vince carter

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vince carter
Klausur zur Vorlesung
Dienstag 10.2.2009
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9 Rotation
1
Bogenmaß und Raumwinkel
Zweidimensional
l = r ⇒ Θ = 1 rad
360°
1 rad =
≈ 57.3°
2π
1 rad = 0.159 rev
1° = 0.175 rad
l
r
Θ
Dreidimensional
Oberfläche der Einheitskugel
4πr ² = 4π ⋅1² = 12.57
Eine Verschiebung entgegen
dem Uhrzeigersinn ist positiv,
eine im Uhrzeigersinn
negativ
dimensionslose Einheit
Steradian (sr)
2
Winkelgeschwindigkeit
Θ, t
ΔΘ
Θ 0 ,t0
Δt = t − t0
ΔΘ = Θ − Θ 0
mittlere Winkelgeschwindigkeit
ΔΘ
ω=
Δt
instantane Winkelgeschwindigkeit
ωFerrari = ωPink Panther
Da die
Winkelgeschwindigkeit
über die Änderung des
Winkels bestimmt wird
rotiert jeder Punkt auf
dem Rad mit derselben
Winkelgeschwindigkeit!
ΔΘ d
ω = lim
= Θ
Δt →0 Δt
dt
Einheit der Winkelgeschwindigkeit
[rad/s]
3
Winkelgeschwindigkeit
Zusammenhang zur linearen Geschwindigkeit
r
r
v
ω
Δl
ΔΘ
Definition
P
ω=
r
dΘ &
=Θ
dt
O
x
Obwohl Winkelgeschwindigkeit für jeden
Punkt auf dem Rad identisch ist, ändert sich
die lineare Geschwindigkeit mit dem
Abstand zum Zentrum.
Das bestätigt unsere tägliche Erfahrung!
l = Θr
Δl rΔΘ
=
v=
Δt
Δt
dl
ΔΘ Δt →0 dΘ
&
v= =r
→r
= rΘ
dt
dt
Δt
v = rω
ω in Einheiten von rad
4
Graphische Darstellung
Winkel
Θ(t)
Winkelgeschwindigkeit
ω(t)
Rotation im Uhrzeigersinn
ω>0
Drehung im
Uhrzeigersinn
Zeit t
Θ(t ) = −1.0 − 0.6t + 0.25t ²
Zeit t
ω <0
Drehung entgegen
dem Uhrzeigersinn
5
Winkelbeschleunigung
konstant
ω, t
ω0 ,t0
Δt = t − t0
Δω = ω − ω0
mittlere Winkelbeschleunigung
Δω
αR =
Δt
Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der
Winkelgeschwindigkeit definiert ist, erfährt jeder
Punkt auf dem Rad derselbe Winkelbeschleunigung
instantane Winkelbeschleunigung
Δω d
α R = lim
= ω
Δt →0 Δt
dt
Einheit der Winkelbeschleunigung
[rad/s²]
6
Cargolifter
Justage des Schubs durch Änderung der
Rotationsgeschwindigkeit der Rotoren
7
α R konstant
Winkelbeschleunigung
Zusammenhang zur linearen Beschleunigung
tangentiale Komponente
a tan
atan
P
aR
Δv rΔω Δt →0 dω
=
=
⇒r
= rω&
Δt
Δt
dt
atan = rα R
Betrag der Geschwindigkeit ändert sich
O
radiale Komponente
Zentripedalbeschleunigung
v² (ωr )
= =
= ω ²r
r
r
2
arad
Richtung des Geschwindigkeitsvektor ändert sich
Definition
dω
= ω&
dt
2
&Θ& = d Θ = d ⎛⎜ dΘ ⎞⎟ = d ω = ω&
dt 2 dt ⎝ dt ⎠ dt
r
Vektoraddition
r
r
α R = atan + arad
Zentripedalbeschleunigung
wächst mit dem Abstand r zur
Drehachse
Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen
den Winkelgrößen und den linearen Größen an.
v = rω arad = ω ² r atan = rα R
8
Zusammenhang zu linearer Bewegung
gilt nur für konstante Winkelbeschleunigung
Lineare Bewegung
x − x0
v
t
a
v0
unbekannte
Variable
v = v 0 + at
x⇔Θ
v⇔ω
a ⇔α
Rotationsbewegung
ω = ω0 + α R t
Θ − Θ0
1
x − x0 = v 0t + at ²
2
v² = v 02 + 2a(x − x0 )
1
Θ − Θ 0 = ω0t + α R t ²
2
ω ² = ω02 + 2αΘ
ω
1
x − x0 = (v + v 0 )t
2
1
x − x0 = vt − at ²
2
v + v0
v=
2
1
(ω + ω0 )t
2
1
Θ − Θ 0 = ωt − α R t ²
2
ω + ω0
ω=
2
αR
v = v0
a=0
x = v 0t
v=v
Θ − Θ0 =
t
ω0
unbekannte
Variable
ohne Beweis
αR = 0
ω = ω0
Θ = ω0t
ω =ω
9
Anglerglück
Winkelbeschleunigung 100 rad/ s² für 2 Sekunden (Radius 50 mm)
Winkelgeschwindigkeit
ω = ω0 + α R t
Anzahl der Drehungen der Rolle
1
Θ = ω0 t + α R t 2
2
1⎛
rad ⎞
2
Θ = 0 + ⎜100
⎟(2 s ) = 200 rad
2⎝
s² ⎠
1 rev
Θ = 200 rad
= 31.8 rev
2π rad
50 mm
rad
⎛ 100 rad ⎞
⎟(2 s ) = 200
s
⎝ s² ⎠
ω = 0+⎜
Geschwindigkeit der Angelschnur
v = ωr
m
rad ⎞
⎛
v = (0.05 m )⎜ 200
⎟ = 10
s
s ⎠
⎝
10
Diskuswurf
Winkelbeschleunigung
rad
α R = 50
s²
r=80 cm
gewählte
Winkelgeschwindigkeit
rad
ω = 10
s
m
⎛ rad ⎞
atan = rα R = (0.8m )⎜ 50 2 ⎟ = 40
s
⎝ s ⎠
2
m
⎛ rad ⎞
(
)
arad = ω r = ⎜10
0.8m
=
80
⎟
s ⎠
s
⎝
m
2
2
α R = atan
+ arad
= 89 ≈ 10 g
s²
2
Diskobolos 450 v Chr.
11
Air Canada
Vince Carter‘s Windmill Slam Dunkies
270 Grad Rotation des Baseballs
0.14 s für
3/4 Rotation
Masse Baseball
0.624 kg
mittlere Geschwindigkeit des Baseballs
Armlänge
0.85 m
2π r
t
270° Rotation des Baseballs
2π (0.75)(0.85 m )
m
v 3/4 =
= 28.6
0.14 s
s
v=
Zentripedalbeschleunigung des Baseballs
2
Kraft, die Vince Carter aufbringen muss,
um den Baseball auf der Bahn zu halten
m⎞
⎛
Fc = (0.624 kg )⎜ 962.3 2 ⎟ = 600 N
s ⎠
⎝
arad
m⎞
⎛
28.6
⎜
⎟
m
v2 ⎝
s⎠
=
=
= 962.3 2 ≈ 10 g
r
s
0.85 m
12
13
Propellerdesign
Geschwindigkeit der Flügelspitzen maximal 300 m/s (90 % Schallgeschwindigkeit)
Winkelgeschwindigkeit
rev 2π rad 1 min
min rev 60 s
rad
ω = 250
s
ω = 2400
Beide Geschwindigkeitskomponenten
müssen vektoriell addiert werden
v
2
res
= v +v = v +r ω
2
F
2
P
2
F
2
max
2
⇓
m
m
− 75
v −v
s
s
rmax =
=
rad
ω
251
s
Maximaler Radius des Propellers rmax = 1.16 m
2
res
2
F
300
Beschleunigungswerte an der Flügelspitze
arad = ω 2 r
rad ⎞
⎛
arad = ⎜ 250
⎟
s
⎝
⎠
m
arad = 7.2 ⋅10 4
s²
2
(1.16 m )
⎛ F ⎞
⎜ = !⎟
⎝ m ⎠
leichtes, stark belastbares Material gefragt
z.B. Aluminiumlegierung
14
Informationspeicher
1
rev 2π rad
=
s
s
Frequenz
ω
f =
⇔ ω = 2πf
2π
1
T=
f
r=3 cm
ω = 2πf =
Einheit der Frequenz f
[1 Hz=1 rev/s=1s-1 ]
Periode
2π rad 7200 rev/min
rev
60s/min
rad
ω = 740
s
rad ⎞
m
⎛
v = rω = (0.03m )⎜ 740
⎟ = 22.2
s ⎠
s
⎝
2
Festplatte
3,5 Zoll (=88.9 mm)
7200 rev/s
Transfer 100 MB/s
rad ⎞
m
⎛
arad = rω ² = (0.03m )⎜ 740
=
16430
⎟
s ⎠
s²
⎝
Soviel Platz braucht eine
22.2m/s
Informationseinheit auf der
l Bit = 8
< 222 nm
Festplatte
10 bit/s
15
Rechte-Hand-Regel
Die Drehachse einer rotierenden Scheibe definiert einen Vektor ω,
der den Geschwindigkeitsvektor der Drehbewegung repräsentiert
diese Achse ist
ausgezeichnet
Rechte Hand
Regel
Richtung des
Drehrichtung
Geschwindigkeitsvektors
Die Länge von ω ist ein
Der Vektor zeigt nicht in Richtung der
Maß für die
Bewegung. Deshalb ist die Notation
Größenordnung der
etwas gewöhnungsbedürftig. Statt dessen Winkelgeschwindigkeit
rotiert der Körper um die Vektorachse.
Zeigt der Daumen der
rechten Hand in
Richtung von ω, dann
zeigen die Finger die
Drehrichtung an.
16
Sind die Winkelgrößen Vektoren?
r r
a +b
r r
b +a
Θ
r
O
x
Sowohl der Vektor der Winkelgeschwindigkeit (ω) als
auch der der Winkelbeschleunigung (α) erfüllen die
Regeln der Vektoraddition.
Richtung OK
r r r r
a + b =/ b + a
Betrag OK
Dies gilt nicht für den Winkel Θ!
17
Kinetische Energie der Rotation
Dieser Term gibt an, wie die Masse
des Rotationskörpers verteilt ist
Kinetische Energie der Translation
eines massiven Körpers
KEL =
n
1
2 Rotation
m
v
∑ i i v = ωr
2 i =1
Ansatz: Man ersetze die linearen Größen durch die
entsprechenden Größen bei der Beschreibung der Rotation
n
n
2
2
2
R
i
i
i i
i =1
i =1
KE =
1
1⎛
⎞
(
)
=
m
ω
r
m
r
⎜
⎟ω
∑
∑
2
2⎝
⎠
etwas anders sortiert
Definition
Trägheitsmoment
n
Rotationsenergie eines
massiven Körpers
1 2
KER = Iω
2
I = ∑ mi ri 2
i =1
System von Massenpunkten
Zusammenhang zu den linearen Größen
mi ⇒ mi ri2
v i2 ⇒ ω ²
kontinuierliche Massenverteilung
z.B. Bumerang
I = ∫ r ² dm
18
Rotation
Masse in der Nähe der Rotationsachse
geringes Trägheitsmoment
leicht in Rotation zu versetzten
Masse weiter entfernt von Rotationsachse
größeres Trägheitsmoment
schwerer in Rotation zu versetzten
19
Berechnung von Trägheitsmomenten
Homogener Ring mit Masse M auf dem Radius R
I = ∫ r ² dm = R 2 ∫ dm = MR 2
Scheibe mit Masse M gleichmässig verteilt bis Radius R
Drehachse z
Erwartung: das Trägheitsmoment is geringer
Wähle Ringe mit Masse dm auf
dem Ring mit Radius r mit Dicke dr
Fläche der Scheibe
!!!
A = πR 2
Fläche eines Ringsegments
dA = 2πrdr
Drehachse z
dm =
I = ∫ r ²dm = ∫
R
0
M
M
2πrdr
dA =
A
A
M
M
r ² 2πrdr = 2π
A
πR 2
∫
R
0
2M
r ³dr = 2
R
⎛1 4⎞ 1
2
⎜ R ⎟ = MR
⎝4 ⎠ 2
20
Trägheitsmomente
Rotation unterschiedlicher Körper
Gleiches Trägheitsmoment
für beide Drehachsen
Wie ist dann das
R/L Verhältnis ?
1 L2
1= + 2
2 6R
1
L2
=
2 6R 2
1
R=
L
3
1
1
I D = MR 2 + ML2
4
12
1
1
MR 2
ML2
1 L2
ID 4
12
=
+
= +
I C 1 MR 2 1 MR 2 2 6 R 2
2
2
21
Noch mehr Trägheitsmomente
Fliehkraftregler
Beim Fliehkraftregler nutzt man aus, dass durch die
schnellere Drehung die Gegengewichte auf einen größeren
Radius gebracht werden
Resultat: Das Trägheitsmoment vergrößert wird.
Beispiel
Astrophysik
22
Kosmische Leuchttürme
Pulsare sind schnell rotierende Neutronensterne
1.44 bis 3 Sonnenmassen
Durchmesser 10 km,
1000 rev/s
Durch Abstrahlung on Energie in Form von Licht
verliert der Stern Rotationsenergie
RNS = 10 km
ρ NS = 1015
vom Pulsar beleuchtetes Gas
I NS =
Pulsar im Krebsnebel
kg
m³
2
MR 2
5
(
2
I NS = 1.44 ⋅1030 kg ⋅ 10 4 m
5
I NS = 5.76 ⋅1037 kg m²
)
2
23
JoJo
Maxwellsches Rad
Maxwellsches Rad
Potentielle Energie
PE = Mgh
Translationsenergie und Rotationsenergie
1
1⎛1
⎞⎛ v ⎞
2
+ ⎜ MR 2 ⎟⎜⎜ CM ⎟⎟
KE = Mv CM
2
2⎝2
⎠⎝ R ⎠
KE =
v CM
R
1
I = MR 2
2
ω=
1
1
2
+ Iω 2
KE = Mv CM
2
2
2
3
2
Mv CM
2
Elastische Energie
Translationsenergie und Rotationsenergie
Potentielle Energie
... etc ...
Geschwindigkeit am tiefsten Punkt
PEi = KE f
3
2
Mv CM
4
4
=
gh
3
Mgh =
v CM
Zum Vergleich
fallender Stein
v CM = 2 gh
1/3 der potentiellen Energie wird in Rotationsenergie umgewandelt
24
Körper auf schiefer Ebene
Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper?
Zylinder
s
Rohr
h
v
ω=
R
Zylinder
Θ
1 2 1 2 1 2 1 v2
mgh = mv + Iω = mv + I 2
2
2
2
2 R
v 2 = v 02 + 2a( x − x0 )
⇓
2mgh
2mgh
=
2
as
v² =
⇒
I
I
m+
m+
R²
R²
⇓
mg sin Θ
a=
I
m+
R²
D = 2R
I R = mR²
aR =
1
g sin Θ
2
1
mR²
2
2
aS = g sin Θ
3
IS =
geringere Beschleunigung,
da Masse auf dem Mantel
Lösung unabhängig von Masse und Radius
25
Bremsen
Drehbewegung obwohl Reibungskräfte nur in der Ebene angreifen?
26

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