4.2. Kombinatorik (Test)

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4.2. Kombinatorik (Test)
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
4.2. Kombinatorik (Test)
1. Wie viele Halsketten kann man
a) aus 5 kleinen und 2 grossen Perlen
b) aus 7 verschiedenen Perlen machen?
2. Ermittle die Anzahl der durch 6 teilbaren sechstelligen Zahlen, die man aus den Ziffern 0,
1, 2, 3, 4, 5 bilden kann. Keine Ziffer darf mehrmals vorkommen.
3. Auf wie viele Arten kann man 20 verschiede Bücher auf ein Büchergestell mit 5 Regalen
verteilen?
4. Der Dompteur möchte 5 Löwen und 4 Tiger in die Manege führen, aber 2 Tiger dürfen
nicht nacheinander kommen. Auf wie viele Arten können die Tiere in eine Reihe gesetzt
werden? (Die Löwen und die Tiger sind unterscheidbar.)
5. In einer WG wohnen 3 Studenten. Sie haben insgesamt 4 Tassen, 5 Untertassen und 6
Teelöffel ( alle sind verschieden). Auf wie viele Arten können sie tischen, wenn jeder
Student je eine Tasse, eine Untertasse und einen Löffel erhält?
6. Auf wie viele Arten kann man 2 rote, 3 weisse und 4 blaue Kugeln in eine Reihe setzen,
so dass die rote Kugel nicht neben der weissen ist?
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
Lösungen
1. a.) Die Form der Halskette wird eindeutig von der Anzahl der kleinen Perlen zwischen
den grossen bestimmt; es gibt also nur 3 mögliche Halsketten.
7!
b.)
= 360. (Spiegelungen!)
14
2. Die Summe der gegebenen Ziffern ist 15, somit sind alle mit diesen Ziffern gebildeten
geraden Zahlen durch 6 teilbar. Letzte Ziffer 0: P5 = 5!= 120 ; letzte 2 bzw. 4:
4 ⋅ 4!⋅2 = 192.
Resultat: 120 + 192 = 312.
3.
P24, 4 =
24!
4!
4. Die 5 Löwen können sich auf P5 = 5!= 120 Arten in einer Reihe setzen. Zwischen
ihnen bzw. vorne und hinten gibt es insgesamt 6 leere Plätze für die Tiger. Weil die
Reihenfolge berücksichtigt werden muss: V6, 4 = 360.
Insgesamt gibt es also 120 ⋅ 360 = 43200 Möglichkeiten.
5. V4,3 ⋅ V5,3 ⋅ V6,3 = 172800 .
6. Wir setzen die roten und die blauen Kugeln.
Fall 1.: Die zwei roten Kugeln sind nebeneinander (5 Möglichkeiten). Von 7 Plätzen
können wir auf 3 keine weissen Kugeln setzen; die restlichen 4 Plätze ermöglichen
⎛ 4 + 3 − 1⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 20 Möglichkeiten. Es gibt also 5 ⋅ 20 = 100 Möglichkeiten.
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠
Fall 2: Die zwei roten Kugeln sind nicht nebeneinander (10 Möglichkeiten). In diesem
Fall kann man von 7 Plätzen auf 4 keine weissen Kugeln setzen; es bleiben
⎛ 3 + 3 − 1⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 10 Möglichkeiten.
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠
Hier gibt es 10 ⋅ 10 = 100 Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es (Fall 1. und 2.) 100 + 100 = 200 Möglichkeiten.