R und D = [ − π ;π ].
a) cos(2 x ) = 0
b) sin 2 ( x ) + sin( x ) − 2 = 0
2
c) cos( x ) =
1
2
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Wahlteilaufgaben zu trigonometrischen Funktionen
Aufgabe 7:
Die Temperaturschwankungen in Grad Celsius innerhalb eines Tages können durch die
π

Funktion T( x ) = 5,2 ⋅ sin ⋅ x  ; x in Stunden, beschrieben werden. Dabei entspricht x = 0
12


der Tageszeit 08.00 Uhr.
a) Welche Temperatur herrschte um 14 Uhr ? Zu welchen Uhrzeiten lag die Temperatur bei
etwa -2 °C ?
b) Wie hoch war die Durchschnittstemperatur an diesem Tag ?
Aufgabe 8:
Die Pegelstände in Wertheim beim Hochwasser des Mains Anfang Januar 2003 können
näherungsweise durch eine trigonometrische Funktion beschrieben werden.
Auf den Höchststand von 6,07 Meter am 4.Januar um 8.00 Uhr folgte der nächste
Tiefststand von 5,48 Meter am 5. Januar um 15.00 Uhr.
Skizziere den Verlauf des Pegelstandes im angegebenen Zeitraum.
Ermittle einen Term der Funktion.
Welchen Pegelstand hatte demnach der Main in Wertheim am 6.Januar 2003 um 12.00 Uhr
?
Bestimme den mittleren Pegelstand für den 4.Januar zwischen 0.00 Uhr und 24.00 Uhr.
Aufgabe 9:
Der Wasserstand h (in m) bei Spiekeroog an der Nordseeküste schwankt zwischen 1 m bei
Niedrigwasser und etwa 3 m bei Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t (in
Stunden nach Niedrigwasser) modellhaft beschreiben durch
1

h( t ) = a + b ⋅ cos π ⋅ t 
6

a) Bestimme die Parameter a und b. Skizziere den Graphen von h.
b) Wie lange liegt der Wasserpegel unter 1,5 m ?
c) Wie viel Zentimeter je Minute steigt das Wasser maximal ?
d) Überprüfe die Richtigkeit der Faustregel: Der Wasserstand steigt im zweiten Drittel der
Zeitspanne zwischen Niedrig- und Hochwasser um die Hälfte der Gesamtzunahme.
3
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Lösungen Pflichtteilaufgaben zu trigonometrischen Funktionen
Aufgabe 1:
a) f ′( x ) = − cos( 4 x − 5) ⋅ 4 − sin( x 2 ) ⋅ 2x = −2 ⋅ (2 ⋅ cos( 4 x − 5) + x ⋅ sin( x 2 ))
b) f ′( x ) = −2x ⋅ cos(2x ) − x 2 ⋅ ( − sin(2x )) ⋅ 2 = 2x ⋅ ( − cos(2x ) + x ⋅ sin(2x ))
sin( x )
c) f ( x ) = tan( x ) =
cos( x )
cos( x ) ⋅ cos( x ) − sin( x ) ⋅ ( − sin( x )) cos ²( x ) + sin ²( x )
1
⇒ f ′( x ) =
=
=
2
cos ²( x )
cos ²( x )
(cos( x ))
d) f t′( x ) = cos( tx ) ⋅ t ⋅ cos( t 2 x ) + sin( tx ) ⋅ ( − sin( t 2 x )) ⋅ t 2
Aufgabe 2:
2π
=π .
2
2π
= π und ist um π nach rechts verschoben.
b) Das Schaubild besitzt die neue Periode
2
π
2π
c) Es gilt f ( x ) = sin(2( x − )) . Das Schaubild besitzt die neue Periode
= π und ist um
2
2
a) Das Schaubild besitzt die neue Periode
π
nach rechts verschoben.
2
d) Das Schaubild besitzt die Amplitude a = 3 (also um 3 in y-Richtung gestreckt).
e) Das Schaubild ist um 2 Einheiten nach unten verschoben.
f) Das Schaubild bestitz die Amplitude a = 4 (also um 4 in y-Richtung gestreckt) und ist um
4 Einheiten nach oben verschoben.
Aufgabe 3:
a) Schaubild besitzt Amplitude 2, ist um 1 nach unten verschoben und besitzt die Periode
2π 2π
p=
=
= 4π .
1
b
2
b) Schaubild besitzt Amplitude
3
. Das negative Vorzeichen der Amplitude bedeutet
2
anschaulich, dass das Schaubild noch zusätzlich an der x-Achse gespiegelt wird.
Das Schaubild ist um 1 nach oben verschoben.
4
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c) f ( x ) = 2 ⋅ sin(2 ⋅ ( x − π ))
Amplitude ist 2, die Periode ist π und das Schaubild ist um π nach rechts verschoben.
Aufgabe 4:
Für die Schaubilder gibt es folgende Funktionsansätze:
y = a ⋅ sin(b ⋅ ( x − c )) + d bzw. y = a ⋅ cos(b ⋅ ( x − c )) + d
a) Amplitude a = 2
keine Verschiebung nach oben/unten, also d = 0
2π
Periode = π , also π =
⇒b=2
b
bei Kosinusfunktion: keine Verschiebung links/rechts, also c = 0
bei Sinusfunktion: Verschiebung um
π
4
nach links.
Ansatz: y = 2 ⋅ cos( 2x ) oder y = 2 ⋅ sin( 2( x +
π
4
))
b) Amplitude a = 2
Verschiebung um 1 nach unten, also d = -1
2π
Periode = π , also π =
⇒b=2
b
bei Kosinusfunktion: Verschiebung um
bei Sinusfunktion: Verschiebung um
Ansatz: y = 2 ⋅ cos(2( x −
π
8
π
8
π
8
nach rechts
nach links
)) − 1 bzw. y = 2 ⋅ sin( 2( x +
5
π
8
)) − 1
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1
3
keine Verschiebung nach oben/unten, also d = 0
2π
1
Periode = 6π , also 6π =
⇒b=
b
3
3
bei Kosinusfunktion: Verschiebung um π nach links
2
bei Sinusfunktion: Verschiebung um 3π nach links
1
1
3
1
1
Ansatz: y = cos( ( x + π )) bzw. y = sin( ( x + 3π ))
3
3
2
3
3
c) Amplitude a =
d) Amplitude a = 4
Verschiebung um 1 nach oben, also d = 1
2π
1
Periode = 4π , also 4π =
⇒b=
b
2
2
bei Kosinusfunktion: Verschiebung um π nach links
3
5
bei Sinusfunktion: Verschiebung um π nach links
3
1
2
1
5
Ansatz: y = 4 ⋅ cos( (x + π)) + 1 bzw. y = 4 ⋅ sin( ( x − π )) + 1
2
3
2
3
Aufgabe 5:
F( x ) = − cos(2x − π ) ⋅
1
+C
2
Nun muss C so gewählt werden, dass F(π ) = 5 gilt: F(π ) = − cos(π ) ⋅
also C = 4,5 und somit F( x ) = − cos( 2x − π ) ⋅
1
1
+C= +C=5
2
2
1
+ 4,5 .
2
Aufgabe 6:
a) cos( 2x ) = 0 . Substituiere u = 2x.
cos(u) = 0 ⇒ u =
π
2
+ k ⋅ π mit k ∈ Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,…}
Rücksubstitution: 2x =
π
2
+ k ⋅π ⇒ x =
π
4
+k⋅
π
2
ist die Lösung für D = R
Lösung für D = [ − π ;π ]:
Welche Werte können für k eingesetzt werden, damit x in die Definitionsmenge fällt ?
k = 0: x =
π
4
k = 1: x =
3
π
4
k = -1: x = −
π
4
k = -2: x = −
3
π
4
also insgesamt 4 Lösungen.
b) sin 2 ( x ) + sin( x ) − 2 = 0 . Substituiere u = sin(x).
u 2 + u − 2 = 0 ⇒ u1,2 =
− 1± 1+ 8 − 1± 3
=
, also u1 = 1 und u 2 = −2
2
2
Rücksubstitution: 1 = sin( x ) ⇒ x =
π
2
+ k ⋅ 2π mit k ∈ Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,…}
6
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− 2 = sin( x ) liefert keine Lösung
Also x =
π
2
+ k ⋅ 2π mit k ∈ Z ist Lösung für D = R.
Lösung für D = [ − π ;π ]: k = 0: x =
2
ist einzige Lösung.
π
1
1
2 1
=
=
= ⋅ 2 ⇒ x1 =
2
2
2
4
2
c) cos( x ) =
x 1,alle =
π
π
4
+ k ⋅ 2π mit k ∈ Z
x 2 = 2π − x 1 =
7
7
π ⇒ x 2,alle = π + k ⋅ 2π mit k ∈ Z
4
4
x 1,alle und x 2,alle sind Lösungen für D = R.
Lösung für D = [ − π ;π ]: Aus x 1,alle : x =
π
4
Aus x 2,alle : x = −
für k = 0.
π
4
für k = -1.
Lösung Wahlteilaufgaben zu trigonometrische Funktionen
Aufgabe 7:
π

a) Temperatur um 14 Uhr: T(6) = 5,2 ⋅ sin ⋅ 6  = 5,2 °C
 12 
π

Uhrzeit mit -2°C: − 2 = 5,2 ⋅ sin ⋅ x 
 12 
Lösung der Gleichung mit dem GTR:
Nach 13,5 Stunden, also um 22.30 Uhr sowie nach 22,5 Stunden, also um 6.30 Uhr
beträgt die Temperatur -2°C.
24
1
b) Durchschnittstemperatur:
⋅ T( x )dx = 0 °C (GTR).
24 − 0 0
∫
Aufgabe 8:
Die aufzustellende Funktion beginnt bei t = 0 (4.Januar, 8.00 Uhr) im Hochpunkt HP(0/6,07).
t sei die Zeit in Stunden.
Der nächste Tiefpunkt liegt bei t = 31 mit TP(31/5,48).
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6,07 + 5,48
= 5,775 .
2
Um diesen Wert ist die Funktion nach oben verschoben.
Die Amplitude beträgt a = 6,07 − 5,775 = 0,295 .
Die Periode beträgt 62 (doppelte Entfernung vom Hochpunkt zum Tiefpunkt).
2π
π
Damit gilt 62 =
⇒b=
b
31
Die Mittellinie der trigonometrischen Funktion liegt bei
Da das Schaubild auf der y-Achse im Hochpunkt beginnt, sollte eine Kosinusfunktion
aufgestellt werden:
Ansatz: f ( t ) = a ⋅ cos(b ⋅ ( t + c )) + d
π 
f ( t ) = 0,295 ⋅ cos ⋅ t  + 5,775
 31 
Pegelstand am 6.Januar 2003 um 12.00 Uhr:
π

Dies entspricht dem Zeitpunkt t = 52: f (52) = 0,295 ⋅ cos ⋅ 52  + 5,775 = 5,93 Meter
31


Mittlerer Pegelstand für 4.Januar zwischen 0.00 Uhr und 24.00 Uhr:
24
1
⋅ f ( t )dt = 5,98 Meter
16 − ( −8) −8
∫
Aufgabe 9:
1+ 3
= 2 Meter. Das heißt, dass das Schaubild um 2
2
Einheiten nach oben verschoben wurde, also a = 2.
Die Amplitude ist der Abstand vom Hochpunkt bzw. Tiefpunkt von der Mittellinie, also
b = 1 . Nun ist die Frage, ob b = 1 oder b = -1 gilt.
a) Die Mittellinie der Funktion liegt bei
Da an der Stelle t = 0 ein Tiefpunkt der Funktion vorliegen soll (t in Stunden nach
Niedrigwasser), muss b = -1 sein.
1

h( t ) = 2 − cos π ⋅ t 
6


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Skizze:
b) Innerhalb von 24 Stunden wird der Wasserpegel von 1,5m überschritten im Zeitintervall
[2;10] und im Intervall [14;22]. Also ist er unterhalb im Intervall [0;2] und [10;14] und
[22;24], also insgesamt 8 Stunden.
c) Der Punkt des maximalen Anstiegs je Minute entspricht dem Wendepunkt des
Schaubildes.
An der Stelle t = 15 ist der Anstieg z.B. maximal, d.h. bei t = 15 besitzt das Schaubild von
h einen Wendepunkt. Die maximale Steigung ist gemäß GTR 0,524.
Somit kann das Wasser maximal 0,524 m = 52,4 cm je Minute wachsen.
d) Niedrigwasser bei t = 0 , Hochwasser bei t = 6.
Das zweite Drittel dieser Zeitspanne wäre das Intervall [2;4].
Es gilt: h( 4) − h(2) = 2,5 − 1,5 = 1 Meter.
Die Gesamtzunahme zwischen Niedrig- und Hochwasser beträgt 2 m.
Da 1 Meter die Hälfte der Gesamtzunahme ist, ist die Faustregel korrekt.
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