Vorlesung 13 - Hochschule Bochum

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Vorlesung 13 - Hochschule Bochum
Vorlesung 13
Die Frequenzkennlinien / Frequenzgang
Frequenzkennlinien geben das Antwortverhalten eines linearen Systems auf eine
harmonische (sinusförmige) Anregung in Verstärkung (Amplitude) und
Phasenverschiebung (Phase) an.
Beispiel in Winfact:
PT1-System
Sprungantwort
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1
Vorlesung 13
Eingangssignal und Ausgangssignal unterscheiden sich voneinander abhängig von
der Schwingungsfrequenz.
1 1/sec
5 1/sec
20 1/sec
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2
Vorlesung 13
Eingangssignal
∧
X e (t ) = X e sin(ωt )
und Ausgangssignal
∧
X a (t ) = X a (ω ) sin(ωt + α (ω ))
unterscheiden sich voneinander durch Amplitude und Phasenverschiebung.
π/2
π
3π/2
2π
Einschwingphase
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Messphase
3
Vorlesung 13
Messung von Amplitudenverhältnis
und Phasenverschiebung.
A(ω ) =
α (ω )
∧
Xe
∧
Xa
∧
Xe
∧
Xa
α
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4
Vorlesung 13
Amplitudenverhältnis
Phasenverschiebung
∧
A=
Xa
∧
=1
ω= 1 1/sec
α
=-3°
Xe
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5
Vorlesung 13
Amplitudenverhältnis
Phasenverschiebung
∧
A=
Xa
∧
=0.9
ω= 5 1/sec
α
=-25°
Xe
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6
Vorlesung 13
Amplitudenverhältnis
Phasenverschiebung
∧
A=
Xa
∧
=0.4
ω= 20 1/sec
α
=-66°
Xe
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Vorlesung 13
Ergebnis aus der Frequenzgangmessung:
System
∧
∧
X e (t ) = X e sin(ωt )
X a (t ) = X a (ω ) sin(ωt + α (ω ))
Tabelle
Kreisfrequenz
Amplitudenverhältnis A
Phasenverschiebung α
1 1/s
5 1/s
20 1/s
...
1
0.9
0.4
-3°
-25°
-63
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8
Vorlesung 13
Die grafische Darstellung der Frequenzgangmessung erfolgt im Bode-Diagramm
über der Kreisfrequenz ω:
∧
der Amplitudenwert
A=
Xa
∧
die Phasenverschiebung
α
Xe
wird logarithmisch in Dezibel aufgetragen,
d.h.
wird in Grad aufgetragen.
G / dB = 20 log10 A
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∠G / o = α
9
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Messwerte werden über der Kreisfrequenz aufgetragen
X
X
X
Messwerte des
Amplitudenverlauf
X
X
Messwerte des
Phasenverlauf
X
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10
Vorlesung 13
Und zu einer Linie interpoliert
X
X
X
Messwerte des
Amplitudenverlauf
X
X
Messwerte des
Phasenverlauf
X
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11
Vorlesung 13
Zusammenhang zwischen Übertragungsfunktion und Frequenzgang
Wird in der Übertragungsfunktion G(s) die komplexe Variable S durch die
Harmonische Variable iω ersetzt, so ergibt sich der Frequenzgang F(iω) rein
rechnerisch, d.h. das Bode-Diagramm des Systems kann auch rechnerisch aus der
Übertragungsfunktion bestimmt werden!
Der Frequenzgang F(iω) läßt sich zerlegen in Realteil und Imaginärteil
F(iω)= Re (F(iω) + i * Im (F(iω))
und mit den Beziehungen für Amplitude
A = F (iω ) = Re 2 ( F (iω )) + Im 2 ( F (iω ))
und Phase
α (ω ) = ∠F (iω ) = arctan
Im( F (iω ))
Re( F (iω ))
für das Bodediagramm errechnen.
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12
Vorlesung 13
1
G (s ) =
1+ T * S
Beispiel für PT1-Übertragungsfunktion
F (iω ) =
F (iω ) =
(1 − T * iω )
1
=
1 + T * iω (1 + T * iω ) * (1 − T * iω )
1
1 + T 2 *ω 2
Re(F (iω )) =
−i*
T *ω
1 + T 2 *ω 2
1
1 + T 2 *ω 2
Im(F (iω )) = −
T *ω
1 + T 2 *ω 2
A = F (iω ) = Re 2 ( F (iω )) + Im 2 ( F (iω )) =
α (ω ) = ∠F (iω ) = arctan
1
1 + ω 2T 2
Im( F (iω ))
= arctan(−ωT )
Re( F (iω ))
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13
Vorlesung 13
Der Amplitudengang der Frequenzkennlinien kann dann asymptotisch konstruiert
werden, indem die Verstärkung in Dezibel und die Eckfrequenz mit ωE=1/T
eingetragen wird und die Steigungen ein Vielfaches von +-20dB/ ω-Dekade
konstruiert wird. Beispiel:
0.5
Gs =
PT1
()
1 + 0.1sec * S
Steigung
- 20dB/Dek
ωE=1/T=10 1/s
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Vorlesung 13
Der Phasengang der Frequenzkennlinien kann asymptotisch konstruiert werden,
indem eine Dekade vor/hinter der Eckfrequenz mit ωE=1/T ein Knick mit der
Steigungen ein Vielfaches von +-45°/ ω-Dekade konstruiert wird. Beispiel:
PT1
0.5
G (s ) =
1 + 0.1sec * S
Steigung
- -45°/Dek
ωE=1/T=10 1/s
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Vorlesung 13
Vergleich angenähert, berechnet und gemessen PT1-Frequenzgang
X
X
X
Messwerte des
Amplitudenverlauf
X
X
Messwerte des
Phasenverlauf
ωE=1/T=10 1/s
X
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Übersicht Regelkreisglieder
PT1
Kp
G ( S ) = Kp (
Steigung
- 20dB/Dek
1
)
1 + TS
ωE=1/T
Steigung
- -45°/Dek
ωE=1/T
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Übersicht Regelkreisglieder
PT2
Steigung
- 40dB/Dek
Kp
G (S ) =
Kp
1 + 2 DT S + T 2 S 2
ωE=1/T
Steigung
- -90°/Dek
ωE=1/T
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Übersicht Regelkreisglieder
I
Steigung
- 20dB/Dek
G (S ) =
KI
S
ωE=Ki
Steigung
0°/Dek
Constant -90°
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Übersicht Regelkreisglieder
D
Steigung
+ 20dB/Dek
GStrecke ( S ) = TD S
ωE=1/TD
Steigung
0°/Dek
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Constant 90°
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Vorlesung 13
Übersicht Regelkreisglieder
PD1
Kp
ωE=1/T
Steigung
+ 20dB/Dek
GStrecke ( S ) = Kp (1 + TS )
Steigung
45°/Dek
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21
Vorlesung 13
Anmerkungen:
• Amplituden- und Phasenverläufe können wegen des logarithmischen
Massstab im Bodediagramm addiert werden, so dass eine Konstruktion
von Hand möglich ist.
• Für Glieder 1. Ordnung zeigt der tatsächliche Amplitudengang an der
Stelle 1/T (Eckfrequenz) eine Abweichung von 3 dB.
• Für Glieder 2. Ordnung zeigt der tatsächliche Amplitudengang an der
Stelle 1/T (Eckfrequenz) eine von der Dämpfung D abhängige
Abweichung (s. Literatur).
• Bei kleiner Dämpfung (D<1) kommt es beim PT2-Glied dort zur sog.
Resonanzüberhöhung, d.h. bei Anregung mít der Eckfrequenz tritt
Resonanz auf.
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Vorlesung 13
Stabilität nach dem Nyquist-Kriterium im Bode-Diagramm
Wenn ein nicht rückgekoppeltes Regelsystem bei einer bestimmten
Anregungsfrequenz die Verstärkung 1.0, aber eine Phasenverschiebung von -180
Grad aufweist, so könnte sich im Falle der Rückkopplung eine ebensolche
Sinusfrequenz selbständig aufrechterhalten, es wäre instabil.
•Der Punkt mit der Amplitude 1 und Phasenverschiebung -180 lässt sich im
Bodediagramm gut ermitteln. Er stellt den Grenzwert des stabilen Betriebs eines
Regelkreises dar.
•Im Fall kleinerer Amplitudenwerte bei einer Phasenverschiebung von -180 ist
Stabilität gegeben. Bei größeren Amplitudenwerten herrscht Instabilität. Der
Frequenzwert gibt lediglich die Frequenz der instabilen Schwingung ωkritisch an.
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Zustand der stabilen Dauerschwingung im Regelkreis
Xd
U
X
WINFACT
Startauslenkung
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24
Vorlesung 13
Wieso schwingt das?
Blick auf A(ω) und α (ω) der Strecke:
bei ωkrit ist A=0.2 =-12.7dB und α= -180°
Dummerweise hat der Regler eine Verstärkung von 5.0, so dass die
Gesamtverstärkung 1.0 ist.
Und die -180° verschobene Sinuswelle wird in der Rückführung
wieder umgedreht! =>selbstaufrechterhaltene Dauerschwingung
WINFACT
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Frequenzgang der Strecke:
-12,6dB
-180°
-12,6dB => Kps=10-0,63=0.23
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Vorlesung 13
Man definiert die Durchtrittskreisfrequenz ωD als die Frequenz, bei der der offene
Kreis genau die Verstärkung 1.0 hat;
nach Nyquist muss hier die Phasennacheilung kleiner als –180 Grad sein für Stabilität.
A(ω)
0
Durchtrittskreisfrequenz ϖD
Verstärkung 1.0
stabil, wenn
α< -180Grad
-180
α (ω)
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Den Abstand der Phasennacheilung bei ωD von -180° nennt man
Phasenreserve
A(ω)
Verstärkung 1.0
Phasenreserve
PhasenαR
reserve αR
α (ω)
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Vorlesung 13
Reglerentwurfskriterien im Frequenzgang:
•Meist wird eine Phasenreserve von αR=60° gefordert, was einem geringen
Überschwingen in der Zeitantwort entspricht.
Die Dämpfung zwischen D=0.4 – 0.7 entspricht einem Überschwingen von 5% - 25%
und zeigt im Frequenzgang eine Phasenreserve von 44° - 60°.
•Im Bereich um die Durchtrittskreisfrequenz sollte der Amplitudengang wie ein
Integralglied um -20db/Dek fallen.
•Die Durchtrittskreisfrequenz ϖD kann durch Anheben und Absenken des
Amplitudengang beeinflußt werden und bestimmt die Eigenschwingungsfrequenz des
späteren Regelkreises.
Die Übergangszeit Tg der Regelkreissprungantwort hängt näherungsweise reziprok
mit der Durchtrittskreisfrequenz zusammen:
Tg ~ 1.4/ϖD
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Vorlesung 13
Reglerentwurf im Frequenzgang, Beispiel:
Aufgabenstellung:
Gegeben ist eine Regelstrecke aus drei PT1-Gliedern mit der Zeitkonstante
0.2 sec und der Verstärkung 1.3.
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30
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Reglerentwurf im Frequenzgang, Beispiel:
Aufgabenstellung:
Gegeben ist eine Regelstrecke aus drei PT1-Gliedern mit der Zeitkonstante
0.2 sec und der Verstärkung 1.3. Sie soll mit einem PID-Regler geregelt
werden, wobei eine Phasenreserve von αR=60° bei einer
Durchtrittskreisfrequenz von ϖD=5 1/s gefordert wird.
αR
ωD
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Vorlesung 13
Reglerentwurf im Frequenzgang, Beispiel:
Aufgabenstellung:
Suchen Sie die passende Einstellung für die Reglerparameter Kpr, Tn und
Tv, wobei die Verzögerung des D-Anteil bei 0.1 Tv liegen soll!
Einstellung?
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32
Vorlesung 13
Beispiel: Vorgehensweise
• 1 Struktur zur Messung des Frequenzgang aufbauen
Rückkopplung rauslassen
• Regler auf P-Stellen mit KPR=1,
• im FRQ-Messblock die Streckenordnung einstellen,
Frequenzgang plotten
• 2 bei ϖD=5 1/s die Phasenreserve αR messen
• 3 im PID-Regler I-Anteil einschalten, TN so einstellen, dass Beule aus dem
Amplitudenverlauf und im Bereich ωD der Verlauf -20dB fällt (FRQ)
• 4 im PID Regler TV einstellen, Faustregel: TV~1/ωD und Tverz~0.1*TV
Werte variieren, bis αR annähernd passt (immer wieder FRQ messen)
• 5 Abschliessend Kpso einstellen, dass bei ωD der Amplitudenwert = 0dB
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Vorlesung 13
Beispiel:
1 Struktur zur Messung des Frequenzgang aufbauen, Rückkopplung
rauslassen, Regler auf P-Stellen mit KPR=1, im FRQ-Messblock die
Streckenordnung einstellen, Frequenzgang plotten
WINFACT
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Vorlesung 13
Beispiel:
2 bei ϖD=5 1/s die Phasenreserve αR messen
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35
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Beispiel:
3 im PID-Regler I-Anteil einschalten, TN so einstellen, dass Beule aus dem
Amplitudenverlauf und im Bereich ωD der Verlauf -20dB fällt (FRQ)
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Vorlesung 13
Beispiel:
4 im PID Regler TV einstellen, Faustregel: TV~1/ωD und Tverz~0.1*TV
Werte variieren, bis αR annähernd passt (immer wieder FRQ messen)
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Vorlesung 13
Beispiel:
5 Abschliessend Kpso einstellen, dass bei ωD der Amplitudenwert = 0dB
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38
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Beispiel: Ergebnis
Regelkreis schliessen
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Beispiel: Ergebnis
FRQ-Block auf STEP RESPONSE und simulieren
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40
Vorlesung 13
Konstruktion von Frequenzkennlinien im Bode-Diagramm
•Ausgangspunkt ist die Übertragungsfunktion
•Es gibt nur wenige Konstruktionsmodule (P,PT1, PT2, PD1, PD2, I, D)
•Die Übertragungsfunktion wird in die Konstruktionsmodule zerlegt; die
Gesamtverstärkung wird in das P-Glied gelegt, die anderen Elemente
haben die Verstärkung 1
•Im logarithmischen Massstab können die Amplitudenverläufe ebenso wie
die Phasenverläufe addiert werden
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41
Vorlesung 13
Kombination von Übertragungsfunktionselementen zum Frequenzgang
1. P-System
P
PT1
1
(1 + 2S )(1 + 1S + S 2 )
1
1
= 0.5
1 + 2 S 1 + 2 * 0.5 *1S + 1S 2
=P
PT 1
PT 2
G ( S ) = 0.5
ωE=1/2
ωE=1/1
PT2
P
-40
PT1
-80
PT2
-120
-160
-200
bis -270°
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42
Vorlesung 13
Kombination von Übertragungsfunktionselementen zum Frequenzgang
2. I-System
PT1
P
1
G ( S ) = 0.2
(1 + 5S ) S
1
1
= 0.2
1 + 5S S
=P
PT 1
I
I
ωE=1/5
P
PT1
I
-40
-80
-120
-160
-200
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43
Vorlesung 13
Kombination von Übertragungsfunktionselementen zum Frequenzgang
3. PI-Regler
40
20
G(S ) = 2
2
=
4
=P
1 + 4S
4S
PD1
0
1
S
(1 + 4 S )
PD1
P
I
-20
I
-40
ωE=1/4
80
40
PD1
0
P
-40
I
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-80
44
Vorlesung 13
D
Übung: Reglerentwurf im Frequenzgang
Der gegebene Frequenzgang
des offenen Regelkreises soll
die Phasenreserve αR =50°
haben.
1. Ermitteln Sie die Durchtrittsfrequenz ϖD und die dafür
notwendige Amplitudenanhebung A?
2. Rechnen Sie die Anhebung A
in die Reglerverstärkung Kpr
umr!
3. Wie groß ist dann die Anregelzeit des Regelkreis?
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45
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D
Übung: Frequenzgang PI/PT1-System
40
1 + 2S
0.5
G(S ) = 1
*
2S
1 + 0.3S
= ( PI − Re gler ) ( PT1 − Strecke)
20
0
-20
-40
90
45
0
-45
-90
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Vorlesung 13
Ergebnis:
40
1 + 2S
0.5
*
G(S ) = 1
2S
1 + 0.3S
= ( PI − Re gler ) ( PT1 − Strecke)
20
0
-20
0.5
1
1
(1 + 2S )
2
S 1 + 0.3S
1
1
= 0.25 (1 + 2 S )
S 1 + 0.3S
=
-40
90
45
0
-45
-90
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